對一道競賽題的探究

鄭國岐 鄭穎欣

(湖北省沙市第五中學(xué)，434000) (湖北省沙市中學(xué)，434000)

一、試題呈現(xiàn)

(2020年浙江省數(shù)學(xué)夏令營賽題)將1～2 020的數(shù)字按順時針方向圍成一個圓圈(如圖1),然后從1開始,按順時針方向依次隔一個數(shù)拿走,即拿走數(shù)字1,3,5,…,這個過程一直進(jìn)行下去,直到剩下最后一個數(shù)字,則最后剩下的數(shù)字是多少?(注:內(nèi)圈數(shù)字表示所有數(shù)字排列的序號,外圈數(shù)字表示依次拿走的序號)

二、規(guī)律探尋

我們從簡單到復(fù)雜依次進(jìn)行探究,看其中是否隱藏著某種規(guī)律?

第一步:人數(shù)n依次是2,3時,如圖2依次求得最后剩余的數(shù)字編號m.如下表:

n23 m22

第二步:人數(shù)n依次是4,5,6,7時,如圖3依次求得最后剩余的數(shù)字編號m.如下表:

n4567 m4246

第三步:人數(shù)n依次是8,9,10,…,15時,依次求得最后剩余的數(shù)字編號m.如下表:

n89101112131415 m82468101214

第四步:人數(shù)n依次是16,17,18,…時,依次求得最后剩余的數(shù)字編號m.如下表:

n16… m16…

由此猜想:

n2n2n+12n+2…2n+k(k<2n)m2n24…2k

三、證明猜想

命題1將數(shù)列1,2,3,…,2n(n≥1)的數(shù)字順時針圍成一個環(huán),從去掉1開始,然后按順時針方向隔一項再去掉一個數(shù),…,依次進(jìn)行下去,最后剩余的數(shù)為2n.

證明當(dāng)n=1時,最后剩余的數(shù)是2,命題顯然成立.

假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時,命題成立,即將數(shù)列1,2,3,…,2k圍成一個環(huán),從1開始去掉,然后隔一項再去掉一個數(shù),…,依次進(jìn)行下去,最后剩余的數(shù)為2k.

則當(dāng)n=k+1時,從1開始轉(zhuǎn)一圈去掉一半的數(shù),剩下2k個數(shù),由n=k可知,最后剩下的數(shù)是剩下的第2k個數(shù),亦即是數(shù)2k+1.

綜上,命題1成立.

命題2將數(shù)列1,2,3,…,2n+k(n≥1,k<2n)的數(shù)字順時針圍成一個環(huán),從去掉1開始,然后按順時針方向隔一項再去掉一個數(shù),直到最后剩下一個數(shù),則這個數(shù)是2k.

證明先從1開始,按照題目要求去掉k個數(shù),則去掉的第k個數(shù)為2k-1,此時剩余2n個數(shù).如圖4,在這2n個剩余數(shù)中,2k+1號數(shù)相當(dāng)于新數(shù)環(huán)中的1號數(shù),2k號數(shù)相當(dāng)于數(shù)環(huán)中的第2n號數(shù).因此,由命題1知最后剩余的是第2k號.命題2得證.

四、解決問題

由2020=210+996,得n=10,k=996.所以,由命題2知文首夏令營賽題中所求最后剩余的數(shù)字為996×2=1 992.