在整體把握對(duì)應(yīng)關(guān)系中發(fā)展學(xué)生空間觀念

董文彬

摘? ? 要?? ?圓柱與圓錐是小學(xué)數(shù)學(xué)圖形與幾何領(lǐng)域認(rèn)識(shí)的最后一組立體圖形，在全面認(rèn)識(shí)立體圖形的本質(zhì)特征中發(fā)展空間觀念是整個(gè)單元教學(xué)的核心。針對(duì)圓柱與圓錐這一組含有曲面的、特殊的立體圖形，可以著重從運(yùn)動(dòng)視角立體刻畫(huà)圖形關(guān)系、從多元角度全面認(rèn)識(shí)圖形特征、從圖形測(cè)量整體把握對(duì)應(yīng)關(guān)系三個(gè)方面探討如何在立體圖形不同維度的變形轉(zhuǎn)換的認(rèn)識(shí)中深入發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

關(guān)鍵詞? 圓柱與圓錐 本質(zhì)特征 對(duì)應(yīng)關(guān)系 整體把握 空間觀念

圓柱與圓錐是小學(xué)階段圖形與幾何領(lǐng)域認(rèn)識(shí)的最后一組重要的立體圖形。無(wú)疑，在認(rèn)識(shí)立體圖形的本質(zhì)特征中發(fā)展學(xué)生空間觀念是整個(gè)單元教學(xué)的重點(diǎn)。那么，圓柱與圓錐作為小學(xué)數(shù)學(xué)中一組含有曲面的特殊的立體圖形，如何全方位、多角度、多層次地整體把握它們的本質(zhì)特征，如何在不同維度的變形轉(zhuǎn)換中尋找對(duì)應(yīng)關(guān)系以發(fā)展學(xué)生的空間觀念，進(jìn)而更深刻地達(dá)成對(duì)這兩種立體圖形本質(zhì)特征的再認(rèn)識(shí)，是我們?cè)趩卧獋湔n視角下要著重思考的命題。

一、從運(yùn)動(dòng)視角立體刻畫(huà)圖形關(guān)系，發(fā)展空間觀念

學(xué)生在小學(xué)階段深入認(rèn)識(shí)與研究立體圖形一共有兩次，一次是五年級(jí)下冊(cè)學(xué)習(xí)“長(zhǎng)方體和正方體”，一次是六年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)“圓柱與圓錐”。但仔細(xì)研讀北師大版教材，會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)十分有趣的現(xiàn)象：學(xué)生在開(kāi)始認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體和正方體時(shí)是直接從實(shí)物抽象出概念直觀圖，再認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體、正方體面、棱、頂點(diǎn)的特征，而在認(rèn)識(shí)圓柱與圓錐的特征時(shí)卻是從面的旋轉(zhuǎn)的角度開(kāi)始認(rèn)識(shí)的。

那么圓柱與圓錐的認(rèn)識(shí)為什么要首先聚焦于面的旋轉(zhuǎn)呢？這樣的編排對(duì)學(xué)生認(rèn)識(shí)圓柱與圓錐有什么好處呢？以往認(rèn)識(shí)圖形都是從靜態(tài)的角度開(kāi)始認(rèn)識(shí)的，圓柱與圓錐的認(rèn)識(shí)是從動(dòng)態(tài)的角度認(rèn)識(shí)圖形，從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)這樣的認(rèn)知過(guò)程能夠幫助學(xué)生更加整體地認(rèn)識(shí)圖形之間的關(guān)聯(lián)。一來(lái)通過(guò)點(diǎn)動(dòng)成線、線動(dòng)成面、面動(dòng)成體的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生基于圖形元素的視界立體感悟點(diǎn)、線、面、體之間的聯(lián)系，從運(yùn)動(dòng)的視角整體把握?qǐng)D形之間的關(guān)系;二來(lái)通過(guò)長(zhǎng)方形繞某一軸線旋轉(zhuǎn)形成圓柱、直角三角形繞某一軸線旋轉(zhuǎn)形成圓錐，讓學(xué)生經(jīng)歷不同平面圖形借助旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)形成幾何體的過(guò)程，在觀察、想象與操作中感悟幾何體的形成過(guò)程，體會(huì)面與體之間的聯(lián)系，更有助于深度刻畫(huà)平面與立體圖形之間的關(guān)系。在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步深化對(duì)圓柱與圓錐各自的結(jié)構(gòu)特征的認(rèn)識(shí)，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)這樣的認(rèn)知視角是不一樣的，更有利于學(xué)生基于想象從關(guān)系的視角發(fā)展空間觀念。

二、從多元角度全面認(rèn)識(shí)圖形特征，發(fā)展空間觀念

對(duì)于認(rèn)識(shí)圖形來(lái)說(shuō)，從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)這兩種視角缺一不可，圓柱與圓錐也是一樣。認(rèn)識(shí)圓柱與圓錐，必須要讓學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)物到數(shù)學(xué)世界的概念直觀圖的抽象過(guò)程，然后從整體辨認(rèn)到局部刻畫(huà)進(jìn)一步認(rèn)識(shí)二者的結(jié)構(gòu)特征。

基于圓柱與圓錐作為含有曲面的立體圖形的特殊性，筆者認(rèn)為要從整體上達(dá)到對(duì)圓柱與圓錐的深刻認(rèn)識(shí)，需要從以下四個(gè)角度全面認(rèn)識(shí)圓柱與圓錐的特征，在不同維度的圖形轉(zhuǎn)換中尋找對(duì)應(yīng)關(guān)系，以此發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

1.面

要認(rèn)識(shí)圓柱與圓錐的特征，首先要認(rèn)識(shí)圓柱與圓錐的面。教學(xué)中，要讓學(xué)生通過(guò)觀察、觸摸等方式來(lái)達(dá)成基本認(rèn)識(shí)：圓柱的有三個(gè)面，有兩個(gè)面是大小相同的圓，即底面，有一個(gè)面是曲面，即側(cè)面;圓錐有兩個(gè)面，有一個(gè)底面是圓，有一個(gè)側(cè)面是曲面（如圖1）。

除了從靜態(tài)的角度認(rèn)識(shí)二者的面之外，更重要的是從運(yùn)動(dòng)的視角再認(rèn)識(shí)圓柱和圓錐的面。這里可分兩種情況。一種是長(zhǎng)方形繞長(zhǎng)或?qū)捤诘闹本€為軸旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，直角三角形繞其中一條直角邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周形成圓錐（如圖2）。教學(xué)中要啟發(fā)學(xué)生想象與思考運(yùn)動(dòng)前后平面圖形與立體圖形的位置對(duì)應(yīng)關(guān)系——這種情況下，長(zhǎng)方形的一條邊（寬）對(duì)應(yīng)圓柱底面半徑，半徑繞著底面圓心旋轉(zhuǎn)一周后劃過(guò)的痕跡形成圓柱的兩個(gè)圓形底面，另一條邊（長(zhǎng)）對(duì)應(yīng)圓柱的高，高線繞軸旋轉(zhuǎn)一周后劃過(guò)的痕跡形成圓柱的側(cè)面;直角三角形的一條直角邊對(duì)應(yīng)圓錐的底面半徑，半徑繞著底面圓心旋轉(zhuǎn)一周后劃過(guò)的痕跡形成圓錐的圓形底面，另一條直角邊對(duì)應(yīng)圓錐的高，斜邊繞軸旋轉(zhuǎn)一周劃過(guò)的痕跡形成圓錐的側(cè)面。另一種情況是長(zhǎng)方形繞對(duì)邊中點(diǎn)的連線所在直線為軸旋轉(zhuǎn)半周即可形成圓柱，直角三角形繞頂點(diǎn)與斜邊中點(diǎn)連線所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)半周即可形成圓錐（如圖3）。教學(xué)中要再度啟發(fā)學(xué)生想象與思考運(yùn)動(dòng)前后平面圖形與立體圖形的位置對(duì)應(yīng)關(guān)系——長(zhǎng)方形的一條邊（寬）的一半對(duì)應(yīng)圓柱的底面半徑，另一條邊（長(zhǎng)）對(duì)應(yīng)圓柱的高，這種情況下，圖形只需旋轉(zhuǎn)半周、相對(duì)應(yīng)的線也只需旋轉(zhuǎn)半周即可形成圓柱的底面和側(cè)面。同樣，直角三角形斜邊的一半對(duì)應(yīng)圓錐的底面半徑，斜邊上的高對(duì)應(yīng)圓錐的高，圖形只需旋轉(zhuǎn)半周、相對(duì)應(yīng)的線也只需旋轉(zhuǎn)半周即可形成圓錐的底面和側(cè)面。

經(jīng)過(guò)上述從靜態(tài)和動(dòng)態(tài)兩種視角去認(rèn)識(shí)圓柱和圓錐的面的特征和形成過(guò)程，才能更深刻地認(rèn)識(shí)圓柱和圓錐的面，也才能更深刻地認(rèn)識(shí)圓柱和圓錐的形成過(guò)程和圖形結(jié)構(gòu)特征，更重要的是學(xué)生在線動(dòng)成面、面動(dòng)成體前后不同維度圖形位置對(duì)應(yīng)關(guān)系的想象與尋找中發(fā)展了空間觀念。

2.視圖

認(rèn)識(shí)圓柱與圓錐的第二個(gè)角度是借助視圖。教學(xué)中，要讓學(xué)生借助于實(shí)物或者概念直觀圖展開(kāi)數(shù)學(xué)想象，想象從不同視角所觀察到的圓柱和圓錐的平面圖形的形狀，即從上面觀察圓柱所看到的平面圖形是與底面同樣大小的圓，從垂直于側(cè)面任意方向觀察圓柱，所看到的平面圖形都是一個(gè)以高和底面直徑為長(zhǎng)和寬的長(zhǎng)方形（如圖4）;從上面觀察圓錐所看到的平面圖形是與底面同樣大小的圓，從垂直于側(cè)面任意方向觀察圓錐，所看到的平面圖形是以底面直徑為底、以圓錐的兩條母線為腰的等腰三角形（如圖5）。

3.截面

認(rèn)識(shí)圓柱與圓錐的第三個(gè)角度是截面。教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生沿著圓柱、圓錐各自不同的位置剪切，然后想象切出來(lái)的截面是什么樣的平面圖形。對(duì)于圓柱來(lái)說(shuō)，可以沿平行于上下底面的方向切，切出來(lái)的截面是與底面同樣大小的圓;也可以沿高的方向通過(guò)上下底面直徑去切，截面是以高和底面直徑為長(zhǎng)和寬的長(zhǎng)方形;還可以沿側(cè)面（不垂直）斜著切，截面是大小不同的橢圓等等。對(duì)于圓錐來(lái)說(shuō)，可以沿平行于下底面的方向切，切出來(lái)的截面是大小不同的圓;也可以沿高的方向通過(guò)頂點(diǎn)和底面直徑去切，截面是以底面直徑為底的等腰三角形;還可以沿側(cè)面（不垂直）斜著切，截面是個(gè)不規(guī)則的曲邊圖形等等。

教學(xué)中，一定要讓學(xué)生先思考可以沿著哪些方向或位置切，再想象截面具體是什么樣子。想象遇到困難或者想象不出來(lái)的情況下，特別是沿側(cè)面（不垂直）斜著切及其他稍復(fù)雜情況下截面的形狀，可以借助橡皮泥、蘿卜等制作成圓柱和圓錐進(jìn)行實(shí)際操作，幫助學(xué)生進(jìn)行空間想象或驗(yàn)證想象的結(jié)果，以更好地發(fā)展空間觀念。

4.展開(kāi)圖

認(rèn)識(shí)圓柱與圓錐的第四個(gè)角度是展開(kāi)圖。對(duì)于圓柱的展開(kāi)圖，兩個(gè)底面的展開(kāi)圖就是兩個(gè)同樣大小的圓，關(guān)鍵是對(duì)側(cè)面展開(kāi)圖的研究與認(rèn)識(shí)。圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖在小學(xué)階段一般有兩種方式，一種是沿著圓柱高線剪開(kāi)，展開(kāi)圖是長(zhǎng)方形;另一種是沿著圓柱的側(cè)面斜向剪開(kāi)，展開(kāi)圖是平行四邊形（如圖8）。對(duì)于圓錐的展開(kāi)圖（如圖9），讓學(xué)生簡(jiǎn)單了解即可，不作探究要求，特別對(duì)于圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是扇形在小學(xué)階段雖然不作具體要求，但對(duì)學(xué)生經(jīng)歷想象的過(guò)程、積累想象的經(jīng)驗(yàn)還是有必要的。

圓柱的展開(kāi)圖既是研究圓柱表面積計(jì)算的必經(jīng)之途徑，也是單元學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。實(shí)際教學(xué)中，不要一上來(lái)就讓學(xué)生進(jìn)入動(dòng)手操作，而應(yīng)該先讓學(xué)生思考圓柱的側(cè)面可以沿著哪個(gè)位置和方向怎樣剪開(kāi)，再想象展開(kāi)圖是什么樣子，進(jìn)一步思考側(cè)面展開(kāi)圖（如長(zhǎng)方形）的長(zhǎng)和寬與圓柱的位置對(duì)應(yīng)關(guān)系，然后進(jìn)行實(shí)際操作驗(yàn)證自己的想象是否正確。先在學(xué)生的頭腦中展開(kāi)對(duì)數(shù)學(xué)的想象，動(dòng)手前先動(dòng)腦，思考轉(zhuǎn)換前后二維平面圖形與三維立體圖形之間的位置對(duì)應(yīng)關(guān)系（如圖10），有助于發(fā)展學(xué)生的空間想象力和邏輯推理能力，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

三、從圖形測(cè)量整體把握對(duì)應(yīng)關(guān)系，發(fā)展空間觀念

本單元的圖形測(cè)量主要是指學(xué)習(xí)研究圓柱的表面積、圓柱與圓錐體積。學(xué)習(xí)過(guò)程中要特別關(guān)注表面積、體積測(cè)量公式的推導(dǎo)過(guò)程及過(guò)程性思考。需要說(shuō)明的是，關(guān)注表面積、體積公式的推導(dǎo)過(guò)程，不是為了追求過(guò)程，而是為了啟發(fā)學(xué)生在推導(dǎo)過(guò)程中經(jīng)歷圖形轉(zhuǎn)化、位置對(duì)應(yīng)關(guān)系的空間思考，這些思考是對(duì)圓柱與圓錐本質(zhì)特征的再關(guān)注、再認(rèn)識(shí)，在此過(guò)程中讓學(xué)生的思維發(fā)生進(jìn)階并發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

關(guān)于圓柱表面積的教學(xué)在上述展開(kāi)圖中已有論述，關(guān)于圓錐的體積在小學(xué)階段是借助與它等底等高的圓柱體積并通過(guò)物理實(shí)驗(yàn)獲得，此處均不再贅述。這里重點(diǎn)說(shuō)明圓柱體積推導(dǎo)過(guò)程中的研究方法?？v觀本單元的學(xué)習(xí)都是從面動(dòng)成體的運(yùn)動(dòng)視角來(lái)認(rèn)識(shí)圓柱的，那么在教學(xué)中我們是否可以啟發(fā)學(xué)生先從這個(gè)角度來(lái)認(rèn)識(shí)和研究圓柱的體積呢？比如讓學(xué)生觀察“疊硬幣”的過(guò)程，其實(shí)就是“面動(dòng)成體”形成圓柱的過(guò)程?？梢詥l(fā)學(xué)生把一枚硬幣想象成一個(gè)無(wú)限薄的圓面，隨著硬幣數(shù)量的累積疊加，可以把累積起來(lái)的圓柱想象成一個(gè)由很多個(gè)無(wú)限薄的面動(dòng)態(tài)累積疊加起來(lái)的過(guò)程，圓柱所占的底面積不變，但隨著高度增加，圓柱所占的空間大小（即體積）也在隨之變大。通過(guò)這樣的想象與思考，不但能夠幫助學(xué)生很好地理解“圓柱的體積=底面積×高”，還可以通過(guò)這種感性的方式在面與體的運(yùn)動(dòng)聯(lián)系中認(rèn)識(shí)圓柱形成過(guò)程、圓柱體積的計(jì)算方法，同時(shí)在學(xué)生的頭腦中埋下數(shù)學(xué)研究的思想方法——滲透積分、極限等數(shù)學(xué)思想。

圓柱體積推導(dǎo)的另一種典型的思維路徑是轉(zhuǎn)化。圓柱是學(xué)生在小學(xué)階段數(shù)學(xué)中第一次認(rèn)識(shí)的含有曲面的立體圖形，加之學(xué)生在此前研究過(guò)圓的面積的推導(dǎo)，圓作為曲邊圖形的面積研究方法為學(xué)生研究含有曲面的圓柱的體積研究積累了相關(guān)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)——遷移轉(zhuǎn)化。

需要特別說(shuō)明的是，要讓學(xué)生深刻理解圓柱的體積在推導(dǎo)過(guò)程中的圖形轉(zhuǎn)化過(guò)程和位置對(duì)應(yīng)關(guān)系，在教學(xué)過(guò)程中將圓柱等分的份數(shù)盡可能多，越多越好，同時(shí)展開(kāi)數(shù)學(xué)想象，逐漸將學(xué)生的注意力由“動(dòng)手”轉(zhuǎn)向“動(dòng)腦”，啟發(fā)學(xué)生深入思考：為什么要盡可能多的等分？在圖形轉(zhuǎn)化過(guò)程中什么變了？什么沒(méi)變？如果學(xué)生能夠體會(huì)到在這個(gè)過(guò)程中圖形的表面積增加、體積守恒，與轉(zhuǎn)化后的規(guī)則圖形趨近，那么學(xué)生才能真正理解圓柱的曲面研究方法、極限思想等，同時(shí)在圖形的變形轉(zhuǎn)化過(guò)程中也促使學(xué)生的想象飛翔，培養(yǎng)空間想象力，發(fā)展空間觀念。

此外，還可以通過(guò)一些高階思維評(píng)價(jià)題目來(lái)撬動(dòng)課堂教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生把握位置對(duì)應(yīng)關(guān)系以發(fā)展空間觀念。比如，把高是10厘米的圓柱按圖13切開(kāi)，拼成近似的長(zhǎng)方體，表面積就增加了60平方厘米。圓柱的體積是（? ? ）立方厘米。

總之，對(duì)于“圓柱與圓錐”的學(xué)習(xí)，需要全方位、多角度、多層次地整體把握單元教學(xué)，在不同維度的圖形變形與轉(zhuǎn)換中尋找對(duì)應(yīng)關(guān)系，才能更本質(zhì)地認(rèn)識(shí)圓柱與圓錐，讓空間想象時(shí)刻飛翔、根植和充實(shí)在學(xué)生的頭腦，從而更好地在圖形的單元學(xué)習(xí)中發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

[責(zé)任編輯：陳國(guó)慶]