銳角三角函數(shù)拓展探究類問題例析

盧會鑫

[摘 要]中考是選拔性考試，初高中銜接的內(nèi)容常作為中考的拓展探究題出現(xiàn)，既考查了初中數(shù)學(xué)知識，也考查了學(xué)生運用知識的能力.文章對銳角三角函數(shù)拓展探究類問題進行分析探討，以開闊學(xué)生的視野，培養(yǎng)學(xué)生分析問題與解決問題的能力.

[關(guān)鍵詞]銳角;三角函數(shù);拓展探究類問題

[中圖分類號] ? ?G633.6 ? ? ? ?[文獻標(biāo)識碼] ? ?A ? ? ? ?[文章編號] ? ?1674-6058（2020）32-0024-02

高中階段，銳角三角函數(shù)會擴展到任意角的三角函數(shù)，學(xué)習(xí)三角函數(shù)的半角、倍角、和差公式等，并把三角函數(shù)作為一種函數(shù)，畫出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)的圖像，研究這些函數(shù)的性質(zhì).中考是選拔性考試，初高中銜接的內(nèi)容常作為中考的拓展探究題出現(xiàn)，既考查了初中數(shù)學(xué)知識，也考查了學(xué)生運用知識的能力.銳角三角函數(shù)部分就出現(xiàn)了以下的拓展探究類問題.

一、從銳角三角函數(shù)到任意角三角函數(shù)

銳角三角函數(shù)是放在直角三角形中進行定義的，任意角的三角函數(shù)是把角放在平面直角坐標(biāo)系中，讓角的始邊與x軸的正半軸重合，頂點與坐標(biāo)原點重合，讓角的終邊繞頂點做逆時針旋轉(zhuǎn)，然后在角的終邊上任取一點的坐標(biāo)（x，y），這點到原點的距離為r，于是定義這個角的正弦為y：r，這個角的余弦為x：r，這個角的正切為y：x，這樣就使任意角都有了三角函數(shù)值，它是根據(jù)點的坐標(biāo)來求三角函數(shù)值的.

二、從直角三角形邊與邊的比到等腰三角形邊與邊的比

銳角三角函數(shù)反映的是直角三角形中邊與邊的比，這是因為在直角三角形中，當(dāng)一個銳角固定時，這個直角三角形的形狀也固定了，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，我們根據(jù)這個銳角度數(shù)畫出的所有直角三角形都相似，即這個直角三角形的三邊的比也被確定.按同樣的道理，在等腰三角形中，當(dāng)一個頂角或底角固定時，這個等腰三角形的形狀也就固定了，我們根據(jù)這個頂角或底角畫出的所有等腰三角形都相似，即這個等腰三角形的三邊之比也被確定.利用這一點，我們也可以在等腰三角形中建立角與邊的對應(yīng)關(guān)系，這也是三角函數(shù)關(guān)系.

三、從任意三角形的銳角到直角三角形的銳角

求任意三角形銳角的三角函數(shù)值，如銳角三角形或鈍角三角形，通常有兩種方法：（1）需要作高構(gòu)造兩個直角三角形，通過解兩個直角三角形求解;（2）將任意三角形中的銳角用等角代換，通過求與之相等的角的三角函數(shù)，得到所求角的三角函數(shù).但是在網(wǎng)格中，當(dāng)連接格點而成的兩條線段相交時，它們的夾角在網(wǎng)格中，夾角的頂角并不是格點，此時求夾角的三角函數(shù)值并不容易，需要通過平行線將夾角轉(zhuǎn)化為以格點為頂角的角.

評注：本題第2小題雖然通過平行線將所求角轉(zhuǎn)化為以格點為頂點的角，但是它并不是直角三角形的銳角，這時需要通過作高進行再次轉(zhuǎn)化，從這里我們看到，對于網(wǎng)格里兩條連接格點線段的夾角，都可以通過等角轉(zhuǎn)化求出它的三角函數(shù)值.

對于銳角三角函數(shù)的拓展探究類問題，還包括倍角三角函數(shù)探究、半角三角函數(shù)探究、角差角三角函數(shù)探究、銳角三角形與正弦定理、銳角三角函數(shù)與余弦定理等，它們都是對銳角三角函數(shù)的有益拓展，既開闊了學(xué)生的視野，也培養(yǎng)了學(xué)生分析問題與解決問題的能力，同時也實現(xiàn)了初高中數(shù)學(xué)的有效銜接，可謂一舉多得.

（責(zé)任編輯 陳 昕）