極坐標與參數(shù)方程幾何意義考查中的“破劍式”
——坐標系與參數(shù)方程中的快速“破題”技巧小結(jié)

廣東 朱伯舉

雖然坐標系與參數(shù)方程的內(nèi)容在高考全國卷中屬于選考內(nèi)容，只作為兩道選做題的其中之一，難度中上，分值為10分，但該內(nèi)容幾乎是各學校高考備考的“必爭之地”.該內(nèi)容是解析幾何的延伸和拓展，高考更注重對參數(shù)方程和極坐標幾何意義的考查.于是，如何靈活運用極坐標與參數(shù)方程幾何意義便成了解決該類問題的關鍵.武俠小說中獨孤九劍的“破劍式”善于尋找各路名家劍法的破綻從而擊破對手，而極坐標與參數(shù)方程的幾何意義也有其獨特的“破劍式”，靈活運用能快速幫助我們“破題”.

從近幾年的高考全國卷試題中不難發(fā)現(xiàn)，對極坐標與參數(shù)方程幾何意義的考查主要分成以下三類：一是利用參數(shù)方程設動點坐標解決問題；二是利用極坐標中的極徑ρ和極角θ的幾何意義解決問題；三是利用直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義解決問題.這三種幾何意義的運用通?！安赜凇备呖碱}中，甚至同一道題可以運用多種幾何意義，實現(xiàn)一題多解.學生在解決問題時最大的困難是審題時眼花繚亂，不知道從哪一種幾何意義入手，實現(xiàn)“破題”.下面筆者將分別舉例說明以上三種幾何意義的“破題”技巧，幫學生練成極坐標與參數(shù)方程幾何意義運用中的“破劍式”，實現(xiàn)同類型題目“多題一解”.

類型一：利用參數(shù)方程設動點坐標解決問題

參數(shù)方程的一個重要意義是可以代替曲線中動點坐標，所以利用參數(shù)方程來設動點坐標解決問題在高考全國卷中屢見不鮮，而且以該內(nèi)容為考點的題目特點鮮明，往往涉及曲線中的動點到定直線的距離問題.例如2016年全國卷Ⅲ、2017年全國卷Ⅰ和全國卷Ⅱ以及2019年全國卷Ⅰ的22題都是考查曲線動點距離最值問題.下面筆者以2019年全國卷Ⅰ第22題為例，分析和總結(jié)該類型題的快速“破題”技巧.

(Ⅰ)求C和l的直角坐標方程；

(Ⅱ)求C上的點到l距離的最小值.

思路分析：本題考查參數(shù)方程、極坐標方程與直角坐標方程的互化和橢圓上的點到直線距離的最值問題.求解本題中的最值問題通常是用參數(shù)方程表示橢圓上的點，將問題轉(zhuǎn)化為求解三角函數(shù)的最值問題.

“破題”技巧小結(jié)：題目中的設問“特征”為“求曲線上動點到直線距離的最值”，那么該題的考查類型為利用參數(shù)方程的意義設動點坐標，再結(jié)合點到直線的距離公式和三角函數(shù)輔助角公式解決問題.

類型二：利用極坐標中的極徑ρ和極角θ的幾何意義解決問題

在極坐標系中，有以下幾個概念：

1.極徑：設M是平面內(nèi)一點，極點O與點M的距離|OM|叫做點M的極徑，記為ρ；

2.極角：以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM叫做點M的極角，記為θ；

3.極坐標：有序數(shù)對(ρ，θ)叫做點M的極坐標，記作M(ρ，θ).

也就是說，極徑ρ和極角θ分別代表一段距離和一個角，而且這段距離和這個角都與極點即坐標原點有關.高考命題也多次從該幾何意義進行考查.例如2015年全國卷Ⅰ和全國卷Ⅱ、2016年全國卷Ⅰ、2017年全國卷Ⅱ和2019年全國卷Ⅲ的22題都可以利用該幾何意義解決問題.下面筆者以2017年全國卷Ⅱ第22題為例，分析和總結(jié)該類型題的快速“破題”技巧.

例2：(2017·全國卷Ⅱ·文22理22)在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程為ρcosθ=4.

(Ⅰ)M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且滿足|OM|·|OP|=16,求點P的軌跡C2的直角坐標方程；

解析：(Ⅰ)設P點的極坐標為(ρ,θ),

思路分析：本題主要考查極坐標方程與直角坐標方程的互相轉(zhuǎn)化、極坐標的幾何意義和三角恒等變換等內(nèi)容.第(Ⅰ)問中設點的極坐標，結(jié)合條件確定線段OP與OM的關系式，利用代入法即可確定相應的軌跡方程，進而轉(zhuǎn)化為直角坐標方程.第(Ⅱ)問中設點B的極坐標，利用極坐標的幾何意義表示出三角形的面積，再結(jié)合三角恒等變換的方法，把問題轉(zhuǎn)化成求三角函數(shù)的最值問題.

難點突破：本題的主要難點是對于極徑的意義理解不到位，其一，不能建立極徑與線段OP，OM之間的聯(lián)系，從而無法快速求出點P的軌跡方程；其二，不能利用極徑的幾何意義建立△OAB的面積模型進行求解，而是順著第(Ⅰ)問的思路在直角坐標系下尋求解題思路，結(jié)果造成不能順利建?；蚴墙ⅰ鱋AB面積關于直線斜率OB的函數(shù)關系，致使解題過程復雜化，計算量加大，最終無法準確求解.筆者認為學生對極徑的意義理解不到位，不能靈活使用極徑解決問題的根本原因，主要是很多學生在審題時無法判斷“什么時候合適考慮使用極坐標的幾何意義”.

其實，這一題里面有一個明顯的特征：O，P，M是以極點為起點的射線上的三點，同時O為極點(原點).我們剛好可以通過這一特征建立極徑與線段OP，OM之間的聯(lián)系，快速“破題”，利用極坐標的意義來解決問題.

“破題”技巧小結(jié)：題目的條件中存在“經(jīng)過極點(原點)的直線或者射線”的幾何條件，多從極坐標的幾何意義角度“破題”.另外，與解析幾何相同，坐標系與參數(shù)方程的核心內(nèi)容也是利用代數(shù)的手段研究幾何問題，因此正確的作圖對于成功解題有著決定性作用，應養(yǎng)成邊讀邊畫，以圖助理解，以圖找思路的良好習慣，圖形引領數(shù)形結(jié)合，這樣才能發(fā)現(xiàn)題目中的“破題”關鍵.

遷移運用：對于本題的第(Ⅱ)問，我們?nèi)裟馨l(fā)現(xiàn)線段OA的長為定值，那么三角形OAB的面積實際上可以轉(zhuǎn)化為動點B到定直線OA的距離最值問題，那么該問我們也可以用上文所說的類型一的題目特征來實現(xiàn)“破題”.

類型三：利用直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義解決問題

近幾年高考全國卷中對于t的幾何意義的考查并不是很常見，但在2016年與2018年的全國卷Ⅱ中的22題均可以用該知識點解決.該類問題往往也可以通過轉(zhuǎn)化為直角坐標利用解析幾何的方法完成，但有時候這樣做計算量較大.下面筆者以2018年全國卷Ⅱ中的22題為例，分析和總結(jié)該類型題的快速“破題”技巧.

(Ⅰ)求C和l的直角坐標方程；

(Ⅱ)若曲線C截直線l所得線段的中點坐標為(1,2)，求l的斜率.

當cosα≠0時，l的直角坐標方程為y=tanα·x+2-tanα，

當cosα=0時，l的直角坐標方程為x=1.

(Ⅱ)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標方程，整理得關于t的方程(1+3cos2α)t2+4(2cosα+sinα)t-8=0.①

思路分析：(Ⅰ)根據(jù)同角三角函數(shù)關系將曲線C的參數(shù)方程化為直角坐標方程，根據(jù)代入消元法將直線的參數(shù)方程化為直角坐標方程，此時要注意根據(jù)斜率的存在情況分兩種情況討論.(Ⅱ)將直線參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標方程，根據(jù)參數(shù)t的幾何意義得sinα,cosα之間的關系，求得tanα，即得直線l的斜率.這里，能否利用直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義是能否順利求解的關鍵.

難點突破：本題第(Ⅱ)問可以利用直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義完成解答，但是怎么想到能夠用該意義完成呢？這里對直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義使用的前提認識到位很重要.筆者認為直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義有兩大關鍵詞“標準方程”和“定點”.該題中直線的參數(shù)方程的標準形式中的定點為(1,2)，而該點也剛好為第(Ⅱ)問中所提及的“曲線C截直線l所得線段的中點坐標”，這一特征顯得特別重要，這一條件恰好為我們使用直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義提供了前提，發(fā)現(xiàn)這一特征正是“破題”關鍵.

“破題”技巧小結(jié)：直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義的使用與“直線參數(shù)方程的標準方程中的定點”有很大的聯(lián)系，所以當我們發(fā)現(xiàn)題目條件中所提供的點與直線參數(shù)方程的標準方程中的定點“不謀而合”時，這不是“巧合”，而是一個提示：該題可以利用直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義求解.