■馬全來(lái)

題目已知橢圓=1(a＞b＞0)的離心率為,且橢圓C上的點(diǎn)到橢圓右焦點(diǎn)F的最小距離為。

(1)求橢圓C的方程。

(2)過點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸平行的直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為M,O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線OA,OM,OB的斜率分別為kOA,kOM,kOB,若kOA,-kOM,kOB成等差數(shù)列,求直線l的方程。

進(jìn)一步考慮：是否過任意標(biāo)準(zhǔn)橢圓的焦點(diǎn)F,都存在一條直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)(線段AB的中點(diǎn)為M,O為坐標(biāo)原點(diǎn)),使得直線OA的斜率kOA,直線OM的斜率的相反數(shù)-kOM,直線OB的斜率kOB成等差數(shù)列? 從而得到問題1。

問題1：已知橢圓0)的右焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸平行的直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為M,O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線OA,OM,OB的斜率分別為kOA,kOM,kOB,是否存直線l,使kOA,-kOM,kOB成等差數(shù)列? 若存在,求出直線l的方程；若不存在,請(qǐng)說明理由。

經(jīng)解答求證,問題1存在滿足題意的直線。

我們知道,橢圓是解析幾何中一類特殊的曲線,那么能不能把這個(gè)結(jié)論推廣到更為一般的情況? 即該問題是否對(duì)解析幾何中的其他曲線也成立呢? 從而得到問題2、問題3。

問題2：已知圓C：x2+y2=r2(r＞0)內(nèi)一定點(diǎn)F(m,0)(0＜m＜r),過點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸平行的直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為M,O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線OA,OM,OB的斜率分別為kOA,kOM,kOB,是否存直線l,使kOA,-kOM,kOB成等差數(shù)列?若存在,求出直線l的方程；若不存在,請(qǐng)說明理由。

問題3：已知拋物線C：y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸平行的直線l與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為M,O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線OA,OM,OB的斜率分別為kOA,kOM,kOB,是否存直線l,使kOA,-kOM,kOB成等差數(shù)列? 若存在,求出直線l的方程；若不存在,請(qǐng)說明理由。

經(jīng)解答求證,問題2 存在滿足題意的直線,問題3不存在滿足題意的直線。

結(jié)語(yǔ)：我們?cè)谠}的基礎(chǔ)上展開對(duì)問題1至問題3的探究,這樣,會(huì)使同學(xué)們?cè)谔骄繂栴}的過程中經(jīng)歷梳理知識(shí)、提煉方法、感悟思想的研究過程,對(duì)同學(xué)們的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的有效訓(xùn)練與提升均有很大幫助。