姜 雄，蘇中乾

(遼寧科技學院 基礎部，遼寧 本溪 117022)

1 一類方程的解析解與數值解

(1) 文獻〔1〕方程

MX″(t)+CX′(t)+KX(t)=F(t)

(1)

稱為剛性動力方程。

(2)MX″(t)+CX′(t)+KX(t)=F(t)的解析解

文獻〔1〕將MX″(t)+CX′(t)+KX(t)=F(t)降階為一階方程為：

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

其中：V0包括初始條件

V(0)=(x1′(0)x2′(0) ...xn′(0)x1(0)

為了便于計算，由文獻〔3〕，定義A=-T-1U，R(t)=T-1G(t)中的A,R(t)可以證明寫成：

(8)

(4)參照文〔1〕將eAt用泰勒展開式的數值計算方法。

(5)參照文〔1〕將e-At用泰勒級數展開數值計算方法。

2 微分方程MX″(t)+CX′(t)+KX(t)=F(t)的實例分析

通過實例來分析方程的解析解。

例1：如圖1是粘滯阻尼媒質中的兩質—量彈簧系統(tǒng)。

圖1

設兩質量在一媒質中運動，媒質的阻尼力正比于速度，設質量m1和m2上分別作用推動力為f1(t)和f2(t)，建立x1(t)和x2(t)所需的方程。

解：設阻尼系數C，則運動方程：

矩陣形式為：

即MX″(t)+CX′(t)+KX(t)=F(t)，是文獻〔1〕的微分方程。

由(8)得：

將A,R(t)帶入(8)式，

但是，eAt是難以求出的，所以，當矩陣A的秩大于2時，解析解(8)只能是形式上的。

下面通過實例，來運行數值解的過程。

例2：如圖2所示。

圖2

開關S在t=0時閉合的簡單RLC環(huán)路。

試計算開關閉合后t=0.3秒時環(huán)行電流和電荷，初始電流電荷為零，選擇0.1秒。

解：由克希霍夫定律〔4〕，有：

當t=nh，

[R((n-1)h)+R(nh)]

當n=2，V(0.2秒)

=N{J(0.1秒)+NN10.05[(E+N1)R]}

V(0.2秒)=N{J(0.1秒)+NN10.05[(E+N1)R]}

=J(0.2秒)

當n=3，V(0.3秒)

V(0.3秒)=

所以，開關閉合后，當t=0.3秒，q′(t)=1.532 13A，q(t)=0.241 6C

通過實例分析，我們對剛性方程的解進行了簡單的討論?？紤]到微分方程MX″(t)+CX′(t)+KX(t)=F(t)的解析解計算復雜，尤其當矩陣的階很大時，計算量變得龐大，其數值解可以用簡單的程序完成。但這里就不做闡述， 我們只是強調方程的解法極其模型的建立過程。