基于小波閾值的局部放電白噪聲去噪方法綜述

何平，何若冰，陳佳，楊旭，唐炬，周思遠

(1.廣東電網有限責任公司陽江供電局，廣東 陽江529500；2.國網電力科學研究院武漢南瑞有限責任公司，湖北 武漢430074；3.武漢大學 電氣與自動化學院 ，湖北 武漢430072)

局部放電(partial discharge，PD)是高壓電氣設備發(fā)生絕緣故障的重要原因，也是絕緣狀態(tài)的重要表征，長期存在的PD會引起絕緣介質絕緣強度降低或失效[1-5]，最壞情況可能引發(fā)擊穿事故，從而導致大范圍停電，造成不良的社會影響，因此需要對PD進行檢測。但是檢測得到的信號往往包含白噪聲，為了消除白噪聲影響，獲得真實的PD信號，需要對所得信號進行去噪處理，以便識別潛在的缺陷并及時妥善處理，為制訂合理的檢修策略提供依據(jù)。PD信號是具有非平穩(wěn)特征的時變信號，通常在時域上表現(xiàn)為指數(shù)衰減函數(shù)或高斯函數(shù)的形式，需要采用合適的時頻分析方法對其進行去噪處理。

小波變換是上世紀80年代興起的一種信號分析方法，由S.Mallat、I.Daubechies、Y.Meyer等人最早提出和推廣[6-8]。小波具備自適應分辨率調整能力，能自動適應高頻和低頻信號，有著“數(shù)學顯微鏡”的美稱，適用于對PD信號分析。小波閾值去噪法包含3個步驟：首先對信號分解，即用1組小波基底來對信號進行小波變換，得到對應的小波系數(shù)；其次，根據(jù)真實信號與噪聲的不同性質，對已得到的系數(shù)用閾值函數(shù)進行處理；最后，對處理過的系數(shù)進行逆小波變換，得到去噪后的信號[9]。根據(jù)以上步驟，國內外研究者分別從母小波函數(shù)選擇、閾值選取與閾值函數(shù)構造3個方面開展研究和改進，提出眾多PD信號中白噪聲的去噪方法。這些去噪方法已經在工程領域得到廣泛應用，并取得了豐富的成果。

本文基于已有成果進行綜述，并對相關研究發(fā)展趨勢進行展望。首先介紹小波變換和閾值函數(shù)去噪的基礎理論，其次對母小波函數(shù)的選取、閾值選取和閾值函數(shù)的構造進行綜述，最后進行總結和展望。

1 小波變換和閾值去噪基礎理論

1.1 小波變換原理

小波函數(shù)ψ(t)是具有波動性質的有限能量函數(shù)，可以通過伸縮平移ψ(t)，使其成為平方可積函數(shù)空間L2(R)的1組標準正交基。但是在實際工程中，需要將小波函數(shù)進行離散化處理，即離散小波變換(discrete wavelet transform，DWT)。離散小波變換用濾波器函數(shù)h和g代替小波函數(shù)進行運算，其中h稱為尺度函數(shù)濾波器函數(shù)，g稱為小波函數(shù)濾波器函數(shù)，二者合稱為共軛鏡像濾波器(conjugate mirror filters，CMF)或正交鏡像濾波器(quadrature mirror filtesr，QMF)，小波函數(shù)與正交鏡像濾波器是一一對應的。

離散小波變換的分解和重構公式分別為：

(1)

(2)

據(jù)此可知，根據(jù)某層空間的尺度系數(shù)便可推斷出下一層空間中的尺度系數(shù)和小波系數(shù)，如此重復直到指定層，便可求出所有層的尺度系數(shù)和小波系數(shù)。這是對信號進行小波變換和表達的基本原理。

1.2 閾值函數(shù)去噪原理

實際情況中，信號常常被白噪聲所污染。白噪聲是PD監(jiān)測中的主要干擾之一，廣泛存在且具有隨機性，通常來說，白噪聲和信號的性質有較大區(qū)別[10]：信號的光滑程度較高、奇異性較低，而白噪聲的奇異性較高。為了盡量消除白噪聲的影響，需要對染噪信號的小波系數(shù)進行處理。信號觀測模型可以表示為

f(x)=s(x)+w(x).

(3)

式中：f(x)為觀測信號；s(x)為真實PD信號；w(x)為均值為0、標準差為δ的白噪聲干擾信號。消除白噪聲影響的常用方法為小波閾值法，該方法由Donoho提出[11]，計算量小，易于實現(xiàn)。其基本原理是：將觀測信號數(shù)據(jù)進行小波變換后，根據(jù)信號的小波系數(shù)和白噪聲的小波系數(shù)性質不同，通過設置閾值和閾值函數(shù)可對觀測信號數(shù)據(jù)的小波系數(shù)進行處理，將處理后的小波系數(shù)進行逆小波變換，從而得到重構信號，以達到去噪的目的。經典閾值λsqt的表達式為

(4)

式中：δE為對δ的估計值；N為小波系數(shù)個數(shù)。接下來，逐一檢驗觀測信號的小波系數(shù)F[m]是否小于λsqt，若F[m]<λsqt，將其剔除，反之則將其保留，作為PD信號小波系數(shù)的估計值。最后將處理過的小波系數(shù)進行逆變換，得到去噪后的PD信號。該方法是通過硬閾值函數(shù)ρH來實現(xiàn)的，硬閾值函數(shù)對小波系數(shù)采用“消除”或“保留”的策略，函數(shù)表達式為

(5)

式中S為所估計的小波系數(shù)。除了硬閾值函數(shù)之外，Donoho又構造出另外一種閾值函數(shù)——軟閾值函數(shù)ρS，表達式為

(6)

式中T為閾值。

相比于硬閾值函數(shù)采取“消除”或“保留”的策略，軟閾值函數(shù)則是采取了“收縮”或“保留”的策略[12]。這2種是為最常見的閾值函數(shù)。

由此可見，基于小波變換的閾值去噪法的要點在于母小波函數(shù)和閾值函數(shù)。事實上，基于這2點，很多學者對去噪方法進行了改進，主要手段包括母小波函數(shù)選擇、閾值的選取以及閾值函數(shù)構造。

2 母小波函數(shù)選擇方法

母小波函數(shù)是1組標準正交基，與眾所周知的傅里葉變換有所不同的是，小波函數(shù)并非固定不變的，而是有眾多可以選擇的種類；因此需要選擇最為合適的小波基來作為母小波。主要思路是：根據(jù)已有小波構建小波庫，從庫中選取最為合適的函數(shù)，該方法稱為檢索法。檢索法的實質是預先設定一小波庫及某一參數(shù)，逐一計算觀測到的染噪PD信號經過小波庫中所有小波分解后的該參數(shù)值，從中選出最優(yōu)小波作為母小波函數(shù)。基于相關系數(shù)的小波選取法(correlation based wavelet selection，CBWS)是最常見的方法之一，其思路是求出小波函數(shù)與觀測PD信號之間的相關系數(shù)，并以之作為標準，來選擇相關系數(shù)最大值對應的小波[13-17]。文獻[13]提出了一種自動進行最優(yōu)小波選擇的方法，認為最優(yōu)的小波波形應該和觀測信號波形之間有最大相關系數(shù)

(7)

式中：X和XM分別為離散小波函數(shù)數(shù)據(jù)點及其均值；Y和YM分別為PD信號數(shù)據(jù)點及其均值。文獻[13]構建了包括Db系列小波、Sym系列小波以及Lem系列小波的檢索庫，分別計算每個小波和PD信號之間的γ，將取得最大γ的小波作為最優(yōu)小波來對信號進行處理。

文獻[18-22]中，重慶大學李劍等學者提出了基于能量參數(shù)的小波選取法(energy based wavelet selection，EBWS)，認為不同的分解層數(shù)對應不同的最優(yōu)小波。作者構建了包含Db系列和Sym系列小波函數(shù)的檢索庫，并定義了能量參數(shù)Ea，其表達式如式(8)所示，該參數(shù)的意義為：逼近部分能量與信號總能量之間的比例。

(8)

式中a1,k和d1,k分別為某信號進行一層小波分解后所得的尺度系數(shù)和細節(jié)系數(shù)；aj,k和dj,k分別為第j層、第k個尺度系數(shù)和小波系數(shù)。

基于分解層數(shù)的EBWS方法首先基于檢索庫中所有小波函數(shù)來對PD信號進行若干層小波分解，并計算式(8)所示的能量參數(shù)Ea，該方法相比于CBWS，具有更快的計算速度。

與EBWS方法類似，Cunha等人[23-24]考慮在小波分解的各層中，設法集中PD信號的大部分信息，提出了用峰值信噪比(peak signal to noise，PSNR)來代替能量參數(shù)Ea。作者構建了包含Db系列、Sym系列、Coif系列小波函數(shù)的函數(shù)庫，先對PD信號進行第1層分解，得到逼近系數(shù)a1,k和細節(jié)系數(shù)d1,k，二者中峰值較大的被視作信號，反之被視為噪聲；接著對PD信號進行第1層小波分解，并計算信噪比(signal to noise ratio，SNR)，將最大SNR對應的小波函數(shù)作為第1層的最優(yōu)小波；然后再將j-1層中通過最優(yōu)小波分解得到的逼近部分繼續(xù)進行1層小波分解，并計算SNR，得出第j層對應的最優(yōu)小波函數(shù)；最后，重復以上步驟直到最大分解層數(shù)為止，最終得出各分解層的最優(yōu)小波函數(shù)。

此外，也有學者通過其他方法選擇不同參數(shù)來進行最優(yōu)母小波選擇，例如基于最具信息性的子帶能量和熵來選擇母小波[25]，通過計算歸一化重構信號的能量來選擇母小波[26]，通過計算能量損失率來選擇母小波[27]，通過計算模極大值[28]來選擇母小波，通過計算熵值來選擇母小波[29]等方法?？梢?，檢索法的實質是從一系列已有小波中進行選擇，構建小波檢索庫，計算小波分解后得到的某種參數(shù)，以確定最優(yōu)方案來選擇母小波。

3 改進閾值和閾值函數(shù)

3.1 固定閾值和閾值函數(shù)

軟硬閾值函數(shù)和經典閾值λsqt雖然能夠有效去噪，但是在一定程度上會“過處理”信號，將某些本應保留的數(shù)據(jù)置零，從而損失信號的信息。經過研究和改進，Donoho又提出基于Stein無偏估計的閾值取值，該方法對去噪所造成的均方誤差進行無偏估計，設法求出使之達到最小值的閾值，此閾值被稱為SURE閾值[30]，記作λSURE。同時，考慮到信號與噪聲能量比值過低時，SURE閾值會造成比固定閾值更大的誤差，因此可以用啟發(fā)式折中閾值來代替SURE閾值，記為HSURE閾值，該閾值的取值思路是：當信號能量遠低于白噪聲能量時，選擇固定閾值，反之則選擇SURE閾值[31]。除此之外，還有很多學者從不同角度出發(fā)，選擇或設計不同類型的閾值與閾值函數(shù)。Sardy等學者還提出另一種閾值選取方法[32-34]，并指出在閾值函數(shù)法的基礎上有歧義，通過進一步的推斷可知，取閾值為λ時，根據(jù)硬閾值或軟閾值函數(shù)法得到的均方誤差期望值rt滿足

rt(λ)≤(1+2lnN)(δ2+rp).

(9)

式中rp為一固定數(shù)值。據(jù)此，考慮到以估計誤差與(δ2+rp)之比的最大值最小化為目標，將達到這一目標的閾值稱作最大最小值閾值，即

(10)

文獻[35-37]指出，硬閾值函數(shù)處理結果具有較大的方差，同時其不連續(xù)性也會使得結果對數(shù)據(jù)的微小變化很敏感；而軟閾值函數(shù)則會在真實系數(shù)較大時造成不必要的偏差。為了彌補二者的缺陷，Gao和Bruce在文獻[38]中提出firm閾值函數(shù)，表達式如下：

(11)

相比于硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)，firm閾值函數(shù)對小波系數(shù)采取“消除”“保留”或“收縮”的策略。該方法引入2個閾值λ1和λ2，改善了結果對數(shù)據(jù)微小變化的敏感程度，減小了處理結果的方差和偏差[39]。值得注意的是，硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)是firm閾值函數(shù)的極限形式，即：當λ1=λ2時，firm閾值函數(shù)會退化為硬閾值函數(shù)；當λ2=+∞時，firm閾值函數(shù)會退化為軟閾值函數(shù)。類似地，文獻[40]也同樣引入了2個閾值λ1和λ2，其中λ1取得固定閾值λsqt，λ2=1.414λ1。

由于firm閾值函數(shù)引入了2個閾值，在數(shù)據(jù)較大時，計算可能會很耗時間。針對這一缺陷，Gao在文獻[41]中對firm閾值函數(shù)進行了改進，得出非負garrote閾值函數(shù)，表達式如下：

(12)

非負garrote閾值函數(shù)也是1個連續(xù)函數(shù)，采用了“消除”或“保留”的策略。相比于firm閾值函數(shù)，非負garrote閾值函數(shù)只引入了1個閾值，減少了計算時間。基于與Gao相同的思路，Antoniadis和Fan在文獻[42]中提出了SCAD閾值函數(shù)，該閾值函數(shù)也采用了“消除”“保留”或“收縮”的策略，且不同于軟閾值函數(shù)，該閾值函數(shù)在閾值設置中，對閾值λ進行了放大，即待處理的小波系數(shù)絕對值小于2λ時候，對其進行“收縮”處理，減去λ而不是2λ。

此外，還有很多其他學者對閾值函數(shù)進行了改進研究。文獻[43]提出用Birge-Massart閾值函數(shù)；文獻[44]中提出一種連續(xù)函數(shù)，引入大小在[0,1]區(qū)間的控制因子t，對軟閾值和硬閾值函數(shù)進行折中，即

(13)

文獻[45]同樣提出了用控制因子進行閾值的調節(jié)。文獻[46]則提出另一種具有指數(shù)函數(shù)形式的閾值函數(shù)。文獻[47]對軟閾值函數(shù)進行了拓展，提出一種折中閾值函數(shù)TMID：當小波系數(shù)大于2倍閾值時候，對小波系數(shù)進行“保留”；當小波系數(shù)大于1倍閾值且小于2倍閾值時，對其進行“收縮”；當小波系數(shù)小于1倍閾值的時候，對其進行“消除”。文獻[48]則提出2種改進的閾值函數(shù)：一種是軟硬閾值折中函數(shù)，引入系數(shù)α來改善閾值函數(shù)的效果；另一種則根據(jù)軟閾值函數(shù)的形式，對其進行變形和修改，得到模閾值函數(shù)

(14)

文獻[49]將小波系數(shù)和模閾值函數(shù)進行加權平均，得到新的閾值函數(shù)如式(15)，其中α為加權系數(shù)，本文取值為0.5。

(15)

3.2 自適應閾值和閾值函數(shù)

為了在最大程度上消除噪聲對信號的影響，同時針對特定的信號具有自適應性質，有學者提出采用不同的閾值和閾值函數(shù)的思路。例如，文獻[50]提出根據(jù)噪聲強度的大小，閾值應該按照不同的方式取值，作者指出：當噪聲強度較大時，閾值應該與噪聲的方差成正比；反之，在噪聲強度較小時，閾值應該和噪聲的標準差成正比。

自適應閾值函數(shù)提出的思路則是：將待定閾值視為參數(shù)，并在閾值函數(shù)中引入參數(shù)；同時以均方誤差為目標函數(shù)，對閾值進行迭代計算直到收斂；而閾值函數(shù)則選擇為具有連續(xù)可導性質的函數(shù)，以便于對閾值中的參數(shù)進行求導[51-54]。文獻[51]基于SURE閾值的思路，在閾值函數(shù)中引入參數(shù)k，對經典的軟閾值函數(shù)進行改造，使之成為連續(xù)閾值函數(shù)Tk，即

(16)

值得注意的是，當k趨向于無窮大時，該閾值函數(shù)也趨向于軟閾值函數(shù)。隨后，將觀測信號記為fi(i=1,2,…,N)，同時令gi=Tk(fi)-fi，將均方誤差RS視為閾值λ的函數(shù)，求出其偏導數(shù)，得到

(17)

最后，通過基于梯度的迭代算法來進行尋優(yōu)，求出最優(yōu)閾值。文獻[52-54]基于同樣的思路，提出用粒子群算法和遺傳算法等人工智能算法來簡化參數(shù)搜索過程，對參數(shù)進行尋優(yōu)。文獻[55-57]基于與上述方法類似的思想，提出一種新的閾值函數(shù)，在其中引入參數(shù)t，與k閾值函數(shù)不同的是，該閾值函數(shù)并非分段函數(shù)。此外，還有不少學者基于類似的思路，對自適應閾值進行了研究，根據(jù)具體問題提出了不同的自適應閾值函數(shù)。雖然閾值函數(shù)形式上有差異，但其實質是相通的。例如，文獻[58]將閾值函數(shù)進行了推廣，提出一種多項式閾值函數(shù)；文獻[59]基于信號與噪聲能量關系，提出新的閾值取值方法和閾值函數(shù)法。

3.3 去噪效果對比

為了對比經過改進前后閾值和閾值函數(shù)的去噪效果，本文選取文獻[45]所提方法作為固定閾值和閾值函數(shù)的代表，同時選取文獻[53]所提方法作為自適應閾值和閾值函數(shù)的代表，將它們各自得到的結果進行比較。

量化比較的指標為SNR和均方誤差(mean square error，MSE)，前者用以衡量真實PD信號與噪聲的能量比，后者反映了去噪后PD信號與真實信號之間的均方誤差。越小的SNR代表越弱的信號，而越小的MSE則代表越好的去噪效果。

文獻[45]采用了db4小波作為母小波，分解層數(shù)設定為4層，閾值取值為HSURE閾值，則軟閾值函數(shù)與該文所提出的固定閾值函數(shù)的去噪效果對比見表1，其中，提升效果定義為后者所得MSE與前者所得MSE之差。

由表1可知，經過改進后的固定閾值函數(shù)能夠得到比軟閾值函數(shù)更好的去噪效果，且原始信號信噪比越低，提升效果越明顯。

表1 軟閾值函數(shù)與改進固定閾值函數(shù)去噪效果對比Tab.1 Denoising effect comparison between soft thresholding function and the improved fixed thresholding function

文獻[53]采用db8小波作為母小波，分解層數(shù)設定為6層，閾值按照自適應方法進行計算得到，則軟閾值函數(shù)與該文所提出的自適應閾值函數(shù)的去噪效果對比見表2，其中，提升效果定義與表1定義相同。

表2 軟閾值函數(shù)與改進自適應閾值函數(shù)去噪效果對比Tab.2 Denoising effect comparison between soft thresholding function and the improved adaptive thresholding function

由表2可知，經過改進后的自適應閾值函數(shù)同樣能夠得到比軟閾值函數(shù)更好的去噪效果，且原始信號信噪比越低，提升效果越明顯。

4 總結與展望

本文針對小波閾值去噪法及其在PD信號白噪聲去噪中的應用，綜述了在母小波函數(shù)選擇、閾值的選取以及閾值函數(shù)構造等方面最新的研究成果，得出結論：①現(xiàn)有的母小波選擇方法大多選擇特定小波組成檢索庫，用檢索庫中的所有小波函數(shù)來進行枚舉計算，求出預先設定的參數(shù)值大小，然后將最優(yōu)參數(shù)值對應的小波選取為母小波。②閾值的選取和閾值函數(shù)的構造方式雖然很廣泛，但是思路基本相同，即當小波系數(shù)的絕對值大于一定數(shù)值(閾值)時，認為此系數(shù)屬于信號；同理，當小波系數(shù)絕對值小于一定數(shù)值(閾值)時，則認為屬于噪聲，并對小波系數(shù)用閾值函數(shù)進行處理。軟閾值函數(shù)經過改進后，無論是固定閾值函數(shù)還是自適應閾值函數(shù)都能夠在一定程度上提高PD信號去噪效果。

根據(jù)研究現(xiàn)狀，對小波閾值去噪法進行如下展望：①現(xiàn)有的母小波選擇方法并不是真正意義上的最優(yōu)，可以嘗試通過某種指標，來自動生成最優(yōu)的母小波的共軛鏡像濾波器；②可以將閾值去噪和基于其他原理的去噪方法進行結合，在對信號進行閾值去噪之后，再使用其他方式對信號進行二次去噪，進一步提高去噪效果；③小波閾值去噪法是基于信號被白噪聲污染這一假設的，PD信號中的噪聲也被假設為白噪聲，事實上，白噪聲只是一類特殊的隨機噪聲，現(xiàn)場PD信號也會被其他類型的噪聲污染，因此該小波閾值去噪法能否應用于具有更復雜電磁環(huán)境的現(xiàn)場噪聲去噪也值得思考和研究。