李杏 趙向青 鄒秉辰

【摘要】在殺毒軟件等防御措施下，健康機和感染機都在一定程度上獲得了免疫力，但往往后者比前者強?；谶@種認識，在SIRA模型基礎上研究分層免疫效應，探索分層免疫效應對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。研究了分層免疫機制下SIRA模型無毒平衡點和有毒平衡點的穩(wěn)定性，并對理論結果做了數(shù)值仿真。

【關鍵詞】分級免疫率;SIRA;穩(wěn)定性;數(shù)值仿真

【中圖分類號】TP309.5

【文獻標識碼】B

互聯(lián)網(wǎng)在為傳播資訊提供便利的同時也給計算機病毒的傳播提供了溫床。計算機病毒自我復制能力強，破壞力大，是互聯(lián)網(wǎng)的頭號敵人。在互聯(lián)網(wǎng)高速發(fā)展的今天，計算機病毒對網(wǎng)絡信息安全的威脅不得不引起高度重視。

計算機病毒與傳染病病毒在傳播機理上有很大的相似性，從20世紀80年代末期開始人們便借鑒傳染病模型研究計算機病毒，詳見表1。

其中S，I，R，A分別代表易感染計算機，已感染計算機，臨時免疫計算機，永久免疫計算機;β代表病毒發(fā)生率;a，a2分別表示S計算機和I計算機直接轉為A計算機的概率（即免疫率）;δ代表臨時免疫率;σ代表重復感染率;N代表外部計算機連入網(wǎng)絡的速率;μ代表淘汰率。

在計算機安裝殺毒軟件后，計算機在一定程度上對病毒產(chǎn)生了“免疫力”。但健康機和感染機的免疫力是不一樣的，通常后者免疫力高于前者?；谶@種認識，楊茂斌在SLBRS模型基礎上考慮了分級免疫機制。本文研究分級免疫率SIRA模型，探索平衡點的穩(wěn)定性。

2 分級免疫SIRA模型

現(xiàn)實中R計算機也可以轉化為A計算機，設轉化概率a3，則模型（1）改進為如下的：

4 穩(wěn)定性仿真

4.1 無毒平衡點的穩(wěn)定性

取定以下參數(shù)a1= 0.025，a2=0.25，a3=0.15，β=0.1，σ=0.8，δ= 0.6.N=0.2，μ=0.2，此時計算得k1=0.125

圖2顯示系統(tǒng)中四種狀態(tài)計算機隨時間的變化規(guī)律。其中S計算機從初始狀態(tài)逐漸增加到最大值并穩(wěn)定下來，I計算機、R計算機和A計算機從初始值逐漸減小并趨于零。因此系統(tǒng)最終穩(wěn)定在無毒平衡點（1，0，0，0），與定理l結論吻合。

4.2 有毒平衡點的穩(wěn)定性

取定以下參數(shù)a1= 0.025，a2= 0.25，a3= 0.15，β=1，σ=0.8，δ=0.6，N=0.2，：0.2。此時K3= 0.25625<1，定理2的條件滿足。求得有毒平衡點P2 （0.8，0.125，0.075，0）。取定初始值S（0）=0.2，I（0）=0.5，R（0）=0.2，A（0）=0.1。模擬結果如圖3所示。

圖3顯示四種狀態(tài)計算機的變化趨勢。S計算機從初始值增加到一個最大值并趨于穩(wěn)定。I計算機和R計算機則逐漸減少，但是不會滅絕。各狀態(tài)計算機最終收斂到有毒平衡點（0.8，0.125，0.075，0），與定理2的結論吻合。這意味著在采取措施的情況下，即使網(wǎng)絡中有病毒存在，系統(tǒng)仍然可以正常工作。

4.3 新舊模型對比分析

在方程組（1）和（2）中取定以下參數(shù)：σ=0.8，δ=0.5，N=0.2，μ=0.1，a1=0.025，a2=0.25，a3=0.15，取相同的初始狀態(tài)：S（0）=0.3，I（0）=0.5，R（0）=0.1，A（0）=0.1。模擬結果如圖4所示。

圖4表明了在同一時間，其他條件相同的情況下，分層免疫SIRA模型對感染節(jié)點的反應更加明顯，比原模型表現(xiàn)得更優(yōu)秀。

5 結論

在SIRA模型的基礎上，考慮到除了S和I，R也可以通過采取防護措施轉化為A狀態(tài)的計算機，且計算機的免疫率是有高低之分的，即a2>a3。本文將不同的免疫率結合起來考慮，正如我們所預期的那樣，系統(tǒng)在分層免疫的情況下會更加穩(wěn)定。

[參考文獻]

[1] J.O.Kephart，S.R.White. Directed-graph epidemiological models ofcomputer vim8es[J].IEEE Symposium on Security and Privacy，1991，343—361.

[2] J.C.Wierman，D.J.Marchette.Modeling computer vinls prevalencewith a susceptible—i也cted—susceptible model“th reintroduction[J].Computational Statistics and Data AnaIysis，2004，45（1）：3—23.

[3] J.R.C.Piqueira，V.0.Araujo.A modified epidemiological model forcomputer Viruses叨.Applied Mat}lematics and Computation，2009，213：355—360.

[4]楊茂斌，三種新型計算機病毒傳播模型：理論研究與應用策略[D].重慶：重慶大學，2012.

[作者簡介]李杏（1994-），女，碩士研究生，研究方向：農(nóng)業(yè)信息化;趙向青（1974-），男，湖南炎陵人，教授，研究方向：微分動力系統(tǒng);鄒秉辰（1997-），女，江蘇徐州人，碩士研究生，研究方向：農(nóng)業(yè)信息化。