任書慧 孟廣偉 王吉賢 周立明?

摘? ?要：為提高磁電彈結構分析的精度，提出穩(wěn)定Node-based光滑徑向基點插值法（SNS-RPIM）. 基于傳統(tǒng)Node-based光滑徑向基點插值法（NS-RPIM），引入與場變量梯度方差有關的穩(wěn)定項，消除不確定參數，推導了多場耦合問題的SNS-RPIM方程，求解了磁電彈結構靜力響應問題，并與有限元法計算結果進行比較. 數值算例結果表明，SNS-RPIM能夠得到更加接近真實解的結果，有效解決了有限元系統(tǒng)剛度偏硬的問題;在精度與收斂性方面，SNS-RPIM比有限元法表現(xiàn)得更加出色，從而為磁電彈材料的進一步應用提供了有效的分析方法.

關鍵詞：穩(wěn)定光滑徑向基點插值法;磁電彈材料;復合材料;梯度光滑技術;數值方法

中圖分類號：TB115? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標志碼：A

Stabilized Node-based Smoothed Radial Point Interpolation Method

for Multi-field Coupling Analysis of Magneto-electro-elastic Structures

REN Shuhui，MENG Guangwei，WANG Jixian，ZHOU Liming?

（School of Mechanical and Aerospace Engineering，Jilin University，Changchun 130025，China）

Abstract： In order to improve the accuracy in analyzing magneto-electro-elastic （MEE） structures， a stabilized node-based smoothed radial point interpolation method （SNS-RPIM） was proposed. Based on the traditional node-based smoothed radial point interpolation method， the stable item related to the gradient variance of the field variables was introduced to eliminate the uncertain parameter. The SNS-RPIM equations for multi-field coupling problems were derived， and the static responses of MEE structures were also solved. The results of SNS-RPIM were compared with those of finite element method. Numerical examples showed that SNS-RPIM can provide the result closer to the real solution and effectively solve the problem of 'overly-stiff' of finite element method. SNS-RPIM is better than FEM in terms of accuracy and convergence， which provides an effective analysis method for further application of MEE materials.

Key words： stabilized smoothed radial point interpolation method; magneto-electro-elastic（MEE） material;composite material;gradient smoothing technique;numerical methods

磁電彈材料是一種由壓電相（BaTiO3）與壓磁相（CoFe2O4）復合而成的智能材料，能夠將機械能、電能與磁能相互轉化[1-2]. 磁電彈材料因其具有力電、力磁、磁電效應而被廣泛應用于智能結構中，引起了國內外學者的廣泛關注[3-4]. Jiang等[5]推導了在均布載荷作用下磁電彈懸臂梁響應的解析解，為未來磁電彈結構的設計與分析奠定了基礎. Wang等[6]求解了三維磁電彈圓柱板的自由振動問題，得出了頻率方程. Ebrahimi等[7-8]利用Hamilton原理推導了磁電彈納米板的非局部控制方程，研究了納米板的屈曲行為.

由于傳統(tǒng)有限元法（FEM）在求解中存在“過剛”、體積自鎖等問題，導致結果不準確. 近年來，Liu等[9]提出了廣義梯度光滑技術，并基于該方法構造出了一系列光滑有限元法（S-FEM）[10]和光滑徑向基點插值法（S-RPIM）[11]. 何智成等[12-13]和陳澤聰等[14]將光滑有限元應用到聲學模擬中. 周立明等[15-16]將光滑有限元擴展到了求解裂紋問題和多場耦合問題中，驗證了光滑方法的準確性. 在S-RPIM中，Node-based光滑徑向基點插值法（NS-RPIM）能夠消除FEM中“過剛”的問題，為所求解問題提供能量范數的上界解[9].該方法使用徑向基函數對場函數進行近似，其形函數具有Kronecker Delta函數屬性，邊界條件可以如FEM一樣直接施加. 基于伽遼金弱形式與節(jié)點積分技術，推導出系統(tǒng)方程. 基于這些優(yōu)點，NS-RPIM在求解靜力學以及多場耦合問題中得到了廣泛的應用. Li等[17]采用NS-RPIM分析了二維、三維固體力學問題，驗證了此算法的準確性與優(yōu)越性. Zhou等[18]將NS-RPIM引入多場耦合問題的研究中，結果表明，NS-RPIM對于求解磁電彈結構的響應問題是有效且可靠的.

盡管NS-RPIM在求解許多問題時表現(xiàn)良好，但研究表明[11，19]，由于NS-RPIM的模型過于柔軟，會令其在求解動態(tài)問題時產生偽非零能量模式，導致算法存在時間不穩(wěn)定性. 為增強系統(tǒng)剛度，解決時間不穩(wěn)定性，Wang等[20]提出了一種穩(wěn)定算法，解決了Node-based光滑有限元方法中的缺陷并且減少了求解聲學問題中的色散誤差. Feng等[21]提出了一種穩(wěn)定的節(jié)點積分方法，分析了電磁問題. Yang等[22]解決了Node-based光滑有限元方法中的時間不穩(wěn)定性，更準確的求解了金屬成型問題.

本文提出了穩(wěn)定NS-RPIM （SNS-RPIM），基于傳統(tǒng)NS-RPIM方法，引入與場變量梯度方差相關的穩(wěn)定項，消除了不確定參數，推導了求解多場耦合問題的SNS-RPIM方程，分析了磁電彈結構在靜力作用下的響應，并將所得結果與有限元法計算結果進行了對比.

1? ?基本方程

磁電彈材料平衡方程如下：

σij，j = 0，（i，j = 1，2，3）? ? ? （1）

Dl，l = 0，（l = 1，2，3）? ? ? （2）

Bl，l = 0，（l = 1，2，3）? ? ? （3）

式中：σij、Dl、Bl分別為應力分量、電位移分量、磁感應強度分量.

磁電彈材料的幾何方程如下：

Sij = （ui，j + uj，i），（i，j = 1，2，3）? ? ? （4）

Ek = -Φ，k，（k = 1，2，3）? ? ? （5）

Hk = -Ψ，k，（k = 1，2，3）? ? ? （6）

式中：Sij為應變分量;Ek為電場強度分量;Hk為磁場強度分量;Φ與Ψ為電勢與磁勢.

磁電彈材料的本構方程如下：

σi = Cij Sj - eki Ek - qki Hk? ? ? ? （7）

Dl = elj Sj + εlk Ek + mlk Hk? ? ? ? （8）

Bl = qlj Sj + mlk Ek + μlk Hk? ? ? ? （9）

式中：Cij、eki、qki 分別為彈性常數、壓電系數與壓磁系數;εlk、mlk、 μlk 分別為介電常數、磁電耦合系數與磁導率. i，j = 1，2，… ，6; l = 1，2，3; k = 1，2，3.

邊界條件為：

ui = [u][～]i，在Γd上? ? ? ?（10）

σij nj = [β][～]i，在Γs上，Γ = Γd ∪Γs? ? （11）

Φ = [Φ][～]，在Γe上? ? ? ?（12）

Dl nl = [Q][～]i，在Γt上，Γ = Γe ∪Γt? ? （13）

Ψ = [Ψ][～]，在Γm上? ? ? ?（14）

Bl nl = [R][～]，在Γi上，Γ = Γm ∪Γi? ? （15）

式中：Γd與Γs分別為位移邊界與力邊界;Γe與Γt分別為電勢邊界與電位移邊界;Γm與Γi分別為磁勢邊界與磁通量邊界;[u][～]為Γd上給定的位移;[β][～]為Γe上給定的面力;[Φ][～]為Γe上給定的電勢;[Q][～]為Γt上給定的電位移;[Ψ][～]為Γm上給定的磁勢;[R][～]為Γi上給定的磁通量.

2? ?穩(wěn)定Node-based光滑徑向基點插值法

2.1? ?Cell-based T2L方案

Cell-based T2L方案[9]為計算xQ的形函數值選擇合適的局部支持節(jié)點. 該方案選擇xQ周圍的兩層節(jié)點作為局部支持節(jié)點. 第一層節(jié)點為xQ所在三角形單元的頂點;第二層節(jié)點為與第一層節(jié)點直接連接的那些節(jié)點，如圖1所示.

2.2? ?Node-based光滑徑向基點插值法

二維問題域Ω被離散為ne個三角形單元，包含nn個節(jié)點. 通過將節(jié)點xi = [xi，zi]T周圍三角形的邊中點與質心依次相連，構造以xi為中心的光滑域Ωi，如圖2所示.

問題域內任一點xi處的近似位移u、近似電勢Φ與近似磁勢Ψ可表示為：

式中：Nu（xi）、NΦ（xi）與NΨ（xi）分別為NS-RPIM的位移形函數、電勢形函數與磁勢形函數;ns為局部支持節(jié)點的數量;u、Φ和Ψ分別表示位移向量、電勢向量和磁勢向量.

通過引入梯度光滑技術，根據式（16）～（18），節(jié)點xi處的光滑應變S、光滑電場強度E與光滑磁場強度H分別為：

式中：Bu（xi）、BΦ（xi）與BΨ（xi）分別為節(jié)點光滑應變矩陣、節(jié)點光滑電場強度矩陣和節(jié)點光滑磁場強度矩陣，其表達式為：

式中：nG為高斯點的數量;nseg為光滑域邊界的數量; n t

l，p為光滑域第p段邊界中單位法向量矩陣的分量; N t

l，p，q為第p段邊界上第q個高斯點處的形函數值; WG

q為第q個高斯點處的權值;Ai為光滑域的面積.

二維磁電彈的NS-RPIM靜力學方程可表示為：

式中：等效力向量Feq、等效剛度矩陣Keq以及電勢Φ和磁勢Ψ的求解公式見參考文獻[18].

2.3? ?穩(wěn)定Node-based光滑徑向基點插值法

為了在提高NS-RPIM計算精度的同時消除時間不穩(wěn)定性，在該算法中引入與場變量梯度方差相關的穩(wěn)定項來提高模型的剛度，令其更接近真實情況.

以二維問題為例，如圖3所示，光滑域Ωi被近似為具有相同面積的圓，將近似域進一步劃分為4個子光滑域. 局部坐標系與光滑域的交點Gk

i（k = 1，2，3，4; i = 1，2，3，…，nn）作為補充積分點，nn為結構包含節(jié)點數. 積分點與節(jié)點xi之間的距離lc相等，大小為近似域的半徑. lc的計算公式為：

假設場變量的梯度在光滑域Ωi中連續(xù)且一階可導，其在4個積分點處的泰勒展開式分別為：

3? ?數值算例

3.1? ?算例1

磁電彈材料（BaTiO3-CoFe2O4）板在邊AD受100 N/m2的均布載荷作用，為平面應變問題，如圖4所示，邊長a = 2.0 m. 表1給出了磁電彈板的材料參數，質量密度為5 730 kg/m3，邊界條件為：ux = 0（邊CD），uz = Ф = Ψ = 0（邊BC），每個邊界的表面電荷與表面磁感應強度均為零.

采用不同節(jié)點數量（121、441和1 681個）求解磁電彈板的廣義位移（位移ux、uz，電勢Φ，磁勢Ψ），驗證SNS-RPIM的正確性以及收斂性. 表2給出了文獻[23]中A點處位移、電勢與磁勢的解析解，以及SNS-RPIM在不同節(jié)點數量下的計算結果. 可見，SNS-RPIM的結果與解析解誤差很小，隨著節(jié)點數量的增加，誤差減小，驗證了SNS-RPIM求解磁電彈結構多場耦合問題的正確性、有效性.

3.2? ?算例2

磁電彈材料懸臂梁如圖5所示，長度L=0.030 m，寬度h=0.002 m，在B點承受200 N的靜力，為平面應力問題. 懸臂梁在固定端處滿足ux=uz=Φ=Ψ =0. 懸臂梁材料屬性見表1，質量密度為5 730 kg/m3.

在證明了SNS-RPIM正確性的基礎上，對磁電彈懸臂梁在靜力作用下的響應進行研究. 圖6給出了邊AB處的廣義位移，SNS-RPIM與FEM采用三角形單元，節(jié)點數量為305個. 其中，參考解為FEM采用180×12個四邊形單元的結果. 圖7給出了靜力作用下懸臂梁的云圖. 由結果可知，在所用節(jié)點數量相同的情況下，SNS-RPIM的計算結果比FEM的結果更加接近參考解. 算例結果驗證了SNS-RPIM的高精度、正確性和有效性.

在節(jié)點數為305? 、637和1 089個時，對比了SNS-RPIM與FEM的能量誤差[24]，如圖8所示. 可知在節(jié)點數相同的情況下，SNS-RPIM的能量誤差遠遠低于FEM，并且隨著所用節(jié)點數的增加，能量誤差逐漸降低. 從而進一步驗證了SNS-RPIM的精確性，高收斂性與有效性.

4? ?結? ?論

本文基于場變量梯度方差構造了穩(wěn)定項，并將其引入了傳統(tǒng)Node-based光滑徑向基點插值法，提出了穩(wěn)定Node-based光滑徑向基點插值法. 隨后求解了磁電彈結構在靜力作用下的響應，得出以下結論：

1）將SNS-RPIM的結果與解析解進行對比，

二者吻合良好，說明了本方法的正確性及有效性.

2）計算了SNS-RPIM與FEM在不同節(jié)點數量

下的能量誤差，結果顯示SNS-RPIM具有良好的收斂性與準確性.

3）SNS-RPIM利用較少的節(jié)點能夠達到更高的精度，消除了FEM模型剛度過硬的問題.

4）通過考慮SNS-RPIM與FEM對不同模型的

求解結果，表明SNS-RPIM在求解磁電彈結構多場耦合問題時的可靠性和適用性.

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