武桂芝 王程

摘?要：經(jīng)典灰色模型可用于水文徑流預(yù)測(cè)，但其預(yù)測(cè)精度較差。為了提高模型精度，基于經(jīng)典灰色理論，對(duì)累加后的數(shù)據(jù)進(jìn)行精度更高的多項(xiàng)式擬合，建立基于擬合改進(jìn)的徑流灰色預(yù)測(cè)模型。該模型簡(jiǎn)單易行，且計(jì)算精度和效率較高。通過(guò)對(duì)三門(mén)峽水庫(kù)的入庫(kù)徑流資料進(jìn)行經(jīng)典和擬合改進(jìn)灰色預(yù)測(cè)，表明擬合改進(jìn)灰色預(yù)測(cè)模型可有效地對(duì)徑流進(jìn)行預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)精度較經(jīng)典灰色模型有較大提高。

關(guān)鍵詞：徑流預(yù)測(cè);灰色預(yù)測(cè)模型;擬合改進(jìn);三門(mén)峽水庫(kù)

中圖分類號(hào)：P338;O159;TV882.1?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

doi：10.3969/j.issn.1000-1379.2020.10.007

Research on Runoff Grey Prediction Based of Improved Fitting

WU Guizhi1， WANG Cheng2

（1.Henan Vocational College of Water Conservancy and Environment， Zhengzhou 450008， China;

2.Information Center， Henan Yellow River Bureau， Zhengzhou 450004， China）

Abstract：Classical grey model can be used into hydrologic runoff prediction， but has bad prediction accuracy. Based on the classical grey theory， this paper utilized polynomial fitting to higher precision fit cumulative data and built improved runoff grey prediction model. This model could be easily used and realized by program， and also had high calculation accuracy and efficiency. By predicting inflow runoff of Sanmenxia Reservoir through classical and improved grey prediction， it shows that the latter method can effectively predict runoff and has improved calculation accuracy.

Key words： runoff prediction; grey prediction model; improved fitting; Sanmenxia Reservoir

1?引?言

徑流預(yù)測(cè)是指根據(jù)前期或現(xiàn)時(shí)已出現(xiàn)的水文、氣象等信息對(duì)徑流進(jìn)行定量或定性預(yù)報(bào)，是水利水電工程設(shè)計(jì)、施工和運(yùn)行管理的重要依據(jù)，如何對(duì)徑流進(jìn)行精確預(yù)測(cè)是水利工程設(shè)計(jì)與運(yùn)行的關(guān)鍵問(wèn)題之一[1]。

目前針對(duì)徑流預(yù)測(cè)已有統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)法[2]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)法[3-4]及機(jī)理模型預(yù)測(cè)法[5-6]等多種預(yù)測(cè)方法。灰色系統(tǒng)模型是統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)法中應(yīng)用較廣泛的，由于灰色系統(tǒng)模型不需要大的統(tǒng)計(jì)樣本和數(shù)據(jù)的規(guī)律性分布，且模型簡(jiǎn)單易行，因此在徑流預(yù)測(cè)中得到廣泛應(yīng)用[7-8]?；疑到y(tǒng)有多個(gè)預(yù)測(cè)模型，其中常用的是灰色系統(tǒng)經(jīng)典模型，即GM（1，1）模型?；疑到y(tǒng)經(jīng)典模型適用于累加（累減）后呈指數(shù)平滑分布的數(shù)據(jù)序列，如果累加（累減）后的數(shù)據(jù)分布與指數(shù)分布吻合度較差，那么灰色系統(tǒng)經(jīng)典模型的適用性就會(huì)減弱。徑流資料不確定性強(qiáng)、統(tǒng)計(jì)規(guī)律較差，導(dǎo)致灰色系統(tǒng)經(jīng)典模型在進(jìn)行徑流預(yù)測(cè)時(shí)容易出現(xiàn)較大誤差。

筆者針對(duì)灰色理論指數(shù)擬合的精度問(wèn)題，提出精度更高的多項(xiàng)式擬合，該計(jì)算模型僅對(duì)累加后數(shù)據(jù)進(jìn)行高次擬合，精度較經(jīng)典灰色模型有所提升。

2?基于擬合改進(jìn)的灰色理論預(yù)測(cè)模型

灰色系統(tǒng)理論是通過(guò)對(duì)系統(tǒng)某一相關(guān)方面的觀測(cè)數(shù)據(jù)加以數(shù)學(xué)處理，從而達(dá)到了解系統(tǒng)內(nèi)部總體變化趨勢(shì)、相互關(guān)系的一種理論。“灰色”是相對(duì)于“黑色”和“白色”而言的，“黑色”表示信息缺乏，“白色”表示信息完整，而“灰色”則表示信息不完整、不完備。

灰色系統(tǒng)建模的基本思想是對(duì)無(wú)規(guī)則的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行處理（累加或累減），生成可尋找出內(nèi)在規(guī)律的數(shù)據(jù)序列，進(jìn)而再進(jìn)行建模預(yù)測(cè)。將時(shí)間序列轉(zhuǎn)化為微分方程，從而建立抽象系統(tǒng)發(fā)展的動(dòng)態(tài)變化模型，可對(duì)系統(tǒng)的發(fā)展作出相關(guān)預(yù)測(cè)。灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)具有準(zhǔn)確性好、需要原始數(shù)據(jù)少、數(shù)據(jù)處理簡(jiǎn)單、可靠性高等特點(diǎn)，已在多個(gè)領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。

灰色系統(tǒng)經(jīng)典模型GM（1，1）是一個(gè)近似指數(shù)型發(fā)散的預(yù)測(cè)模型，由一個(gè)一階方程和一個(gè)預(yù)測(cè)變量模型組成，適用于累加（累減）序列近似服從指數(shù)分布規(guī)律的系統(tǒng)。其模型建立與預(yù)測(cè)規(guī)則如下。

（1）設(shè)長(zhǎng)度為n的原始數(shù)據(jù)序列為

X（0）=（x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n））（1）

式中：x（0）（n）為數(shù)據(jù)序列中的第n項(xiàng)。

（2）判斷建模的可行性，進(jìn)行級(jí)比檢驗(yàn)：

σ（k）=X（0）（k-1）X（0）（k）?（k=1，2，…，n）（2）

式中：σ（k）為原始數(shù)據(jù)序列X（0）的第k-1項(xiàng)與第k項(xiàng)的比值。

若-2en+1≤σ（k）≤2en+1，則該序列可采用GM（1，1）建模并進(jìn)行預(yù)測(cè)。

（3）對(duì)數(shù)據(jù)序列X（0）進(jìn)行累加處理，得新序列X（1）。

X（1）=（x（1）（1），x（1）（2），…，x（1）（n））（3）

其中x（1）（i）=∑ik=1x（0）（k）。

式中：序列X（1）為對(duì)原始數(shù)據(jù)序列X（0）作一次累加得到的新序列。

（4）由序列X（1）可建立一階微分方程

dx（1）dt+ax（1）=b（4）

式中：a、b均為待定參數(shù)，其中a為發(fā)展系數(shù)，b為灰作用量。

（5）令Z（1）=（z（1）（2），…，z（1）（n）），其中z（1）（i）=0.5[x（1）（i）+x（1）（i-1）]。參數(shù)列可表示為

P1=（BTB）-1BTYTn=[a，b]T（5）

BT=-z（1）（2）-z（1）（3）…-z（1）（n）11…1（6）

YTn=[x（0）（2），x（0）（3），…，x（0）（n）]（7）

式中：BT為2×n的矩陣，YT為1×n的矩陣。

（6）采用最小二乘法計(jì)算發(fā)展系數(shù)：

Y（1）（k+1）=[X（0）（1）-ba]e-ak+ba（8）

因Y（1）（k+1）是通過(guò)累加計(jì)算得出的，故需還原數(shù)據(jù)得到預(yù)測(cè)的實(shí)際值，即

Y（0）（k+1）=Y（1）（k+1）-Y（1）（k）?（k=1，2，…，n）（9）

式中：Y（0）（k+1）為原始數(shù)據(jù)序列的第k+1項(xiàng);序列Y（1）（k+1）、Y（1）（k）分別為對(duì)原始數(shù)據(jù)序列Y（0）作一次累加，得到新序列Y（1）中的第k+1、k項(xiàng)。

筆者提出的灰色系統(tǒng)改進(jìn)模型引入擬合多項(xiàng)式作為累加（累減）后的“微分方程式”，通過(guò)擬合后的多項(xiàng)式建立數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)規(guī)律，對(duì)新序列進(jìn)行預(yù)測(cè)分析，將累加（累減）后得到的值作為改進(jìn)模型的灰色預(yù)測(cè)值。該模型對(duì)數(shù)據(jù)的適應(yīng)性強(qiáng)，可針對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行高精度的數(shù)據(jù)擬合，從而得到較為精確的預(yù)測(cè)值。對(duì)式（9）進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，生成了新序列Y（1）。

Y（1）（i）=a0+a1i1+…+akik+…+amim?（i=1，2，…，n） （10）

式中：ak為擬合多項(xiàng)式的系數(shù);m為多項(xiàng)式的最高次冪。

由于新序列Y（1）是對(duì)X（1）序列進(jìn)行預(yù)測(cè)得到的，因此對(duì)Y（1）進(jìn)行累減可生成預(yù)測(cè)實(shí)際值Y（0）。

Y（0）（i+1）=Y（1）（i+1）-Y（1）（i）?（i=1，2，…，n）（11）

式中：Y（0）（i+1）為原始序列的第i+1項(xiàng);序列Y（1）（i+1）、Y（1）（i）分別為對(duì)原始序列Y（0）作一次累加后得到新序列Y（1）的第i+1、i項(xiàng)。

改進(jìn)灰色理論預(yù)測(cè)模型不改變灰色系統(tǒng)經(jīng)典模型內(nèi)部的運(yùn)行機(jī)理及其適用范圍，僅對(duì)累加后數(shù)據(jù)進(jìn)行更高精度擬合，在不影響計(jì)算效率的基礎(chǔ)上，預(yù)測(cè)精度有較大提高。

3?實(shí)例分析

3.1?實(shí)例選擇

選擇三門(mén)峽水庫(kù)對(duì)本研究構(gòu)建的徑流預(yù)測(cè)系統(tǒng)進(jìn)行驗(yàn)證。三門(mén)峽水庫(kù)是黃河上的第一座大型水利樞紐工程，1957年正式投入使用，是治黃工程體系最重要的組成部分，擔(dān)負(fù)著黃河下游防洪、防凌的重任。

3.2?入庫(kù)徑流分析

采用參考文獻(xiàn)[7]中三門(mén)峽水庫(kù)1968—1993年共26 a的入庫(kù)徑流量作為分析數(shù)據(jù)，年徑流量變化過(guò)程及其趨勢(shì)線如圖1所示。水庫(kù)多年平均入庫(kù)徑流量為376.94億m3，其中最大徑流過(guò)程發(fā)生在1968年，為527.2億m3，最小徑流過(guò)程發(fā)生在1974年，為307.4億m3。

為對(duì)入庫(kù)徑流過(guò)程進(jìn)行水文分析，將多年徑流量序列按年徑流量從大到小進(jìn)行排頻，并采用P-Ⅲ型曲線進(jìn)行擬合，擬合成果如圖2所示。

根據(jù)年徑流量P-Ⅲ型曲線擬合結(jié)果，分別選擇對(duì)應(yīng)頻率P=5%、25%、50%、75%、95%的年份作為特豐年、豐水年、平水年、枯水年、特枯年，并在三門(mén)峽實(shí)際入庫(kù)徑流過(guò)程中選擇對(duì)應(yīng)的典型年進(jìn)行分析，其對(duì)應(yīng)關(guān)系見(jiàn)表1。

對(duì)豐水年、平水年和枯水年的設(shè)計(jì)年徑流量與水庫(kù)實(shí)際的多年徑流過(guò)程進(jìn)行比較，如圖3所示。

通過(guò)對(duì)表1及圖3的分析可知，本研究選擇的三門(mén)峽水庫(kù)的入庫(kù)徑流過(guò)程包括特豐年（5%頻率）、豐水年（25%頻率）、平水年（50%頻率）、枯水年（75%頻率）和特枯年（95%頻率），水文徑流過(guò)程具有一定的代表性。

3.3?徑流預(yù)測(cè)分析

以1968—1988年作為原始數(shù)據(jù)年份，以1989—1993年作為預(yù)測(cè)徑流年份，并對(duì)1989—1993年的預(yù)測(cè)年徑流量與實(shí)測(cè)年徑流過(guò)程進(jìn)行對(duì)比分析。

對(duì)選取的1968—1988年的年徑流資料進(jìn)行累加生成新的序列，分別對(duì)其進(jìn)行經(jīng)典灰色理論指數(shù)擬合和改進(jìn)灰色理論多項(xiàng)式擬合，擬合結(jié)果的相對(duì)誤差如圖4所示?？梢钥闯?，改進(jìn)灰色理論擬合的相對(duì)誤差較經(jīng)典灰色理論有所減小，經(jīng)典灰色理論擬合相對(duì)誤差平均值為1.48%，而改進(jìn)灰色理論擬合相對(duì)誤差平均值僅為0.93%。

利用經(jīng)典灰色預(yù)測(cè)模型和改進(jìn)灰色預(yù)測(cè)模型對(duì)三門(mén)峽水庫(kù)1989—1993年的年徑流過(guò)程進(jìn)行預(yù)測(cè)，并與實(shí)際徑流過(guò)程進(jìn)行對(duì)比，見(jiàn)圖5和表2。

由圖5及表2可知，經(jīng)典灰色理論模型和改進(jìn)灰色理論模型均可以對(duì)徑流過(guò)程進(jìn)行預(yù)測(cè)，且預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)測(cè)徑流過(guò)程的趨勢(shì)均吻合。經(jīng)典灰色理論擬合預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)呈直線上升，與實(shí)測(cè)徑流量吻合較差，而改進(jìn)灰色理論預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)呈二次曲線分布，且變化規(guī)律與實(shí)測(cè)徑流量較為吻合，原因是改進(jìn)灰色理論預(yù)測(cè)模型對(duì)累加數(shù)據(jù)進(jìn)行了誤差更小的多項(xiàng)式擬合，消除了累加數(shù)據(jù)的擬合誤差。

由表2可知，經(jīng)典灰色理論模型的預(yù)測(cè)相對(duì)誤差平均值為13.15%，最大預(yù)測(cè)相對(duì)誤差為14.37%，最小預(yù)測(cè)相對(duì)誤差為12.55%;改進(jìn)的灰色理論模型的預(yù)測(cè)相對(duì)誤差平均值僅為5.07%，最大預(yù)測(cè)相對(duì)誤差為9.60%，最小預(yù)測(cè)相對(duì)誤差為1.61%，預(yù)測(cè)精度有較大幅度提高。可見(jiàn)，在采用灰色預(yù)測(cè)模型進(jìn)行徑流預(yù)測(cè)時(shí)，可以采用本研究提出的預(yù)測(cè)精度更高的改進(jìn)灰色預(yù)測(cè)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。

4?結(jié)?語(yǔ)

改進(jìn)灰色理論預(yù)測(cè)模型不改變灰色系統(tǒng)經(jīng)典模型內(nèi)部的運(yùn)行機(jī)理及其適用范圍，僅對(duì)累加后數(shù)據(jù)進(jìn)行更高精度擬合，改進(jìn)后的模型在三門(mén)峽入庫(kù)徑流預(yù)測(cè)中的應(yīng)用表明，在不影響計(jì)算效率的基礎(chǔ)上，其預(yù)測(cè)精度有較大提高。

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