基于變式教學(xué)理念下的課例與反思
——以“一次函數(shù)中的行程問題專題”為載體

■丁葉謙

一、學(xué)情分析

本課之前，學(xué)生已基本掌握了一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，并且可以根據(jù)函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)圖像的解析式，且能利用函數(shù)解析式求一些特殊點(diǎn)的坐標(biāo)，并且在之前方程的學(xué)習(xí)過程中已經(jīng)能夠利用方程解決行程問題。但利用函數(shù)圖像以及方程思想綜合分析行程問題，學(xué)生的能力還略顯不足，尤其是解較為復(fù)雜的函數(shù)圖像與行程問題結(jié)合的綜合題。

二、教學(xué)實(shí)錄與反思

1.問題初探，積累經(jīng)驗(yàn)。

問題1甲、乙兩人分別從相距480 千米的A、B 兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，駛往對方所在地，如圖1是他們行駛的路程y（千米）與行駛的時(shí)間x（小時(shí)）之間的函數(shù)圖像。從圖像中，你能獲得哪些信息？

學(xué)生1：由點(diǎn)（6，480）可知乙6 小時(shí)行駛了480千米，所以乙的速度為80千米/小時(shí)。

學(xué)生2：利用待定系數(shù)法可求出y乙=80x，y甲=60x。

教師：如果深入分析，你能求出甲、乙相遇的時(shí)間嗎？

學(xué)生3：由題意，可得y甲+y乙=480，即80x+所以他們經(jīng)過小時(shí)相遇。

變式1在問題1中，如果甲、乙行駛的速度不變，將y（千米）表示為甲、乙離A 地的距離，x（小時(shí)）表示他們行駛的時(shí)間，你能畫出相應(yīng)的函數(shù)圖像嗎？

學(xué)生小組交流展示，畫出相應(yīng)的函數(shù)圖像，如圖2。

教師：哪位同學(xué)來分享一下你畫出這個(gè)函數(shù)圖像的經(jīng)驗(yàn)?zāi)兀?/p>

學(xué)生4：我畫這個(gè)函數(shù)圖像時(shí)主要抓住4 個(gè)點(diǎn)，即甲的起點(diǎn)和終點(diǎn)、乙的起點(diǎn)和終點(diǎn)，根據(jù)y（千米）表示為甲、乙離A地的距離，x（小時(shí)）表示他們行駛的時(shí)間，可知甲的起點(diǎn)為（0，0）、終點(diǎn)為（8，480），乙的起點(diǎn)為（0，480）、終點(diǎn)為（6，0），分別連接甲、乙的起點(diǎn)和終點(diǎn)便可得出相應(yīng)的函數(shù)圖像。

教師：根據(jù)畫出的函數(shù)圖像，我們可以發(fā)現(xiàn)兩條線段明顯有一個(gè)交點(diǎn)，你能說出這個(gè)交點(diǎn)所代表的實(shí)際意義嗎？

學(xué)生5：這個(gè)交點(diǎn)表示甲、乙兩人行駛一定時(shí)間后相遇了。

教師：同問題1 一樣，你能求出他們相遇的時(shí)間嗎？

學(xué)生6：可以應(yīng)用待定系數(shù)法求出他們的函數(shù)表達(dá)式：y甲=60x、y乙=480-80x。由于y表示他們離A 地的距離，當(dāng)他們相遇時(shí)，他們離A 地的距離相等，因此y甲=y乙，故60x=480-80x，解得x=所以他們行駛小時(shí)相遇。

變式2在問題1中，如果甲、乙行駛的速度不變，將y（千米）表示為甲、乙兩人間的距離，x（小時(shí)）表示他們行駛的時(shí)間，你還能畫出相應(yīng)的函數(shù)圖像嗎？

學(xué)生小組交流展示，畫出相應(yīng)的函數(shù)圖像，如圖3。

教師：哪位同學(xué)來分享一下你畫出這個(gè)函數(shù)圖像的經(jīng)驗(yàn)?zāi)兀?/p>

學(xué)生7：我在畫這個(gè)函數(shù)圖像時(shí)主要是先確定幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，然后通過這幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)來確定函數(shù)圖像：首先，由于y（千米）表示為甲、乙兩人間的距離，x（小時(shí)）表示他們行駛的時(shí)間，因此出發(fā)前的點(diǎn)坐標(biāo)為（0，480）；其次是相遇點(diǎn)，相遇時(shí)他們之間的距離為0，因此相遇點(diǎn)為再次，當(dāng)乙到達(dá)A時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為（6，360）；最后，甲到達(dá)B時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為（8，480）。將這些點(diǎn)用線段連接便可得函數(shù)圖像。

教師：通過問題1 及變式1、變式2 的學(xué)習(xí)，我們可以發(fā)現(xiàn)問題的主題干基本沒變，但坐標(biāo)軸所代表的意義發(fā)生了改變，導(dǎo)致函數(shù)圖像也發(fā)生了較大的變化，據(jù)此你能獲得什么樣的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)？

學(xué)生8：坐標(biāo)軸所代表的實(shí)際意義不同，函數(shù)圖像便不同，因此在解決此類問題時(shí)，我們要關(guān)注橫、縱坐標(biāo)所代表的實(shí)際意義，同時(shí)還需要關(guān)注一些關(guān)鍵點(diǎn)。

教師：解決一次函數(shù)中的行程問題，我們需要：①弄清橫、縱坐標(biāo)軸所代表的意義；②弄清關(guān)鍵點(diǎn)所代表的實(shí)際意義。

【教學(xué)反思】問題初探環(huán)節(jié)是教師在問題1的基礎(chǔ)上，借助變式教學(xué)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)同樣的問題情境，只是由于坐標(biāo)軸所代表的意義發(fā)生了變化，函數(shù)圖像也會發(fā)生變化，從而突出“核心知識”——橫、縱坐標(biāo)所代表的實(shí)際意義，加深學(xué)生對“核心知識”的理解，積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)——解決一次函數(shù)中的行程問題要弄清橫、縱坐標(biāo)所代表的實(shí)際意義，為后續(xù)的深入學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

2.變式拓展，提升經(jīng)驗(yàn)。

變式3甲、乙兩人從相距120 千米的A、B兩地同時(shí)同向出發(fā)，往C地方向前行。甲駕車，乙騎行。當(dāng)甲追上乙后，將一重要文件交予乙，并立即返回B處。乙繼續(xù)騎行到達(dá)C地。如圖4是他們行駛過程中的函數(shù)圖像，其中y（千米）表示甲、乙兩人的距離，x（小時(shí)）表示他們行駛的時(shí)間。你能根據(jù)圖像得到哪些信息呢？

教師：變式3與變式2有何不同？

學(xué)生9：本題與變式2相比，坐標(biāo)軸所代表的意義以及函數(shù)圖像的形狀基本沒變，只是數(shù)據(jù)上稍有變化，但他們的運(yùn)動方式卻發(fā)生了變化，變式2 中他們是相向運(yùn)動，而變式3 中他們是同向運(yùn)動。

教師：由此可見，同樣的圖像，表達(dá)的意義卻發(fā)生了較大的變化，這主要?dú)w結(jié)于物體運(yùn)動的方式發(fā)生了較大的變化，因此我們在審題時(shí)還需要關(guān)注物體運(yùn)動的方式。

教師：那么結(jié)合圖像，你能獲得哪些信息呢？

學(xué)生10：結(jié)合題意及坐標(biāo)軸所代表的實(shí)際意義，由點(diǎn)（0，120）可知A、B兩地相距120千米。

學(xué)生11：由點(diǎn)（2，0）我發(fā)現(xiàn)甲追上乙用了2小時(shí)，畫線段圖表示為如圖5。由點(diǎn)可知甲從兩人相遇處回B 地，用時(shí)小時(shí)，此時(shí)甲、乙相距80 千米，線段圖表示為如圖6。由點(diǎn)（4，120），再結(jié)合點(diǎn)可知乙又用小時(shí)走了40 千米到達(dá)C 地，因此乙的速度為30千米/小時(shí)，B、C兩地相距120千米。

學(xué)生12：因?yàn)榧? 小時(shí)追上乙，因此甲2 小時(shí)行駛了120+2×30=180 千米，故甲的速度為90千米/小時(shí)。

教師：通過以上學(xué)習(xí)，同學(xué)們有何學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)要與大家交流？

學(xué)生13：我覺得解決一次函數(shù)中的行程問題，可以從兩個(gè)方面入手：審題干，弄清物體運(yùn)動的方式，弄清橫、縱坐標(biāo)軸所代表的意義；審圖，弄清圖像的歸屬，弄清關(guān)鍵點(diǎn)所代表的實(shí)際意義。

【教學(xué)反思】變式拓展環(huán)節(jié)是教師通過變式3 的教學(xué)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)，雖然坐標(biāo)軸所代表的意義沒有發(fā)生變化、函數(shù)圖像沒有發(fā)生變化，但由于物體運(yùn)動的方式發(fā)生了變化，函數(shù)圖像所反映出的實(shí)際意義也會發(fā)生較大的變化，拓寬了學(xué)生的認(rèn)知，突出了核心知識——物體運(yùn)動的方式、關(guān)鍵點(diǎn)所代表的實(shí)際意義，從而使學(xué)生初步形成解決一次函數(shù)中的行程問題的基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，即要關(guān)注物體運(yùn)動的方式、關(guān)鍵點(diǎn)所代表的實(shí)際意義。

3.拓寬提升，形成方法。

變式4在變式3 的基礎(chǔ)上，如果只將圖4中的4 小時(shí)刪去，其他條件不變，如圖7，你能求出甲、乙的速度嗎？

學(xué)生14：設(shè)甲的速度為x 千米/小時(shí)，乙的速度為y 千米/小時(shí)。根據(jù)函數(shù)圖像，結(jié)合前面的分析以及圖5、圖6，可得方程組解這個(gè)方程組，得所以甲的速度為90千米/小時(shí)，乙的速度為30千米/小時(shí)。

教師：通過變式4 的學(xué)習(xí)，你又有什么樣的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)要與大家分享呢？

學(xué)生15：我們在解決一次函數(shù)中的行程問題時(shí)，有時(shí)需要借助畫線段圖來進(jìn)行綜合分析，有時(shí)還需要利用方程思想來解決問題。

教師：通過這堂課的學(xué)習(xí)，你對解決一次函數(shù)中的行程問題有何看法？

學(xué)生交流研討，教師總結(jié)板書，給出解決一次函數(shù)中的行程問題的基本策略。

【教學(xué)反思】教師通過變式4 的教學(xué)，讓學(xué)生更加全面、深刻地看到解決此類問題的全貌，形成解決此類問題的基本策略，為學(xué)生今后解決一次函數(shù)中的行程問題積累經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)生分析和解決此類問題的能力。

縱觀以上教學(xué)過程，教師是根據(jù)學(xué)生的學(xué)情把握好教學(xué)的邏輯起點(diǎn)，采用變式教學(xué)的策略，突出解決問題的核心方法，教學(xué)設(shè)計(jì)由淺入深，環(huán)環(huán)相扣，讓學(xué)生經(jīng)歷直觀、推理、類比、歸納、概括等思維過程，使學(xué)生的思維品質(zhì)得到進(jìn)一步的提高。