朱薇

1 UG 規(guī)則及其根岑（G.Gentzen）辯護(hù)

數(shù)學(xué)證明中常有“設(shè)自然數(shù)n為任意自然數(shù)”和“設(shè)三角形ABC為任意三角形”這樣的習(xí)語。通過證明自然數(shù)n，或者三角形ABC具有某種屬性，從而推出論域中的所有對象都具有同樣的屬性。在歐幾里德（Euclid）的《幾何原本》中，對命題I.32 的證明就使用了這樣的證明方法：通過證明一個任意三角形ABC具有內(nèi)角和等于兩個直角和的屬性，繼而推出所有三角形的內(nèi)角和等于兩個直角和。這種推理方式的巧妙在于：只需證明一個任意三角形具有某種屬性，而不必對所有三角形做出逐一推理，就能推出所有三角形都具有同樣的屬性。邏輯學(xué)家在對推理進(jìn)行形式化的研究中，將數(shù)學(xué)中這樣的推理模式形式化為全稱概括規(guī)則，簡稱UG 規(guī)則。它可表述為:

Aa

∴(x)Ax

根岑對UG 規(guī)則的辯護(hù)為（[7]，第78 頁）：

?-I：如果對于“任意a”Aa得以證明，則(x)Ax成立。預(yù)設(shè)a是“完全地任意的”可以更加精確地表達(dá)為：Aa必須不依賴于對象變元a出現(xiàn)的任何假設(shè)。這一條，加上一個顯然的要求，即a在Aa中的每個出現(xiàn)都必須被替換為一個x，得到Ax，二者精確地組成了適用于?-I 式的“對變元的約束”。

可見，根岑辯護(hù)中對“任意性”這個概念的解釋，是為UG 規(guī)則辯護(hù)的關(guān)鍵。根據(jù)這種解釋，根岑為UG 規(guī)則的辯護(hù)可表述為：

1)Aa（a指稱“完全地任意的個體對象”）。

2)Aa不依賴于對象變元a出現(xiàn)的任何假設(shè)，即Aa不依賴于對象a的特殊屬性。

3)Aa不依賴于對象a的特殊屬性，那么A適用于論域中的所有對象。

4) ∴(x)Ax。

2 任意性和任意指稱

圍繞著任意性，當(dāng)下的討論涉及以下兩類問題：

(1) 在非形式推理中，任意對象只是一種說法方式嗎？UG 規(guī)則究竟是對論域中的所有對象同時進(jìn)行推理，還是只就一個對象推理？

(2) UG 規(guī)則作為形式規(guī)則，前提中所推理的對象究竟是一個任意的對象？還是被任意指稱到的一個普通對象？如果對任意性的理解是前者，那么我們就需要對任意對象提出解釋，并論證為什么通過證明這個任意對象具有某個屬性，那么所有對象都具有這個屬性。如果對任意性的理解是后者，我們就需要回答元語義層面的問題：憑借什么一個表達(dá)式能任意指稱到一個對象；和回答知識論層面的問題：為何我們對這個對象完全無知；以及解釋UG 規(guī)則怎樣得到辯護(hù)：為什么通過推理這個被任意指稱到的對象得出的屬性為論域中所有對象具有。

圍繞著第一類問題，拉姆齊（F.P.Ramsey）支持將UG 規(guī)則理解為對所有對象推理（[14]）。在他看來，我們可以通過使用量詞談?wù)撍袑ο?，UG 規(guī)則是對所有對象的推理。然而，UG 規(guī)則作為一條推理規(guī)則的用意在于，通過論證一個對象具有某種屬性，就能推理得出所有對象都具有這個屬性。如果按照拉姆齊的理解，那么推理的前提和結(jié)論都是所有對象，這是對UG 規(guī)則的誤解。羅素（B.Russell）指出（[15]，第227 頁）：

此概括性論述（general enunciation）告訴我們有關(guān)所有三角形的事，但具體的論述（particular enunciation）則取出一個三角形，并就這同一個三角形進(jìn)行論斷。但這個取出的三角形是任意三角形（any triangle），不是某一個特殊（some one special）三角形：所以，盡管，在證明中，只有一個三角形被處理，證明卻獲得了概括性。如果我們說“令△ABC為一個三角形，則邊AB與邊AC之和大于邊BC”，我們是在說關(guān)于一個三角形的事，而不是所有三角形；但這個被關(guān)注的一個三角形卻徹底地晦澀不清（ambiguous），因此我們的斷言也同樣徹底地晦澀不清。我們并非斷言了任何一個限定的（definite）命題，而是斷言了一個假設(shè)△ABC為這個或那個三角形而產(chǎn)生的一個未確定（undetermined）的命題?；逎磺宓臄嘌赃@一概念非常重要，至關(guān)重要的是不要將晦澀不清的斷言與在所有情況下都包含同樣?xùn)|西的限定的斷言混為一談。

這段引文指出UG 規(guī)則并非是對所有對象同時論證，而是就一個對象且是同一個對象在論證。只不過，這個被指稱到的對象晦澀不清。與羅素類似，弗雷格（G.Frege）也不認(rèn)為論證任意三角形等同于論證所有三角形，弗雷格則以一種論式（mechanism）對任意性加以更進(jìn)一步的闡釋（[6]，第287–288 頁）：

（祖?zhèn)錉栂壬┰噲D回避我所提出的一些問題……他把變元定義為不限定（indefinite）的數(shù)字。但是有不限定的數(shù)字嗎？數(shù)字必須要被分為限定的和不限定的嗎？有不限定的人嗎？難道不是每個對象都必須是限定的嗎？“可數(shù)字n不就是不限定的嗎？”我不熟悉數(shù)字n?！皀”不是任何數(shù)字的專名，無論它是限定的還是不限定的。不過，我們有時會說“數(shù)字n”。這怎么可能？這樣的表達(dá)必須在上下文中進(jìn)行考察。讓我們舉個例子。“如果數(shù)字n是偶數(shù)，則cosnπ=1?！痹谶@里，只有整個表述才有涵義（sense），前件自身沒有，后件自身也沒有。不僅數(shù)字n是否為偶數(shù)這個問題無法回答；是否cosnπ=1也無法回答。要給出答案，“n”須是一個數(shù)字的專名，在這種情況下，n必然是限定的。我們寫字母n的目的是為了概括。這預(yù)設(shè)了，如果我們把它替換為一個數(shù)字的名字，那么前件和后件就都會取得意義。

當(dāng)然，我們可以在這里談到不限定性；但是此處“不限定”這個詞不是修飾“數(shù)字n”的形容詞，而“無限定地”是修飾，比如動詞“指示（denote）”的一個副詞。我們不能說“n”指定（designates）了一個不限定的數(shù)字，但我們可以說它不限定地表示（indicates）了數(shù)字。

依照弗雷格所言，對數(shù)字n進(jìn)行論證，包含以下兩層含義：(1)要在對數(shù)字n進(jìn)行斷言的整個句子里（包括前件與后件）談?wù)摂?shù)字n；(2)數(shù)字n是一個限定的數(shù)字的占位符：數(shù)字n本身既不是限定的數(shù)字，也不指定一個不限定的數(shù)字，數(shù)字n只是不限定地表示了數(shù)字。具體而言，這是一種“表明限定的數(shù)字只要放在數(shù)字n所占的位置上，整個句子就會獲得意義”的論式。故而，UG 規(guī)則亦為有賴于任意a的一種論式：任意a既不是一個特別的對象，也不指定一個任意的對象，a只是表示了一個占位符，它可以任意地表示具體對象。具體而言，UG 規(guī)則是這樣得到辯護(hù)的：

1)Aa。

2) 論域中對象的名字可安置于a在Aa中的所有的出現(xiàn)上。

3) ∴(x)Ax。

圍繞著第二類問題，當(dāng)下對任意性有兩種不同的觀點，分別將任意性理解為對象的任意性和指稱的任意性。在研究任意對象的理論中，具有代表性的有法因（K.Fine）和泰南特（N.Tennant）（[5]），法因（[4]）為任意對象的辯護(hù)，夏皮洛（S.C.Shapiro）（[16]）提出的任意對象的邏輯，霍斯頓（L.Horsten）（[8]）基于法因（[4]）提出的關(guān)于任意對象的形而上學(xué)的討論。法因等關(guān)于任意對象理論，有賴于提出形而上學(xué)的系統(tǒng)性解釋和論證，目前還存在較多爭議。我們不就其展開討論。在研究任意指稱的理論中，頗具影響力的有馬丁諾（E.Martino）提出的任意指稱理論（Thesis of Arbitrary Reference，簡稱TAR)（[11]）；卡拉拉（M.Carrara）和馬丁諾（[3]）及卡拉拉（[2]）提出的任意指稱原則（Principle of Arbitrary Reference，簡稱PAR）；布萊肯里奇（W.Breckenridge）和馬季多（O.Magidor）提出的任意指稱原則（Arbitrary Reference，簡稱AR）（[1]）；和最近帕米拉（M.Palmira）將任意指稱策略用在解決還原論中的任意同一性問題（the problem of arbitrary identification）中（[12]）。

在任意指稱的討論中，被任意指稱選出的對象被視為是一個被固定的單個對象。但根據(jù)什么來固定一個對象？根據(jù)帕米拉（[12]），這是兩個層面的問題：元語義層面問題和知識論層面問題。元語義層面的問題表述為：憑借什么一個給定的表達(dá)式得到它所得到的語義？比如，憑借什么，數(shù)字和命題的表達(dá)式可指稱一個單個的對象。在此，即要回答憑借什么被冠以符號a的對象是任意指稱所指的對象。知識論層面的問題可以表述為：為什么任意指稱解釋了我們無知于表達(dá)式的所指？在此，即要回答，為什么對任意指稱的對象a所指的是哪個對象一無所知？顯然，回答知識論問題有賴于回答元語義問題，因為只有理解任意指稱的過程，才能回答我們?yōu)槭裁床恢辣蝗我庵阜Q到的那個對象。

目前有兩個主要的觀點試圖回答這些問題，它們分別是：原初語義事實論（Semantic Primitivism）和選擇行為語義論（Act of Choice Semantics）。這兩個論點的核心分歧在于是否接受隨附論（Supervenience Thesis）。隨附論的主張是：語義事實（semantic facts）隨附于使用事實（use facts）1使用事實即物理事實的總和，比如說話人在給定情境中使用某個表達(dá)式的傾向，環(huán)境的物理結(jié)構(gòu)等等。隨附論意味著使用事實先于語義事實。。

原初語義事實論由布萊肯里奇和馬季多在[1]提出，并由[9]得到發(fā)展。布萊肯里奇和馬季多所提出的AR 原則為（[1]，第377 頁）:

任意指稱（AR）：任意地固定一個表達(dá)式的指稱是可能的。當(dāng)我們這樣做時，表達(dá)式取得其普通類型的語義值，盡管我們不知道，也不能知道它取得的具體值是多少。

布萊肯里奇和馬季多的觀點可被歸結(jié)為：(1)通過任意指稱選出對象是原初語義事實（primitive semantic fact）；(2)AR 原則保證了可以任意地固定被指稱的對象；(3)任意指稱的原初性導(dǎo)致了我們對究竟是哪個對象被固定一無所知?？梢姡跽Z義事實論拒斥了隨附論，主張任意指稱是原初語義事實，以此解決元語義層面的問題；繼而，從任意指稱是原初的語義事實，推出我們無知且不可知任意指稱所指的對象，知識論層面的問題隨之得以解決。

布萊肯里奇和馬季多對UG 規(guī)則的辯護(hù)引用了普拉韋茲（D.Prawitz）對“適當(dāng)?shù)摹迸c“不適當(dāng)?shù)摹蓖评淼膮^(qū)分（[13]）。根據(jù)這種區(qū)分，UG 規(guī)則是不適當(dāng)?shù)耐评恚骸斑m當(dāng)?shù)耐评硎且灾苯亓水?dāng)?shù)姆绞接行У耐普摚喝绻疤崾钦娴哪敲唇Y(jié)論也必須是真的。不適當(dāng)?shù)耐评硎且陨晕⒏鼗氐姆绞竭M(jìn)行的有效的推理。”（[1]，第393 頁）。布萊肯里奇和馬季多繼而解釋說（[1]，第394 頁）：

我們想要說的關(guān)于UG 規(guī)則的應(yīng)該已經(jīng)清楚：UG 是一種不適當(dāng)?shù)耐评硪?guī)則。令簡是一個任意的人。并非是如果簡擁有某些屬性，則所有人都必須擁有此屬性。而是，如果能夠證明簡有某種屬性，那么所有人都有這種屬性。原因如下：根據(jù)AR，我們無法知道“簡”所指的是哪個人。我們所知道的只有簡不是這個就是那個人。因此，在證明簡有某種屬性時，我們可以訴諸的簡的唯一屬性是簡與所有他人共有的屬性。

基于AR，布萊肯里奇和馬季多對UG 規(guī)則的辯護(hù)可表述為：

1)a是由AR 原則所確保的被任意指稱的對象。

2)Aa，且Aa是通過證明得到，證明中不需要對a做其他假設(shè)。

3)Aa，且證明Aa時可以訴諸的a的唯一屬性是a與所有對象共有的屬性。

4) ∴(x)Ax。

原初語義事實論主張AR 原則作為原初語義事實足以固定一個對象。姑且不論原初事實論本身是否可靠，即使承認(rèn)原初語義事實論，我們認(rèn)為這個理論也忽略了兩個關(guān)鍵問題，可將AR 原則置于疑地：

其一，即使我們承認(rèn)原初語義事實論，但AR 不足以固定一個對象。這是因為，AR 默認(rèn)一個隱含假設(shè)：論域中的任何對象可以被任意地指稱到。這個隱含假設(shè)并不為AR 或者原初語義事實所包含。如果這個隱含假設(shè)不成立，那么AR 并不能保證能任意地固定一個對象。

其二，就算如布萊肯里奇和馬季多所言，AR 回答了“是什么”保證了“任意地固定一個對象”；但它沒有解釋“如何”“任意地固定了一個對象”。從這個意義上說，任意性仍然沒有得到解釋。不僅如此，根據(jù)布萊肯里奇和馬季多（[1]）的論述，他們還在字面意義上將任意對象與被任意指稱到的對象等同起來（[1]，第382 頁）：

我們很高興承認(rèn)皮埃爾是一個任意的法國人，但是我們否認(rèn)這意味著皮埃爾是一個特殊類型的對象，即不是一個普通的、有血有肉的、具體的法國人。根據(jù)我們的觀點，一個任意的法國人不過是一個法國人被任意地指稱了。

如果把AR 原則與布萊肯里奇和馬季多的這段論述結(jié)合起來，可以推出：“被任意地指稱到的對象”等同于“任意的對象”；一個“任意的對象”是一個“普通的、未知且不可知的對象”；那么，“任意的”等同于“普通的、未知的、不可知的”。然而，一個普通的、未知的、不可知的對象并不見得是一個任意的對象。

綜合上述對任意性的解釋和對UG 規(guī)則的辯護(hù)，布萊肯里奇和馬季多也只是比前人論述更精確而已。比如，在根岑辯護(hù)的基礎(chǔ)上，布萊肯里奇和馬季多強調(diào)了Aa是通過證明得到。但我們提出的兩個問題，削弱了布萊肯里奇和馬季多提出的AR 及其對UG 規(guī)則的辯護(hù)。

在任意指稱理論中，還有一支選擇行為語義論。它源于馬丁諾（[11]），并在[2，3]中得到進(jìn)一步發(fā)展，目前有相當(dāng)影響力。選擇行為語義論，主張保持現(xiàn)有的隨附論，認(rèn)為任意指稱作為語義事實隨附于使用事實。

馬丁諾提出TAR 時指出（[11]，第65 頁）：

似乎普遍認(rèn)為，一旦客觀存在，例如實數(shù)，已經(jīng)被接受，有關(guān)實數(shù)的一般理論就可以通過使用量化方法來發(fā)展，不再需要每個數(shù)字能被單個指稱。相反，我們斷言單個指稱到論域中任何對象的完美可能性極為關(guān)鍵，哪怕是以實在論的視角來看。我們將把這個斷言稱為TAR（任意指稱命題）。

這里TAR 是單個指稱可行的前提，故而也是各種任意指稱原則的隱含假設(shè)和保證。卡拉拉提出的PAR，表述為“論域中的任何對象都可以通過指稱行為來取出”（[2]），它也與TAR 一致。

卡拉拉和馬丁諾的選擇行為語義論指出一個理想主體能夠通過實指選出論域中任何對象。同時，由于選擇行為語義論保持了隨附論，所以任意指稱選出某個對象這一語義事實隨附于理想主體的選擇行為這一使用事實。理想主體通過實指來選擇對象這一想法來自于克里普克（S.Kripke）（[10]）中提到的最初命名儀式（initial baptism）。不過，在選擇行為語義論中，這個命名儀式是由理想主體完成的。馬丁諾還提出（[11]，第69 頁）：

我們可以如下解釋習(xí)語“令a為一個任意對象”：我們讓這個主體隨其心意（不用跟我們商量關(guān)于被選擇的這個對象的任何事），并且稱它為“a”。顯然形容詞“任意的”并不是這個被選擇的對象的屬性，而是選擇行為的自由。相應(yīng)地，我們假設(shè)以下的選擇行為原則（Choice Act Principle，CAP）：

CAP.論域中的任何對象都能被該理想主體選出。

這意味著一個理想主體有通往論域中對象的直接通道，通過實指，理想主體能取出任何對象。故而選擇行為語義論回答了元語義層面的問題。同時，由于理想主體不跟我們商量被選擇的對象的任何事，我們和理想主體之間也沒有溝通，故而不知道也不可能知道理想主體究竟選擇了哪個對象，從而知識論層面的問題也隨之得到回答。

卡拉拉和馬丁諾對UG 規(guī)則的辯護(hù)如下（[3]，第299 頁）：

在這種概念框架下，全稱量詞規(guī)則（I?）被如下辯護(hù)。設(shè)想一個理想主體任意地選擇一個我們一無所知的個體b。如果我們能僅僅通過對個體b推理，從而得出它滿足公式A(x)，由于，據(jù)我們所知，任何對象都可能是被選中對象，我們可以得出結(jié)論每個對象都有這個屬性，并且因此，推出?xAx。

這種對UG 規(guī)則的辯護(hù)，可表述為：

1) 理想主體通過實指選出論域中的對象a，我們對a一無所知。

2)Aa，且任何對象都可能是被選中的對象。

3) ∴(x)Ax。

3 任意指稱原則PAR*和UG 規(guī)則的辯護(hù)

我們認(rèn)為，拒斥隨附論代價較大。一個較為合理的任意指稱原則，不僅需要考慮到如何回答元語義層面和知識論層面的問題，還需要考慮到它如何為UG 規(guī)則提供辯護(hù)方案。我們通過修正卡拉拉和馬丁諾（[3]）的觀點，更加明確地提出一個新的任意指稱原則PAR*，具體如下：

PAR*:一個理想主體可通過實指選擇論域中的任何對象，并以某個字母為其命名，使得通過對這個字母推理得出的屬性不可區(qū)分論域中的對象。

PAR*反映了本文對以上問題的考慮：首先，任意指稱隨附于理想主體的選擇和命名行為，這是對元語義層面問題的回答；其次，我們對任意選擇出的對象的無知，是因為它被命名和可被理想主體命名，這是對知識論層面問題的回答；最后，這個由理想主體選擇和命名行為取出的對象，不僅其自身無法與論域中任何對象區(qū)分開，并且通過推理這個對象得出的屬性也無法區(qū)分論域中的對象，這適用于為UG 規(guī)則提供辯護(hù)。

PAR*是對TAR、PAR 想法的延續(xù)，它能確保論域中的任何對象可以被單個指稱所固定，這種固定方式是由理想主體的選擇行為所完成的。理想主體通過實指取出的對象只是論域中的一個普通對象，被命名為某個字母，比如a。任何對象可以被理想對象取出，保證了單個指稱得以可能。在這一點上，我們與馬丁諾（[11]）、卡拉拉和馬丁諾（[3]）持相同看法。但是，我們對元語義問題和知識論問題的回答方式和卡拉拉和馬丁諾（[3]）的觀點有所不同。我們認(rèn)為，對所選擇對象的無知來源于最初的命名儀式?？死锲湛藢ψ畛醯拿麅x式的解釋是（[10]，第91、96 頁）：

某個人，比方說，一個嬰兒，出生了；他的父母用一定的名字來稱呼他。他們對他們的朋友們談?wù)撝?。其他人見過他。通過各種各樣的談話，這名字環(huán)環(huán)傳布著，就像在鎖鏈上一樣。在鎖鏈最遠(yuǎn)端的說話人，曾經(jīng)在市場或者別處聽過，比如理查德·費曼（R.Feynman），也會指稱理查德·費曼，盡管他不能記起最初從誰那兒聽說過費曼，或者從誰那兒曾經(jīng)聽說過費曼。他知道費曼是一個有名的物理學(xué)家。最終通向這個人一定的溝通渠道交流的確抵達(dá)說話人。一條回到費曼他自身的溝通鏈，通過他所屬的社群對這個名字環(huán)環(huán)傳布，已然建立。

最初的“命名”（initial baptism）發(fā)生了。在此這個對象可以由實指所命名，抑或這個名字的指稱可由描述所固定。當(dāng)這個名字“環(huán)環(huán)傳布”時，這個名字的接收者必須，我認(rèn)為，打算當(dāng)他學(xué)會用它時和他聽到的人一樣使用它。

試想，我們讓理想主體從論域中，比如從自然數(shù)集中，任意取出一個自然數(shù)時，理想主體取出的實際上是一個具體的自然數(shù)，或許是17，或許是79011，理想主體取出這個具體的自然數(shù)時，知道這個自然數(shù)是多少。可一旦理想主體對其命名為n后，這個自然數(shù)的具體屬性（比如奇偶性），對我們而言，就已經(jīng)被抹去了。我們知道的和能知道的只不過是n是從自然數(shù)集中被理想主體任意取出的一個自然數(shù)，我們不知道也不可能知道它究竟是哪一個自然數(shù)。這樣，在對n進(jìn)行推理時，也不可能運用到任何別的假設(shè)。這是我們對知識論問題的回答。馬丁諾（[11]），卡拉拉和馬丁諾（[3]）中對無知的解釋是我們和理想主體之間“缺乏溝通”，或“我們不是理想主體”。這種解釋可能會引發(fā)一些疑問，比如，如果我們和理想主體缺乏溝通，為什么理想主體會聽從我們的要求并任取一個對象呢？以及，理想主體任取一個具體對象后，比如17，為什么不直接交給我們具體對象17 呢？畢竟17 才是理想主體任取的那個對象。如果理想主體交給我們這個任取的具體對象17，并不違背TAR 和PAR，但我們就會知道這個任取的對象是17，從而無法回答知識論層面的問題。由于存在這些疑問，我們認(rèn)為，無知不僅僅是因為任意選擇，還因為這個被任意選擇的具體對象“被命名”和“可被命名”。對于“被命名”和“可被命名”，馬丁諾指出（[11]，第68 頁）：

特別是，他們感覺到論證的有力性在于，在不對a做任何假設(shè)，獲知一個確定對象a滿足P(a)之后，人們便可以正確地得出(x)P(x)。但是，由于P(a)的證明明顯利用了a的可命名性（nameability），所以只有在假設(shè)每個對象都是可命名的情況下才能證明概括性的結(jié)論。從沒有數(shù)學(xué)家認(rèn)為有必要把這個假設(shè)明確提出的這一事實，似乎表明原則上單稱任何對象的可能性隱含在對象的一般概念中。

但TAR，PAR 始終沒有直接明確地把這一點體現(xiàn)在任意指稱原則中，使其成為解釋任意性和回答兩個層面問題的重要組成部分。所以，在這個意義上，我們認(rèn)為，PAR*相對于TAR 和PAR 的優(yōu)勢，并不僅僅是它更精確一些，而是PAR*明確指出了理解任意性不可缺少的環(huán)節(jié)在哪里。

PAR*還要求通過對命名字母推理得出的屬性不可區(qū)分論域中的對象。這是因為，一個理想主體任取一個對象并將它命名為n，無論它被取出時，原本是17，或是79011，這時指稱的任意性也已經(jīng)隨附于選擇和命名而產(chǎn)生了。知識論層面上，由于無知，我們無法將n與論域中的其他對象區(qū)分開了。繼而我們對n進(jìn)行證明時，PAR*還確保被證明得出的n的屬性不可區(qū)分論域中的對象。一種屬性如果能區(qū)分論域中的對象，則意味著這種屬性是論域中一部分對象所具有的特殊屬性，而不是所有對象共有的屬性。所以當(dāng)證明n得出的屬性不能區(qū)分論域中的對象時，就為所有對象所共有了。比如“能被2 整除”這種屬性，是偶數(shù)的特殊屬性。通過論證任意自然數(shù)n，要求通過推理n得出的屬性不用于區(qū)分自然數(shù)集中的對象，那么也就排除了“能被2 整除”這種屬性。

這樣，PAR*保證了以下三條：

(1) 理想主體通過實指從論域中選出任何對象。

(2) 理想主體并可以以某個字符為選出的對象命名。

(3) 在通過推理這個字符時得到的屬性不可區(qū)分論域中的對象，使得這個字符所滿足的屬性為論域中的所有對象所具有。

故而PAR*為UG 規(guī)則的辯護(hù)可表述為：

1) 理想主體通過實指選出論域中的對象并以字符a為之命名，使得通過a證明的屬性不能區(qū)分論域中的對象。

2)Aa被證明，且屬性A不可區(qū)分論域中的對象。

3) ∴(x)Ax。

PAR*是在前人為UG 規(guī)則辯護(hù)和對任意指稱論述基礎(chǔ)上的修正方案。這個方案考慮到了任意指稱的隱含假設(shè)，并最終為任意指稱，元語義層面和知識論層面的問題，提出了一個準(zhǔn)確的解釋。雖然這可能會帶來很多爭議，但如果PAR*是可行的，它在為UG 規(guī)則辯護(hù)的同時，也為一些基本問題提供一個解決方案。