巧用數(shù)學(xué)歸納法解數(shù)列競(jìng)賽題

徐 沖 顧曉峰

(江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)，214174)

近期,筆者通過閱讀與嘗試解答各地區(qū)數(shù)學(xué)競(jìng)賽模擬題中的數(shù)列題,發(fā)現(xiàn)諸多題目均可用數(shù)學(xué)歸納法解決．本文通過幾道例題不同解法的比較，感受數(shù)學(xué)歸納法在解決有關(guān)正整數(shù)命題中的優(yōu)勢(shì).

一、知識(shí)準(zhǔn)備

一般地,證明與自然數(shù)有關(guān)的命題p(n)，中學(xué)教材主要介紹的是第一數(shù)學(xué)歸納法，其理論依據(jù)(也是解題步驟)如下.

第一數(shù)學(xué)歸納法

(1)證明當(dāng)取第一個(gè)值n0時(shí)命題p(n0)成立；

(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥n0,k∈Z)時(shí)命題p(n)成立,證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題p(n+1)也成立.

綜合(1)(2),可得對(duì)一切自然數(shù)n≥n0，命題p(n)均成立.

除此之外，使用較頻繁的還有第二數(shù)學(xué)歸納法.

第二數(shù)學(xué)歸納法

(1)證明當(dāng)n=1,2時(shí)命題p(n)成立；

(2) 假設(shè)當(dāng)n≤k時(shí)命題p(n)均成立,證明n=k+1時(shí)命題p(n+1)也成立.

綜合(1)(2)，可得命題p(n)對(duì)一切自然數(shù)n均成立.

二、應(yīng)用舉例

證明當(dāng)n=1時(shí)，可取a1=5.

由歸納法原理知滿足條件的數(shù)列存在.

評(píng)注此題直接使用第一數(shù)學(xué)歸納法,構(gòu)造和遞推的過程同時(shí)進(jìn)行，難點(diǎn)是ak+1的構(gòu)造．

此時(shí)我們需要對(duì)題目所要證明的結(jié)論適當(dāng)加強(qiáng)，改為證明

(*)

證明當(dāng)n=2時(shí)，(*)式成立.

綜上，命題得證.

評(píng)注此題也可使用綜合法證明，讀者可以嘗試.

證法1當(dāng)n=1時(shí)，a1≥a1，不等式顯然成立.

綜上，可知原命題成立.

評(píng)注此題嘗試第一數(shù)學(xué)歸納法無法證明，使用第二數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，相對(duì)于第一數(shù)學(xué)歸納法，假設(shè)中提供的條件更多，更有利于歸納過渡.此題也可用以下的構(gòu)造方法證明，讀者可以比較兩者的特點(diǎn).

證法2記si=a1+a2+…+ai(i=1,2,…,n),約定s0=0,則2si=(a1+ai)+…+(ai+a1)≥iai+1.

n=1時(shí)，命題顯然成立.故原不等式成立.

當(dāng)n=3時(shí)，易知加強(qiáng)命題成立.

綜上，猜想的結(jié)論成立.

評(píng)注此題還有以下幾種求解方法，供讀者參考.

解法2(運(yùn)用積分，通過面積比較)

解法3(構(gòu)造函數(shù)法)

評(píng)注此題雖然不是直接按照數(shù)學(xué)歸納法的步驟去證明，但其中蘊(yùn)含的思想依然是數(shù)學(xué)歸納法(翹翹板歸納法).

總之，數(shù)學(xué)歸納法作為解決有關(guān)正整數(shù)命題的常用方法,在解題過程中起著十分重要的作用．?dāng)?shù)學(xué)歸納法有方便著手、思路清晰等顯而易見的優(yōu)勢(shì)；同時(shí)數(shù)學(xué)歸納法形式眾多,有第一數(shù)學(xué)歸納法、第二數(shù)學(xué)歸納法、跳躍歸納法、反向歸納法等等形式.讀者可以繼續(xù)深入研究數(shù)學(xué)歸納法在有關(guān)正整數(shù)命題中的妙用．