劉迎松，楊 帆，趙瑩瑩

（天津城建大學(xué) 控制與機(jī)械工程學(xué)院，天津300384）

隨著人民生活水平的不斷改善，對(duì)高層樓宇供水質(zhì)量的要求也越來越高，不僅要安全穩(wěn)定，而且要節(jié)能環(huán)保[1-2]. 高層樓宇恒壓供水控制系統(tǒng)具有非線性、純滯后、大慣性等特性，在使用時(shí)難免會(huì)發(fā)生故障，影響住戶正常用水[3-5].然而在目前的故障診斷方法研究中，對(duì)于恒壓供水控制系統(tǒng)故障診斷的研究相對(duì)較少.

在現(xiàn)有的故障診斷方法中，對(duì)于控制系統(tǒng)中執(zhí)行器或者傳感器產(chǎn)生的故障，往往采用觀測(cè)器即故障檢測(cè)濾波器，通過產(chǎn)生殘差來實(shí)現(xiàn)故障診斷.但是在故障檢測(cè)中難免存在一些不確定的干擾信號(hào)，使檢測(cè)出來的信號(hào)與原信號(hào)之間存在一定誤差，造成觀測(cè)器對(duì)故障信號(hào)不敏感.關(guān)于系統(tǒng)的故障診斷方法，大量學(xué)者進(jìn)行了研究.文獻(xiàn)[6]基于子空間識(shí)別和Kalman 濾波技術(shù)對(duì)風(fēng)力渦輪機(jī)傳感器故障檢測(cè)與隔離進(jìn)行了研究；文獻(xiàn)[7-9]更多采用了滑?？刂萍夹g(shù)進(jìn)行系統(tǒng)的故障檢測(cè).如基于解析模型的檢測(cè)方法、運(yùn)用滑?？刂萍夹g(shù)，實(shí)現(xiàn)了PWSM 驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的故障檢測(cè)[7]；通過分解原系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)故障與干擾的分離的檢測(cè)方法[8]；基于初始故障檢測(cè)的雙旋翼直升機(jī)自適應(yīng)滑模觀測(cè)器綜合設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)系統(tǒng)微小故障的檢測(cè)與診斷[9].文獻(xiàn)[10]考慮的是非線性系統(tǒng)傳感器故障檢測(cè)與隔離，利用滑模控制得以實(shí)現(xiàn).

本文主要解決樓宇恒壓供水控制系統(tǒng)中的執(zhí)行器故障.考慮到實(shí)際應(yīng)用為廣義非線性系統(tǒng)并且存在未知干擾，首先通過設(shè)計(jì)全維觀測(cè)器證明了系統(tǒng)狀態(tài)誤差為全局漸近穩(wěn)定；然后通過設(shè)計(jì)H∞觀測(cè)器實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的魯棒故障診斷；并且引入了解耦合的方法來解決干擾解耦問題，通過產(chǎn)生殘差信號(hào)，對(duì)系統(tǒng)的故障進(jìn)行診斷，對(duì)未知干擾更加具有魯棒性，具有一定的實(shí)際意義.

1 恒壓供水控制系統(tǒng)分析

1.1 供水過程分析

恒壓供水控制系統(tǒng)是樓宇自動(dòng)控制系統(tǒng)中的重要部分.恒壓供水系統(tǒng)主要由變頻器、PLC、壓力變送器和終端水泵機(jī)組組成[11]，供水系統(tǒng)的工藝流程如圖1 所示.

圖1 恒壓供水系統(tǒng)工藝

本恒壓供水系統(tǒng)構(gòu)成了一個(gè)完整的閉環(huán)控制系統(tǒng)：當(dāng)管網(wǎng)壓力不足時(shí)，通過壓力變送器傳遞信號(hào)給控制器，即PLC；然后傳遞信號(hào)給變頻器，通過變頻器控制水泵機(jī)組在合適的速度轉(zhuǎn)動(dòng)，使得管道供水流量一直處于一個(gè)恒定狀態(tài)[12].恒壓供水控制系統(tǒng)方框圖如圖2 所示.

圖2 恒壓供水控制系統(tǒng)方框

1.2 恒壓供水系統(tǒng)建模

恒壓供水控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模

式中：x∈Rn為恒壓供水系統(tǒng)的狀態(tài)向量；u∈Rk為系統(tǒng)的控制輸入向量；η∈Rq為未知輸入；y∈Rp為管網(wǎng)壓力信號(hào)；φ 為恒壓供水系統(tǒng)中的非線性部分；f（t）∈Rm為恒壓供水系統(tǒng)中的故障向量；A、B、C、D、F 為適當(dāng)維數(shù)的矩陣；E 為奇異常數(shù)矩陣.

系統(tǒng)中的非線性部分滿足Lipschitz 條件，即‖φ（x，u，t）-φ（x^，u，t）‖≤γ‖x-x^‖，其中Lipschitz 常數(shù)為γ.

2 觀測(cè)器設(shè)計(jì)與穩(wěn)定性分析

2.1 全維觀測(cè)器設(shè)計(jì)

為了判斷樓宇恒壓供水系統(tǒng)的狀態(tài)誤差是全局漸近穩(wěn)定的，設(shè)計(jì)如下形式的全維觀測(cè)器為

其中：L 為待定觀測(cè)器參數(shù)；x^（t）為對(duì)x（t）的估計(jì)向量.首先定義e=x-x^為觀測(cè)器狀態(tài)估計(jì)誤差向量.那么由式（1）和（2）可以得到的方程為

本文應(yīng)用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論以及線性矩陣不等式的處理方法，為了確保狀態(tài)估計(jì)誤差的漸近收斂性，以下定理給出確保狀態(tài)誤差近收斂于零的充分條件.

假設(shè)1 N∈Rp×n與非奇異矩陣N∈Rn×n為線性矩陣不等式的解，具有增益L=M-TNT的式（2）為系統(tǒng)式（1）的全維觀測(cè)器，誤差狀態(tài)e（t）全局漸近穩(wěn)定.

定理1在系統(tǒng)式（1）中，存在形如式（3）的全維觀測(cè)器的充分必要條件是使下列線性矩陣不等式有解，其中存在M 和N 兩個(gè)矩陣.

證明方法類似于文獻(xiàn)[13]，就是把設(shè)計(jì)觀測(cè)器的問題轉(zhuǎn)化成了求解線性矩陣不等式的問題[13].

要想將不等式（4）轉(zhuǎn)化為嚴(yán)格的線性矩陣不等式.設(shè)E⊥∈R(n-s)×n滿足E⊥E=0，且rank（E⊥）∈n-s，則有以下引理.

引理1[13]從定理1 的條件中可得知存在正定矩陣X∈Rn×n，矩陣Y∈R(n-s)×n和Z∈R(r×n)使得以下矩陣不等式可解.

證明類似于文獻(xiàn)[13]，由以上引理1 和定理1 可得，若存在正定矩陣X∈Rn×n和矩陣Y∈R(n-s)×n，則系統(tǒng)可進(jìn)行全維觀測(cè)器的設(shè)計(jì)，存在Z∈R(r×n)使得線性矩陣不等式（5）成立.

2.2 狀態(tài)誤差穩(wěn)定性分析

為了對(duì)樓宇恒壓供水系統(tǒng)中的管網(wǎng)壓力和水池水位狀態(tài)信號(hào)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析，采用了基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論的分析方法.

若AC=A+LC，選取V=eTETMe 李亞普諾夫函數(shù)，設(shè)λ0=λmin（-Ω）及φ=φ（x，u，t）-φ（x^，u，t），那么λ0＞0 且‖φ‖≤‖Ge‖.

于是V 與誤差系統(tǒng)（3）的導(dǎo)數(shù)為

引入記號(hào)λm= λmax（ETM），則λm＞0 且V =eTETMe≤λm‖e ‖2，即那么V˙≤-λ0這就可以得到其中

根據(jù)Schur 補(bǔ)引理[14]，可得式（4）中的不等式為

等價(jià)于不等式為

根據(jù)上文中的分解式可得

所以存在充分小標(biāo)量ε0＞0，使得（1+δ0）GTGQ2＜

不失一般性，僅考慮n-s≤p，其他情況類似.利用P2B 矩陣的奇異值分解可得其中：W1∈R(n-s)×(n-s)；W2∈Rp×p為正交矩陣；Δ∈R(n-s)×(n-s)為對(duì)角矩陣，對(duì)角位置上的元素都是降維排列的正數(shù).那么

注意到e = Q1e1+ Q2e2以及e1= P2Bφ，那么由得

進(jìn)一步，根據(jù)上文推導(dǎo)可得

3 H∞觀測(cè)器的設(shè)計(jì)與故障診斷

3.1 H∞觀測(cè)器的設(shè)計(jì)

為了實(shí)現(xiàn)對(duì)樓宇恒壓供水控制系統(tǒng)的故障檢測(cè)，本節(jié)是要設(shè)計(jì)如下式的觀測(cè)器對(duì)系統(tǒng)向量x（t）進(jìn)行估計(jì)，即

其中：z（t）為觀測(cè)器的狀態(tài)；H，K，O，R 為適當(dāng)維數(shù)的矩陣.

定義觀測(cè)器誤差向量為

接下來由觀測(cè)器誤差推導(dǎo)可得e˙= z˙-KEx^.

由假設(shè)聯(lián)合式（14）的推導(dǎo)取O=O1+O2，O1=HR，可得

定理2根據(jù)觀測(cè)器的動(dòng)態(tài)方程，若滿足下列假設(shè)，觀測(cè)器誤差指數(shù)收斂于0，即指數(shù)x^（t）收斂于x（t）.

假設(shè)3 H+O2C-KA=0，KD=0，KF=0.

證明類似于文獻(xiàn)[15]，如果上述假設(shè)3 中KD≠0，那么誤差方程為

由式（14）的推導(dǎo)可以得出O2是唯一要計(jì)算的量，那么取李雅普諾夫函數(shù)為V（t）=e（t）TPe（t），P 正定對(duì)稱實(shí)矩陣，計(jì)算關(guān)于t 的導(dǎo)數(shù)可得在假設(shè)2 下，如果存在適當(dāng)維數(shù)矩陣W＞0，O2以及實(shí)常數(shù)θ＞0，通過Schur 補(bǔ)引理可得LMI 為

有解，可以求得O2和K，從定理3 的假設(shè)3 可以求得H.H∞觀測(cè)器設(shè)計(jì)完成.

3.2 魯棒故障診斷

為了實(shí)現(xiàn)恒壓供水系統(tǒng)的故障檢測(cè)，殘差信號(hào)必須對(duì)未知的干擾不敏感，而且還要做到對(duì)系統(tǒng)中的故障敏感.供水系統(tǒng)的殘差產(chǎn)生于控制系統(tǒng)的干擾和故障，根據(jù)文獻(xiàn)[16]得恒壓供水系統(tǒng)的殘差信號(hào)為

式中：re（t）∈R 是供水系統(tǒng)的實(shí)際故障與故障觀測(cè)器對(duì)比產(chǎn)生的殘差信號(hào)，U1∈R；U2∈R；e（t）∈Rd是系統(tǒng)的狀態(tài)誤差向量，re（t）即故障的顯示器.為了避免不必要的干擾，這就需要故障診斷方案滿足定理3 的條件2 中的KD=0，同時(shí)為了殘差信號(hào)能對(duì)故障作出反應(yīng)要滿足條件KF≠0.

這樣殘差信號(hào)可以描述為

未知干擾被完全解耦，殘差信號(hào)獨(dú)立出來即

由上文中式（18）可以求出K，代入式（21）可以求出U1和U2.那么根據(jù)式（19）就可以求出殘差信號(hào)，然后通過設(shè)定閾值，就可以實(shí)現(xiàn)對(duì)恒壓供水系統(tǒng)的故障診斷.

4 仿真實(shí)驗(yàn)分析

為了驗(yàn)證對(duì)樓宇恒壓供水控制系統(tǒng)故障診斷的有效性，以某高層住宅樓恒壓供水系統(tǒng)為例，并聯(lián)多臺(tái)水泵共同運(yùn)行；采用三相四線保證系統(tǒng)穩(wěn)定供電，PLC 選擇S7-300、壓力變送器輸出4～20 mA 的標(biāo)準(zhǔn)電流信號(hào)，控制變頻器的頻率在0～50 Hz.通過實(shí)際測(cè)試收集一組參數(shù)，并且使用上文中設(shè)計(jì)的故障觀測(cè)器，利用MATLAB 進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn).其參數(shù)矩陣為

解不等式（4）可得

對(duì)樓宇恒壓供水控制系統(tǒng)中的壓力電流信號(hào)狀態(tài)量x1和水位電流信號(hào)狀態(tài)量x2，它們的狀態(tài)誤差穩(wěn)定性分析的仿真結(jié)果如圖3-6 所示.

圖3 狀態(tài)量x1 與狀態(tài)量x1 的估計(jì)

圖4 狀態(tài)量x1 與其估計(jì)量x^1 的誤差e1

圖5 狀態(tài)量x2 與狀態(tài)量x2 的估計(jì)

圖6 狀態(tài)量x2 與其估計(jì)量x^2 的誤差e2

通過對(duì)仿真結(jié)果的分析，從圖3 和圖4 中看出，系統(tǒng)的狀態(tài)量x1與其估計(jì)量x^1的誤差e1逐漸收斂為0，那么可以得到誤差e1全局漸近穩(wěn)定.從圖5 和圖6中可看出，系統(tǒng)的狀態(tài)量x2與估計(jì)量x^2的誤差e2亦逐漸收斂于0，則誤差e2也是全局漸近穩(wěn)定.最終可以得到系統(tǒng)的狀態(tài)誤差是全局漸近穩(wěn)定的.

對(duì)于樓宇恒壓供水控制系統(tǒng)的故障診斷，是在設(shè)計(jì)H∞觀測(cè)器的基礎(chǔ)上，產(chǎn)生殘差信號(hào)re（t），并通過設(shè)置閾值來判斷系統(tǒng)是否發(fā)生故障.然而在實(shí)際供水控制系統(tǒng)中，如果閾值太小或者太大，檢測(cè)結(jié)果將不太清晰，為了更好地檢測(cè)到故障信號(hào)，所以將閾值設(shè)置為1，閾值邏輯故障診斷仿真如圖7 所示.

圖7 閾值邏輯仿真

從圖7 中可以看出，對(duì)于樓宇恒壓供水控制系統(tǒng)，當(dāng)殘差信號(hào)re（t）超過所設(shè)閾值而且繼續(xù)增長(zhǎng)時(shí)，說明系統(tǒng)發(fā)生了故障.因此，也證明了基于觀測(cè)器的方法能檢測(cè)出樓宇恒壓供水控制系統(tǒng)執(zhí)行器故障的發(fā)生.

5 結(jié) 論

本文為了對(duì)樓宇恒壓供水控制系統(tǒng)中的執(zhí)行器故障進(jìn)行檢測(cè)，設(shè)計(jì)了全維觀測(cè)器，并且得到系統(tǒng)狀態(tài)誤差是全局漸近穩(wěn)定的，最終得到了狀態(tài)誤差和狀態(tài)估計(jì)誤差的關(guān)系.利用H∞觀測(cè)器解決了閾值的設(shè)計(jì)問題，并且引入了解耦合的方法來解決干擾解耦問題，通過產(chǎn)生殘差信號(hào)re（t），對(duì)系統(tǒng)的故障進(jìn)行診斷.最后利用MATLAB 對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真，得到了如圖7 的仿真圖，當(dāng)殘差信號(hào)re（t）超過所設(shè)閾值而且繼續(xù)增長(zhǎng)時(shí)表明系統(tǒng)發(fā)生了故障，從而驗(yàn)證了本文所提方法是有效的.