羅函明，羅天洪，吳曉東，陳科百

1.重慶交通大學(xué) 機(jī)電與車輛工程學(xué)院，重慶400074

2.重慶文理學(xué)院 智能制造工程學(xué)院，重慶402160

1 引言

車間調(diào)度問題是指在有限的資源條件下，如何合理地安排車間生產(chǎn)任務(wù)，以滿足或優(yōu)化一個或多個性能指標(biāo)。該問題的性能指標(biāo)種類繁多，如常用的生產(chǎn)效率指標(biāo)[1]和近年來提出的綠色化指標(biāo)[2]?；旌狭魉囬g是一種常見的流水作業(yè)生產(chǎn)車間，具備一般流水車間和并行機(jī)車間的特點，生產(chǎn)過程柔性化，更符合生產(chǎn)實際情況。混合流水車間調(diào)度問題（Hybrid Flow-shop Scheduling Problem，HFSP），也稱為柔性流水車間調(diào)度問題（Flexible Flow-shop Scheduling Problem，F(xiàn)FSP），在電子、物流及互聯(lián)網(wǎng)服務(wù)等現(xiàn)代行業(yè)都有著十分廣泛的應(yīng)用，可追溯到機(jī)械、化工、紡織、制藥等傳統(tǒng)行業(yè)。HFSP是一種NP-hard 組合優(yōu)化問題[3]，不可能在多項式時間內(nèi)精確求得最優(yōu)解，解決該問題的最佳方法是采用元啟發(fā)式算法。因此，對HFSP 的研究具有重要的實際應(yīng)用價值和理論研究價值。

與一般流水車間調(diào)度問題相比，HFSP 在各道工序中存在并行機(jī)，需要同時確定工件排序和機(jī)器分配。按并行機(jī)類型的不同，HFSP可分為三類[1]：均勻并行機(jī)，指工件每道工序在任意一臺并行機(jī)上的加工時間與其加工速度成反比；相同并行機(jī)，指工件每道工序在任意一臺并行機(jī)上的加工時間相同；不相關(guān)并行機(jī)，指工件每道工序在任意一臺并行機(jī)上的加工時間互不相關(guān)，有所不同。不相關(guān)并行機(jī)上的加工時間取決于工件與機(jī)器的適配程度，更符合實際生產(chǎn)，同時，加工時間的互不相關(guān)性加大了求解難度，因此本文研究的是不相關(guān)并行機(jī)HFSP。

本文研究目的是針對HFSP的特性來設(shè)計一種有效的元啟發(fā)式算法，以求解該類問題，并提高解的質(zhì)量和穩(wěn)定性。

2 混合流水車間調(diào)度問題

HFSP 的求解方法有精確計算、啟發(fā)式規(guī)則和元啟發(fā)式算法[4]。相對于精確計算求解時間過長，啟發(fā)式規(guī)則難以獲得全局最優(yōu)解，元啟發(fā)式算法運算速度快，所得解質(zhì)量好，因而運用廣泛，如遺傳算法（Genetic Algorithm，GA）、模擬退火算法、禁忌搜索算法，新興的粒子群優(yōu)化算法（Particle Swarm Optimization，PSO）[5]、蟻群優(yōu)化算法[6]、蝙蝠算法[7]和混合蛙跳算法[8]等。王凌等[1]針對不相關(guān)并行機(jī)HFSP 提出了人工蜂群算法，采用基于多操作的鄰域搜索和隨機(jī)搜索，通過實例驗證了該算法求解HFSP 的有效性。王圣堯等[9]建立了HFSP 解空間的概率模型，進(jìn)而提出了一種分布估計算法，對HFSP有著較快的求解速度。崔琪等[10]針對相同并行機(jī)HFSP提出一種變鄰域改進(jìn)遺傳算法，采用NEH 啟發(fā)式算法產(chǎn)生初始種群，設(shè)計兩種交叉算子提高算法搜索效率。Bozorgirad等[11]提出將三種基于禁忌搜索及三種基于模擬退火的局部搜索算法與兩種基于遺傳算法的種群算法進(jìn)行實驗對比，結(jié)果表明基于種群的算法比局部搜索算法在求解HFSP 時得到的解質(zhì)量更優(yōu)。Santosa 等[12]針對有限等待區(qū)間HFSP，提出了一種多目標(biāo)離散粒子群優(yōu)化算法。Azami等[13]針對航空航天復(fù)合材料制造系統(tǒng)中的兩階段HFSP，提出一種新的啟發(fā)式規(guī)則生成遺傳算法的初始種群，并在算法中設(shè)計了一種新的交叉算子。雖然對于HFSP 的求解算法已有大量研究，但是大多算法都沿用了一般流水車間調(diào)度的求解方法，即基于工件排列的編碼方法以及基于工件先到先加工和最先空閑機(jī)器規(guī)則的解碼方法。這種解碼方法易導(dǎo)致算法早熟，因此王芳等[14]設(shè)計了一種混合隨機(jī)概率與規(guī)則解碼方法（簡稱隨機(jī)規(guī)則解碼），擴(kuò)大搜索空間，阻止算法早熟，但該方法并沒有根據(jù)HFSP的特性來設(shè)計，還有待改進(jìn)和提高解的質(zhì)量。

布谷鳥搜索（Cuckoo Search，CS）算法是由Yang等[15]于2009 年提出的一種新型元啟發(fā)式算法，有著算法結(jié)構(gòu)簡單、控制參數(shù)少、尋優(yōu)能力強(qiáng)和易于結(jié)合其他算法進(jìn)行改進(jìn)等優(yōu)點，已被成功應(yīng)用于多種工程優(yōu)化領(lǐng)域[16-18]。然而，CS算法應(yīng)用于求解HFSP的研究較少。Burnwal等[19]基于CS算法求解以最小化延期懲罰成本和最大化機(jī)器利用率為目標(biāo)的HFSP，經(jīng)仿真驗證了CS算法性能優(yōu)于GA、PSO 算法；Marichelvam 等[20]通過NEH 啟發(fā)式規(guī)則生成HFSP的初始解，提高了CS算法的收斂速度；Han等[21]針對HFSP設(shè)計了自適應(yīng)CS算法，并加強(qiáng)了算法跳出極值的能力。文獻(xiàn)調(diào)研表明，CS 算法在求解調(diào)度類問題時，大多數(shù)文獻(xiàn)都是基于某種排序映射規(guī)則將CS 算法產(chǎn)生的連續(xù)解轉(zhuǎn)換為離散解。該方法不能將連續(xù)解空間中全局搜索和局部搜索之間的關(guān)系有效地轉(zhuǎn)換到離散解空間，削弱了CS 算法優(yōu)越的尋優(yōu)能力。針對該方法的缺陷，陳飛躍等[22]為求解帶阻塞有差速的HFSP，提出了一種基于交叉策略的離散萊維飛行，但這種交叉策略容易產(chǎn)生不可行調(diào)度解，尋優(yōu)能力還有待加強(qiáng)。

為更好地求解不相關(guān)并行機(jī)HFSP，基于上述研究，本文所做的研究改進(jìn)有：（1）設(shè)計了一種改進(jìn)的隨機(jī)規(guī)則解碼方法，即基于工件數(shù)與并行機(jī)數(shù)，按概率隨機(jī)分配機(jī)器，提高了解的質(zhì)量；（2）根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)布谷鳥算法中萊維飛行和巢寄生行為兩種位置更新策略的核心思想，提出了基于位置交叉和個體距離的離散萊維飛行，設(shè)計了基于最優(yōu)插入和最優(yōu)交換的巢寄生策略；（3）結(jié)合以上兩點，在標(biāo)準(zhǔn)布谷鳥算法結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，構(gòu)建了一種求解HFSP 的離散布谷鳥（Discrete Cuckoo Search，DCS）算法，并通過實例測試和算法比較，驗證了該算法在求解質(zhì)量和穩(wěn)定性方面的優(yōu)越性。

3 問題描述及模型構(gòu)建

不相關(guān)并行機(jī)HFSP 一般可描述為：n 個工件都需要按照相同的h 道工序順序進(jìn)行加工，每道工序有mj臺并行機(jī)(mj≥1;j=1,2,…,h)，每個工件的任意一道工序均可在該工序的任意一臺并行機(jī)上加工，且每道工序只能加工一次，已知各工件的各工序在各并行機(jī)上的加工時間，加工時間有所不同，要求確定每道工序的工件加工排序和對應(yīng)的機(jī)器分配情況，使得最大完工時間最小。

因HFSP的數(shù)學(xué)模型已有豐富而完善的研究，且本文研究的是該問題的一種新的求解方法，本節(jié)參考王芳等[14]提出的0-1混合整數(shù)規(guī)劃模型，建立不相關(guān)并行機(jī)HFSP數(shù)學(xué)模型，符號定義如下：

N 為工件集合，N={1 ,2,…,n} ；

H 為工序集合，H={1 ,2,…,h} ；

M 為機(jī)器集合，M={1 ,2,…,m} ；

Mj為第j 道工序的可用機(jī)器集合：

mj為第j 道工序的可用機(jī)器數(shù)量；

i ∈N,k ∈M,t ∈N ；

Pi,j,k為工件i 的第j 道工序在機(jī)器k 上的加工時間；

Kk,t為機(jī)器k 第t 次開始加工的時刻；

Jk,t為機(jī)器k 第t 次結(jié)束加工的時刻；

Fi,j為工件i 的第j 道工序開始加工時間；

Ci,j為工件i 的第j 道工序結(jié)束加工時間；

U 為充分大的正數(shù)。

定義如下機(jī)器分配和工件排序兩個0-1決策變量：

基于以上兩決策變量構(gòu)建不相關(guān)并行機(jī)HFSP數(shù)學(xué)模型如下：

目標(biāo)函數(shù)（1）表示工件的最大完工時間最小化；約束（2）確保任一工件的任一道工序只能在該道工序中的某一臺機(jī)器上加工一次；約束（3）確定工件在某臺機(jī)器上加工順序；約束（4）確保一個工件只能在一臺機(jī)器上加工一次；約束（5）確保機(jī)器只能按順序加工工件；約束（6）確保機(jī)器加工任一工件的開始時刻等于該工件開始加工時刻；約束（7）和（8）確保任一工件結(jié)束加工時刻等于開始加工時刻與加工時間之和；約束（9）確保機(jī)器前一次加工結(jié)束時刻不大于后一次的加工開始時刻；約束（10）確保工件前一道工序加工結(jié)束時刻不大于后一道工序的開始加工時刻。

4 求解HFSP的DCS算法

4.1 概述

標(biāo)準(zhǔn)CS算法是一種求解連續(xù)型優(yōu)化問題的元啟發(fā)式算法，其核心思想是基于萊維飛行行為和巢寄生行為的兩種位置更新策略。萊維飛行行為是模仿自然界一些鳥類的飛行行為，可描述為一個運動體運動方向隨機(jī)，運動步長以小步移動為主，并偶爾伴有大步位移；巢寄生行為是指某些種類的布谷鳥有著具有侵略性的繁殖策略，它們趁其他鳥類（宿主鳥）外出時，偷偷在宿主鳥巢中產(chǎn)蛋，讓其代為孵化和育雛，而宿主鳥一旦發(fā)現(xiàn)了外來鳥蛋，會直接扔掉或者新建一個鳥巢。

因HFSP屬于組合優(yōu)化問題，標(biāo)準(zhǔn)CS算法的位置更新策略中具體公式已不再適用，需要重新根據(jù)HFSP 的特性設(shè)計具體位置更新策略，以保留標(biāo)準(zhǔn)CS 算法優(yōu)勢。因此，本文基于標(biāo)準(zhǔn)CS算法的核心思想，提出求解HFSP的DCS算法。

4.2 解碼方法的改進(jìn)

在進(jìn)行詳細(xì)的算法設(shè)計之前，需進(jìn)行編碼和解碼規(guī)則的設(shè)計。因為直接利用HFSP 的數(shù)學(xué)模型求解，屬于精確計算，而HFSP是一種NP難題，在合理的時間范圍內(nèi)精確計算只能求解很小規(guī)模且簡單的問題。因此，在求解HFSP 這類調(diào)度問題時，大量文獻(xiàn)都是根據(jù)問題描述及模型約束等，設(shè)計相應(yīng)的編碼和解碼規(guī)則。這種方式既方便算法的進(jìn)化操作，也方便快速獲得目標(biāo)函數(shù)值以及詳細(xì)的調(diào)度方案。

本節(jié)在已有研究的基礎(chǔ)上，在編碼方面直接采用基于排列的編碼方法，在解碼方面基于王芳等[14]提出的一種隨機(jī)規(guī)則解碼方法，根據(jù)HFSP的特性，提出改進(jìn)的隨機(jī)規(guī)則解碼方法，使得解碼方法更加合理有效，能進(jìn)一步提高解的質(zhì)量。

基于排列的編碼方法，其編碼序列為：

其中，n 為待加工工件數(shù)，xi∈{1,2,…,n} ，工件號xi在編碼序列中的位置代表工件第一道工序的加工順序。

解碼可分為工件排序和機(jī)器分配兩部分。原始解碼方法是按照工件先到先加工規(guī)則和最先機(jī)器空閑規(guī)則，確定工件排序時，第一道工序由編碼序列確定工件先后加工順序，后續(xù)工序的工件排序采用先到先加工規(guī)則，按照工件前一工序的完成時間排列順序，先完成的先加工，若有工件在前一工序的完成時間相同，則隨機(jī)確定這些工件的加工順序；分配機(jī)器時，將工件分配到加工當(dāng)前工件所需的完工時間最早的機(jī)器上。隨機(jī)規(guī)則解碼方法是于2017 年提出的，工件排序按先到先加工規(guī)則確定，而在分配機(jī)器時，當(dāng)生成的隨機(jī)概率u 大于給定的機(jī)器選擇概率Pm 時，則隨機(jī)分配機(jī)器，反之，按完工時間來分配機(jī)器。隨機(jī)概率u 服從[0，1]均勻分布，機(jī)器選擇概率Pm 選取王芳等[14]確定的0.85 概率值。由于隨機(jī)概率的存在，同一編碼序列對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值很有可能不同，因此為獲得更優(yōu)解，設(shè)定最大循環(huán)解碼次數(shù)C，當(dāng)循環(huán)過程中出現(xiàn)比上一代更優(yōu)的目標(biāo)函數(shù)值時，則退出循環(huán)，并記為該序列的目標(biāo)函數(shù)值。

表1為一個6工件、2工序的不相關(guān)并行機(jī)HFSP的加工時間表，編碼序列[2,4,3,6,1,5] 經(jīng)上述兩種解碼方法所得的甘特圖如圖1、圖2 所示。甘特圖中方框內(nèi)數(shù)字代表工件號，工件號自下至上出現(xiàn)的順序代表工序。例如，圖1 中工件2 的第1 道工序在機(jī)器M1 上加工，開工時刻為0，完工時刻為3，第2 道工序在機(jī)器M6上加工，開工時刻為3，完工時刻為7。對比圖1、圖2可知，在第2道工序給4號工件分配機(jī)器時，滿足u ＞Pm，于是將4號工件隨機(jī)分配給已加工了3號工件的5號機(jī)器。雖然最后兩者解碼得到的最大完工時間都為9，但是后者重復(fù)地將工件分配給同一臺機(jī)器，使6號機(jī)器僅在短時間內(nèi)加工了一個工件，同時加大了5 號機(jī)器負(fù)荷，還有可能增大最后完工時間。

表1 加工時間表

圖1 原始規(guī)則解碼

圖2 隨機(jī)規(guī)則解碼

因此，本文根據(jù)HFSP 需要同時確定工件和機(jī)器的特性，基于工件數(shù)和并行機(jī)數(shù)，對隨機(jī)規(guī)則解碼方法進(jìn)行改進(jìn)，提出改進(jìn)隨機(jī)規(guī)則解碼方法，以提高解的質(zhì)量。具體實施方法如下：工序j 中有mj臺并行機(jī)，加工任意一道工序時，每mj個工件進(jìn)行一次判斷，當(dāng)u ＞Pm時，任選其中一個工件對其隨機(jī)分配機(jī)器，剩余工件則以先到先加工規(guī)則確定的排序并按完工時間來分配機(jī)器，反之，這mj個工件都按完工時間來分配機(jī)器，若最后不足mj個工件但多于一個，依然按上述規(guī)則分配機(jī)器，若僅剩一個工件，則按最先機(jī)器空閑規(guī)則分配機(jī)器。對上述編碼序列用改進(jìn)解碼方法求得的甘特圖如圖3所示，獲得最大完工時間為8，提高了解的質(zhì)量。

圖3 改進(jìn)規(guī)則解碼

4.3 離散萊維飛行的改進(jìn)

在標(biāo)準(zhǔn)CS 算法中，萊維飛行是一種連續(xù)性的位置更新，而HFSP是一種典型的組合優(yōu)化問題，因而需要設(shè)計適用于HFSP的離散萊維飛行。

一般的離散萊維飛行是基于某種排列映射規(guī)則，例如最小位置（Smallest Position Value，SPV）規(guī)則[23]和最大順序值（Largest Order Value，LOV）規(guī)則[24]。SPV 規(guī)則指將實數(shù)向量中的各分量進(jìn)行升序排列得到新向量，新向量中各分量所對應(yīng)原來向量中的位置序列即為整數(shù)編碼序列；LOV規(guī)則與SPV規(guī)則相反，是指對各分量進(jìn)行降序排列。這種方法簡單易于實現(xiàn)，既能保證調(diào)度解的可行性，又無須修改CS算法的進(jìn)化操作，因而得到了廣泛的運用。但是，這種方法不能有效地將連續(xù)空間中局部搜索與全局搜索之間的關(guān)系轉(zhuǎn)換到離散空間，削弱了算法性能，容易陷入局部極值，難以搜索到最優(yōu)解。因此，本文提出一種基于位置交叉和個體距離的離散萊維飛行機(jī)制，種群中每個鳥巢與最優(yōu)鳥巢之間的個體距離視為概率，以這個概率進(jìn)行基于位置的交叉操作。

基于位置的交叉是遺傳算法中的一種交叉策略，使用這種交叉策略可以避免在交叉操作過程中產(chǎn)生不可行解；個體距離是劉長平等[25]在使用離散螢火蟲算法時提出的，表示兩個體在離散空間中距離遠(yuǎn)近程度，本文將其引入作為離散萊維飛行中的交叉概率。由于編碼序列中xi僅代表工件號，工件號之差并不能代表它們在離散空間中的距離遠(yuǎn)近，因此本文對其稍做改進(jìn)，使其更符合編碼序列之間的遠(yuǎn)近程度，改進(jìn)后個體距離求解過程如下：

首先，編碼序列的個體零點位置定義為：

然后，編碼序列的個體位置定義為：將編碼序列X的工件號按從小到大排列，并記錄每個工件號對應(yīng)所在位置，即為個體位置S。

最后，編碼序列之間的個體距離定義為：

式中，si,k、sj,k為個體i、j 第k 維的位置數(shù)；N 為分子項取值上限，按下式計算：

由定義可知di,j∈[0 ,1] ，反映了鳥巢之間的遠(yuǎn)近程度，值越大，則距離越遠(yuǎn)。

改進(jìn)的離散萊維飛行具體實施步驟如下：

（1）計算當(dāng)前鳥巢與最優(yōu)鳥巢的個體位置及兩者間的個體距離，并將后者定義為交叉概率。

（2）生成1×n 的隨機(jī)概率矩陣，將概率矩陣中每個位置的概率與交叉概率相比較，若大于交叉概率，則當(dāng)前鳥巢在該位置上對應(yīng)的工件號保留，反之，刪除對應(yīng)該位置的工件號。

（3）將最優(yōu)鳥巢的編碼序列上與當(dāng)前鳥巢的編碼序列保留的工件號相同的工件號刪除。

（4）將最優(yōu)鳥巢剩余的工件號依次填入當(dāng)前鳥巢被刪除的工件號的位置。

例如，當(dāng)前鳥巢編碼序列為[2 ,1,5,3,4,6] ，最優(yōu)鳥巢編碼序列為[3 ,5,2,4,6,1] 。首先執(zhí)行步驟（1），得到兩個鳥巢的個體位置分別為[2 ,1,4,5,3,6] 和[6,3,1,4,2,5] ，它們之間的個體距離為2/3，即交叉概率為2/3；然后執(zhí)行步驟（2），生成的隨機(jī)概率矩陣為[0.81,0.91,0.13,0.74,0.63,0.09] ，與交叉概率相比較，則當(dāng)前鳥巢編碼序列變?yōu)閇2 ,1,x,3,x,x] ；接著執(zhí)行步驟（3），刪除最優(yōu)鳥巢編碼序列上與之保留的相同的工件號，則最優(yōu)鳥巢編碼序列變?yōu)閇 x,5,x,4,6,x] 。最后執(zhí)行步驟（4），將其依次填入當(dāng)前鳥巢編碼序列中，即可得到新鳥巢的編碼序列[2 ,1,5,3,4,6] 。

4.4 巢寄生策略的設(shè)計

在標(biāo)準(zhǔn)CS 算法中，巢寄生策略的具體位置更新操作采用隨機(jī)游動方式，是一種連續(xù)的位置更新，并不適合求解HFSP這類組合優(yōu)化問題。本文根據(jù)HFSP的編碼形式特點，設(shè)計基于最優(yōu)交換和最優(yōu)插入的巢寄生策略。這兩種操作敘述如下：

（1）最優(yōu)插入操作：從編碼序列X 中隨機(jī)刪除一個工件號，得到n-1 個工件的序列X′，可知該序列有n個可插入位置，從左到右依次插入后計算新序列的目標(biāo)函數(shù)值，當(dāng)新序列的目標(biāo)函數(shù)值優(yōu)于原序列的目標(biāo)函數(shù)值時，則退出最優(yōu)插入操作，并更新編碼序列，反之，則繼續(xù)插入操作，直到達(dá)到可插入次數(shù)為止。

（2）最優(yōu)交換操作：在工件序列X 中隨機(jī)選取一個工件號，并與序列X 中其他位置上的工件一一交換，可知有n-1 次交換操作，從左到右依次交換后計算新序列的目標(biāo)函數(shù)值，新序列的目標(biāo)函數(shù)值優(yōu)于原序列的目標(biāo)函數(shù)值時，則退出最優(yōu)交換操作，并更新編碼序列，反之，則繼續(xù)交換操作，直到達(dá)到可交換次數(shù)為止。

基于最優(yōu)交換和最優(yōu)插入的巢寄生策略可敘述為：對鳥巢i 生成一個服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)r ∈[0,1] ，并與給定的被發(fā)現(xiàn)概率Pa 相比，如果r ＞Pa，則執(zhí)行位置更新操作，其中最優(yōu)插入和最優(yōu)交換操作各有0.5 的概率執(zhí)行，產(chǎn)生新的鳥巢Xnew；若新鳥巢Xnew的適應(yīng)度優(yōu)于鳥巢

4.5 DCS算法流程及其復(fù)雜度

根據(jù)上述的求解HFSP 的算法設(shè)計思路，算法中各操作時間復(fù)雜度如表2 所示，算法總的時間復(fù)雜度為O(Gmax×PsizeChn logn)，log 的底數(shù)為大于1 的正整數(shù)，其中適應(yīng)度計算和巢寄生策略都考慮最差情況。

表2 算法各操作復(fù)雜度

DCS算法流程偽代碼如下所示：

1. 初始化參數(shù)：加工機(jī)器矩陣J 、加工時間矩陣T 、鳥巢種群數(shù)量Psize、被發(fā)現(xiàn)概率Pa、機(jī)器選擇概率Pm、解碼最大循環(huán)次數(shù)C、最大迭代次數(shù)Gmax；

2. 隨機(jī)初始化鳥巢，計算并記錄對應(yīng)適應(yīng)度值，記錄當(dāng)前全局最優(yōu)鳥巢Xm、適應(yīng)度值Fmin及具體最優(yōu)調(diào)度方案；

3. repeat 4. 采用4.3節(jié)提出的離散萊維飛行產(chǎn)生新的鳥巢；

5. 計算新鳥巢的適應(yīng)度，若有更優(yōu)的鳥巢則鳥蛋被孵化，取代較差的鳥巢；

6. 采用4.4 節(jié)設(shè)計的巢寄生策略進(jìn)行局部搜索，并記錄當(dāng)前最優(yōu)鳥巢Xn、適應(yīng)度值Fnew及其最優(yōu)調(diào)度方案；

7.if Fnew＜Fmin

8. Xm=Xn；

9. Fmin=Fnew；

10. 替換最優(yōu)調(diào)度方案；

11. end if

12. until滿足算法終止條件；//達(dá)到最大迭代次數(shù)Gmax

13. return最優(yōu)調(diào)度方案

5 仿真測試及分析

5.1 算法參數(shù)確定

求解HFSP 的DCS 算法主要相關(guān)參數(shù)有種群大小Psize、被發(fā)現(xiàn)概率Pa，解碼方法中相關(guān)參數(shù)有機(jī)器選擇概率Pm 和解碼最大循環(huán)次數(shù)C。種群大小Psize對算法影響較大，若種群數(shù)量過小，則初始化個體在解空間分布密度小，對解空間的搜索不夠徹底，并且影響種群多樣性，也易導(dǎo)致算法陷入局部極值；若種群數(shù)量過大，則會大大增加算法運行時間，可能會出現(xiàn)重復(fù)搜索某區(qū)域的現(xiàn)象。被發(fā)現(xiàn)概率Pa 主要影響算法運行時間和收斂速度，較小時，算法運行時間較長，收斂速度較快，而過小可能導(dǎo)致算法陷入局部極值，對于大多數(shù)優(yōu)化問題，通常取Pa=0.25，就能滿足需求。機(jī)器選擇概率Pm 直接影響算法搜索空間大小，進(jìn)而影響算法收斂速度，Pm 較小，解碼過程偏向于隨機(jī)解碼，此時搜索空間較大，Pm 較大，解碼過程偏向于規(guī)則解碼，此時搜索空間較小。解碼最大循環(huán)次數(shù)C 對算法性能影響較大，C過小，難以對編碼序列進(jìn)行有效的解碼，C 過大，則會過多增加算法運行時間。根據(jù)上述分析并經(jīng)過大量的測試，為兼顧算法運行時間、收斂速度和優(yōu)化質(zhì)量，本文中，DCS算法參數(shù)設(shè)置如表3所示。

表3 算法參數(shù)設(shè)置

5.2 改進(jìn)解碼方法有效性驗證

本節(jié)分別采用原始規(guī)則、隨機(jī)規(guī)則和改進(jìn)隨機(jī)規(guī)則解碼的DCS 算法（分別記為DCS_P、DCS_R、DCS_I）對5個隨機(jī)生成的算例進(jìn)行求解，以驗證改進(jìn)隨機(jī)規(guī)則的有效性。采用10 工件、5 工序，并行機(jī)數(shù)[3,3,2,3,3] ，加工時間[30,60] 的5 個隨機(jī)整數(shù)算例，為更好地符合實際生產(chǎn)，并行機(jī)處理同一個工件的同一道工序的最大時間差不得超過5。每種算法均獨立運行10次，以運行結(jié)果的最優(yōu)下界Cmax、平均值A(chǔ)VG、標(biāo)準(zhǔn)差STD作為評價指標(biāo)，結(jié)果如表4所示。

表4 三種解碼方法的運行結(jié)果對比

從表4可以看出，對于算例1，DCS_R和DCS_I算法求解得到的Cmax分別為356和355，小于DCS_P算法求解得到的358，再對比算例2～算例5，發(fā)現(xiàn)DCS_R 和DCS_I 算法所得到的Cmax數(shù)值都小于DCS_P 算法，驗證了混合概率與規(guī)則的解碼方法更可能得到更優(yōu)解。然后，對算例1，DCS_I 算法求解10 次得到的平均值A(chǔ)VG 為355.9，小于DCS_R 算法得到的356.1，進(jìn)一步看出，除算例3兩種算法10次求解的平均值A(chǔ)VG相同外，對算例2、算例4、算例5，DCS_I算法求解所得AVG都小于DCS_R 算法，說明改進(jìn)方法提高了算法解的質(zhì)量。最后，對于算例1～算例5，采用三種解碼方法求得的解的標(biāo)準(zhǔn)差STD 都小于1，說明DCS 算法的解的穩(wěn)定性好。因此，對比結(jié)果驗證了改進(jìn)隨機(jī)規(guī)則的有效性。

圖4為算例1采用不同解碼方法的收斂曲線圖?？梢钥闯?，在算法前期時，DCS_P算法的收斂速度最快，但導(dǎo)致了算法早熟，從而陷入了局部極值；DCS_I 算法的收斂速度快于DCS_R 算法，說明改進(jìn)方法能對解空間進(jìn)行更為有效的搜索，從而加快算法收斂速度，進(jìn)一步驗證了改進(jìn)隨機(jī)規(guī)則的有效性。

圖4 不同解碼方法求解算例1的收斂曲線

5.3 實例驗證及算法比較

本文利用王圣堯等[9]采用的兩個不相關(guān)并行機(jī)HFSP實例進(jìn)行測試，并與其他文獻(xiàn)提出的求解算法做對比，其中SACS[21]算法為一種求解HFSP 的自適應(yīng)布谷鳥算法，GA算法為常用算法，F(xiàn)OA[26]、EDA[9]、EDA_H[14]、IPSO[27]均為近年來求解以最小化完工時間為目標(biāo)的不相關(guān)并行機(jī)HFSP 的典型代表算法。算法在Intel Core i5-7300HQ 2.50 GHz CPU、8 GB RAM、Windows 10操作系統(tǒng)和Matlab編程環(huán)境下編譯測試。

DCS_I 算法求解實例中兩種位置更新步驟的詳細(xì)代碼如下。

離散萊維飛行位置更新步驟的代碼：

巢寄生策略位置更新步驟的代碼：

表5、表6 為各種算法求解兩個實例獨立運行10 次的結(jié)果。

從表5、表6的運行結(jié)果可以看出，DCS_I算法對第一個實例的10次運行結(jié)果中有6次求出了最優(yōu)解23，對第二個實例10 次運行結(jié)果都求出了最優(yōu)解297。對比其他算法結(jié)果可以看出DCS_I 算法在解的質(zhì)量方面優(yōu)于SACS、GA、FOA、EDA等算法，說明了本文所提算法求解該類問題的優(yōu)越性。DCS_I 算法求解結(jié)果對應(yīng)的調(diào)度甘特圖如圖5、圖6所示。

表5 實例1的運行結(jié)果

表6 實例2的運行結(jié)果

圖5 實例1調(diào)度甘特圖

圖6 實例2調(diào)度甘特圖

6 結(jié)束語

本文在不相關(guān)并行機(jī)混合流水車間調(diào)度問題的現(xiàn)有研究基礎(chǔ)上，提出了一種求解HFSP 的離散布谷鳥算法。本文主要工作如下：

（1）提出了改進(jìn)隨機(jī)規(guī)則解碼方法，通過算例對比分析，驗證了改進(jìn)解碼方法的有效性，能合理地加快算法收斂速度，同時增加搜索到更優(yōu)解的可能性，提高解的質(zhì)量。

（2）根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)布谷鳥算法的兩種位置更新策略思想，提出了基于位置交叉和個體距離的離散萊維飛行，設(shè)計了基于最優(yōu)插入和最優(yōu)交換操作的巢寄生策略。

（3）通過實例測試和算法比較，驗證了本文算法在求解質(zhì)量和穩(wěn)定性方面優(yōu)于自適應(yīng)布谷鳥算法、遺傳算法和分布估計算法等。

通過研究，發(fā)現(xiàn)本文算法在求解大規(guī)模問題時，用時較長，因此如何減少算法求解時間而不犧牲算法原有性能是一個未來研究方向，或者結(jié)合工程實際需要，拓展本文算法的應(yīng)用領(lǐng)域。