基于特征值擬合優(yōu)度的頻譜感知算法研究

李 賀， 趙 文 靜， 羅 雪 松， 劉 暢， 鄒 德 岳， 金 明 錄

( 大連理工大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院, 遼寧 大連 116024 )

0 引 言

隨著無線寬帶和多媒體用戶市場(chǎng)的迅速擴(kuò)大以及高數(shù)據(jù)速率的應(yīng)用，固定的頻譜分配策略導(dǎo)致的可用頻譜資源使用效率低和頻譜資源匱乏給無線通信網(wǎng)絡(luò)5G甚至是6G帶來了很大挑戰(zhàn).認(rèn)知無線電作為5G關(guān)鍵技術(shù)，允許次用戶使用授權(quán)主用戶的空閑頻譜進(jìn)行機(jī)會(huì)通信，這是緩解頻譜資源緊缺的一項(xiàng)有前途的技術(shù)[1].頻譜感知是認(rèn)知無線電技術(shù)的一項(xiàng)基本任務(wù)，它的目的是在特定地理維度獲取授權(quán)頻譜使用和主用戶存在的認(rèn)知信息.當(dāng)主用戶處于激活狀態(tài)時(shí)，認(rèn)知用戶必須以較高的概率檢測(cè)到主用戶的存在，并在一定時(shí)間內(nèi)清空信道或降低傳輸功率.然而，錯(cuò)綜復(fù)雜的實(shí)際場(chǎng)景給頻譜感知帶來了很大挑戰(zhàn)，也促進(jìn)了認(rèn)知無線電技術(shù)的不斷發(fā)展[2-4].

在過去的10年中，人們提出了許多頻譜感知算法.在這些算法中，因計(jì)算復(fù)雜度低和硬件實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，能量檢測(cè)(energy detection，ED)算法得到較為廣泛的使用[5].能量檢測(cè)算法不需要知道主用戶信號(hào)參數(shù)特征信息，對(duì)獨(dú)立同分布(i.i.d)信號(hào)檢測(cè)具有最優(yōu)檢測(cè)性能，但對(duì)相關(guān)信號(hào)的檢測(cè)性能較差.為了克服能量檢測(cè)算法的這一缺點(diǎn)，Zeng等[6]提出了基于樣本協(xié)方差矩陣最大特征值檢測(cè)(maximum eigenvalue detection，MED)算法.由于協(xié)方差矩陣能夠捕獲信號(hào)樣本間的相關(guān)性，該算法對(duì)相關(guān)信號(hào)的檢測(cè)優(yōu)于傳統(tǒng)能量檢測(cè)算法.MED算法也被應(yīng)用于其他場(chǎng)景，并獲得了較好的檢測(cè)性能[7-9].

ED算法和MED算法不需要已知信號(hào)的先驗(yàn)信息，但都需要已知噪聲功率作為檢測(cè)前提.在實(shí)際系統(tǒng)中，噪聲隨時(shí)間的變化而變化，導(dǎo)致了信噪比墻現(xiàn)象的存在和虛警概率的增加.為此，人們廣泛研究了不需要已知噪聲功率的全盲檢測(cè)算法，包括最大最小特征值檢測(cè)(maximum-minimum eigenvalue，MME)[10]、算數(shù)幾何平均算法檢測(cè)[11]和特征值加權(quán)檢測(cè)[12].使用所有特征值的檢測(cè)算法在矩陣維數(shù)較大的情況下具有較高的計(jì)算復(fù)雜度，因此需要采用最大最小特征值的頻譜檢測(cè)算法.在這些基于特征值的檢測(cè)算法中，MME算法檢測(cè)效果相對(duì)較好且具有較低的計(jì)算復(fù)雜度.

另一方面，頻譜感知可以表述為一種擬合優(yōu)度(goodness-of-fit，GoF)檢測(cè)問題[13]，它不需要主用戶信號(hào)的任何先驗(yàn)信息，只需要已知噪聲的統(tǒng)計(jì)分布，通過檢驗(yàn)觀測(cè)到的樣本是否服從該噪聲分布來進(jìn)行判決.在GoF理論框架下，人們提出了許多檢測(cè)算法，如Anderson-Darling(AD)檢測(cè)[14]、單邊右尾AD(unilateral righttail Anderson-Darling，URAD)檢測(cè)[15-17]、Cramer von Mises(CM)檢測(cè)[14]和Kolmogorov-Smirnov(KS)檢測(cè)[18].對(duì)于擬合優(yōu)度檢測(cè)問題，人們研究的關(guān)注點(diǎn)在于擬合度量和擬合統(tǒng)計(jì)量.

這些已有的算法大多以信號(hào)樣本或能量作為擬合統(tǒng)計(jì)量，在檢測(cè)動(dòng)態(tài)相關(guān)信號(hào)時(shí)，性能會(huì)急劇下降.如果利用基于特征值的統(tǒng)計(jì)量來捕獲信號(hào)的相關(guān)性，可以進(jìn)一步提高檢測(cè)性能.賀亞晨等[16]提出了一種新的基于樣本協(xié)方差矩陣最大特征值的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)頻譜感知算法.該算法利用隨機(jī)矩陣?yán)碚摲治鰳颖緟f(xié)方差矩陣最大特征值的分布，通過GoF檢驗(yàn)檢測(cè)主用戶的存在，在動(dòng)態(tài)信號(hào)下能表現(xiàn)出良好的檢測(cè)性能.

但是基于最大特征值擬合優(yōu)度的檢測(cè)仍然存在噪聲不確定性問題，實(shí)際應(yīng)用受到限制.為此，本文著重研究特征值域的擬合優(yōu)度檢測(cè)問題，采用基于最大最小特征值之比作為擬合統(tǒng)計(jì)量的全盲擬合優(yōu)度檢測(cè)算法，以便克服噪聲不確定性問題.在隨機(jī)矩陣?yán)碚摽蚣芟?，基于最大特征值的Tracy-Widom分布，分析所提算法的檢測(cè)概率、虛警概率和判決門限.最后，通過仿真實(shí)驗(yàn)說明新算法的有效性和性能提升.

1 系統(tǒng)模型和擬合優(yōu)度檢測(cè)

圖1是一個(gè)典型的多天線頻譜感知場(chǎng)景，其中隨機(jī)分布一些單天線主用戶和一些多天線次用戶，次用戶可以根據(jù)接收到的信號(hào)樣本進(jìn)行頻譜感知.如果主用戶開始廣播信號(hào)，那么次用戶就能夠接收到主用戶信號(hào)和噪聲信號(hào)，否則只接收噪聲信號(hào).

設(shè)每個(gè)次用戶配備M個(gè)陣元的線天線陣，設(shè)有D(D≤M)個(gè)不相關(guān)的PU信號(hào)分別來自不同方向的發(fā)射機(jī)，則在次用戶接收天線處的頻譜感知問題實(shí)際是對(duì)某一授權(quán)頻段是否可用的判斷，可以表示為如下的二元假設(shè)檢驗(yàn)問題[14]：

(1)

同一時(shí)刻的采樣數(shù)據(jù)可以表示為如下的向量形式：

x(k)=(x1(k)x2(k) …xM(k))T
hj(k)=(h1j(k)h2j(k) …h(huán)Mj(k))T
n(k)=(n1(k)n2(k) …nM(k))T
s(k)=(s1(k)s2(k) …sD(k))T

(2)

則式(1)的頻譜感知問題可以表示為如下的二元假設(shè)檢驗(yàn)問題：

H0：x(k)=n(k)
H1：x(k)=H(k)s(k)+n(k)

(3)

其中H(k)=(h1(k)h2(k) …h(huán)D(k)).如果假設(shè)信道為慢衰落，則信道矩陣為常數(shù)陣，表示為H.

假設(shè)FX(x)表示觀測(cè)值xi(k)的經(jīng)驗(yàn)累積分布函數(shù)，可以定義為

FX(x)=|{(i，k)：xi(k)≤x，1≤i≤M，1≤k≤N}|/MN

(4)

其中對(duì)任意的有限集合S，|S|表示集合S的基數(shù).

在零假設(shè)下，隨著擬合對(duì)象數(shù)的增多，接收信號(hào)經(jīng)驗(yàn)累積分布函數(shù)FX(x)會(huì)逐漸收斂于噪聲信號(hào)的實(shí)際累積分布函數(shù)F0(x)，即當(dāng)MN足夠大時(shí)，在零假設(shè)成立的情況下，F(xiàn)X(x)會(huì)非常接近F0(x)，如果FX(x)顯著偏離F0(x)，則認(rèn)為零假設(shè)H0不成立，說明存在主用戶信號(hào).怎樣度量?jī)煞N分布F0(x)和FX(x)之間的距離，是擬合優(yōu)度檢測(cè)算法的關(guān)鍵.隨著數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)理論的發(fā)展，人們提出了許多度量分布F0(x)和FX(x)之間距離的優(yōu)秀算法，統(tǒng)稱為擬合準(zhǔn)則.常用的GoF檢測(cè)的擬合準(zhǔn)則包括KS準(zhǔn)則、CM準(zhǔn)則和AD準(zhǔn)則等.擬合優(yōu)度假設(shè)檢驗(yàn)問題可以表示為如下的二元假設(shè)：

H0：FX(x)=F0(x)
H1：FX(x)≠F0(x)

(5)

基于擬合準(zhǔn)則計(jì)算得到FX(x)與F0(x)的判決統(tǒng)計(jì)量T，通過與判決門限γ進(jìn)行比較，當(dāng)T<γ時(shí)，就接受H0假設(shè)，認(rèn)為不存在發(fā)送信號(hào)；否則拒絕H0(即接受H1)，認(rèn)為存在發(fā)送信號(hào).

除了信號(hào)樣本之外，還有樣本能量和其他量(如特征值)都可以作為擬合統(tǒng)計(jì)量.一般情況下，設(shè)T(L)={t1，t2，…，tL}為L(zhǎng)個(gè)時(shí)間樣本的觀測(cè)統(tǒng)計(jì)量，其累積分布函數(shù)記為F0(t)，則零假設(shè)可以表示為

H0：T(L)～F0(t)

(6)

因此，主用戶存在(H1)等價(jià)于T(L)不是服從分布F0(t)的序列.

擬合優(yōu)度檢測(cè)算法的設(shè)計(jì)除了擬合統(tǒng)計(jì)量的選擇之外，重要的是擬合度量(擬合準(zhǔn)則)的選擇.基于文獻(xiàn)[16-17]的考慮，本文也選擇URAD擬合準(zhǔn)則.在URAD擬合準(zhǔn)則下，判決統(tǒng)計(jì)量定義為

(7)

其中L為樣本數(shù).另外，F(xiàn)T(t)表示擬合統(tǒng)計(jì)量tl，l=1，2，…，L的累積經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù).對(duì)于有限數(shù)量的擬合統(tǒng)計(jì)量，TURAD可以寫成

(8)

其中Zl=F0(tl).因此，通過比較TURAD和判決門限γ進(jìn)行檢測(cè)判決.如果TURAD>γ，拒絕零假設(shè)H0，即主用戶信號(hào)存在；否則，該通道未被使用.

2 基于最大最小特征值的GoF檢測(cè)

首先介紹樣本協(xié)方差矩陣特征值的分布，然后簡(jiǎn)單介紹基于最大特征值的擬合優(yōu)度檢測(cè)算法，最后提出改進(jìn)的基于特征值的擬合優(yōu)度檢測(cè)算法.

2.1 樣本協(xié)方差矩陣特征值分布

協(xié)方差矩陣能夠捕獲信號(hào)樣本間的相關(guān)性，且廣泛應(yīng)用于信號(hào)檢測(cè)領(lǐng)域，為此許多協(xié)方差矩陣的估計(jì)方法被提出，其中樣本協(xié)方差矩陣是最大似然估計(jì).考慮N個(gè)采樣序列，接收信號(hào)的樣本協(xié)方差矩陣可以表示為

(9)

其中(·)H表示共軛轉(zhuǎn)置.在H0假設(shè)下，即當(dāng)不存在發(fā)送信號(hào)時(shí)，Rx(k)=Rn(k)，如下式所示：

(10)

(11)

根據(jù)隨機(jī)矩陣?yán)碚摽芍?，Wishart隨機(jī)矩陣特征值的聯(lián)合概率密度分布函數(shù)(PDF)有著非常復(fù)雜的表達(dá)式，并且其特征值邊緣PDF也還沒有找到一個(gè)合適的表達(dá)形式.幸運(yùn)的是Johnstone和Johansson等已經(jīng)對(duì)Wishart隨機(jī)矩陣的最大特征值分布做了一定的研究[10-11]，研究成果描述如下：

由定理1可知，在主用戶信號(hào)不存在的情況下，樣本協(xié)方差矩陣最大特征值的歸一化值服從Tracy-Widom分布，表現(xiàn)出了一種特定的統(tǒng)計(jì)特性.

對(duì)最小特征值則有如下的結(jié)論：

2.2 基于特征值的GoF檢測(cè)算法

由定理1可知，在假設(shè)H0下，樣本協(xié)方差矩陣最大特征值的歸一化值服從TW分布FTW1(t)，因此根據(jù)URAD擬合準(zhǔn)則可以得到基于最大特征值的擬合優(yōu)度檢測(cè)算法.

(12)

其中Zl=F0(tMED)=FTW1(tMED).

(13)

因此，根據(jù)定理1和定理2，可以得到最大最小特征值之比的分布函數(shù)如下：

F0_MME=Pr{λmax(Rx(N))≤βλmin(Rx(N))}=

(14)

其中F1(·)是一階TW分布的累積分布函數(shù)(CDF)，β為門限.

根據(jù)式(8)的URAD擬合準(zhǔn)則，可以得到基于最大最小特征值的擬合優(yōu)度檢測(cè)算法.步驟如下：

步驟1數(shù)據(jù)處理.將長(zhǎng)為N的接收數(shù)據(jù)均分為長(zhǎng)為Ns的L段(Ns=N/L)，即

x(2+(l-1)Ns)，…，

x(lNs)}

(15)

步驟2計(jì)算各部分的樣本協(xié)方差矩陣.

(16)

步驟3計(jì)算每個(gè)樣本協(xié)方差矩陣的擬合統(tǒng)計(jì)量.

(17)

步驟4按升序排列擬合統(tǒng)計(jì)量.假設(shè)已排序的擬合統(tǒng)計(jì)量是

tMME(1)≤tMME(2)≤…≤tMME(L)

(18)

步驟5計(jì)算判決統(tǒng)計(jì)量.

(19)

其中Zl=F0(tMME)=FTW1(tMME).

步驟6判決.如果TMME-GoF>γ，那么信號(hào)存在；否則，信號(hào)不存在，γ是判決門限.

注意到，當(dāng)數(shù)據(jù)分組數(shù)L=1時(shí)，即數(shù)據(jù)不分割，判決統(tǒng)計(jì)量為TMME-GoF=-1-ln(1-Z1).由于函數(shù)ln( )和F1( )都是單調(diào)函數(shù)，則MME-GoF算法的判決統(tǒng)計(jì)量TMME-GoF是MME的判決統(tǒng)計(jì)量TMME的單調(diào)函數(shù)，此時(shí)MME-GoF算法和MME算法等價(jià)，MME算法可以看作是MME-GoF算法的特例.這也說明研究基于特征值的擬合優(yōu)度檢測(cè)算法有較好的理論意義.

3 性能分析

檢測(cè)概率(Pd)與虛警概率(Pf)是評(píng)價(jià)檢測(cè)方法性能的兩個(gè)重要指標(biāo)，可以表示為

Pd=Pr{T>γ|H1}
Pf=Pr{T>γ|H0}

(20)

其中T表示由式(19)給出的判決統(tǒng)計(jì)量，γ為判決門限.為了計(jì)算檢測(cè)概率和虛警概率，需要求解判決統(tǒng)計(jì)量T在H1假設(shè)和H0假設(shè)下的概率分布函數(shù).從式(19)可以看到，求解判決統(tǒng)計(jì)量T的概率分布函數(shù)很難.為此本文利用中心極限定理簡(jiǎn)化推導(dǎo)所提算法的檢測(cè)概率、虛警概率和判決門限.

根據(jù)式(1)中的系統(tǒng)模型和最大最小特征值擬合優(yōu)度檢測(cè)算法，所劃分的L個(gè)樣本協(xié)方差矩陣是獨(dú)立同分布的.因此，tMME(1)、tMME(2)、…、tMME(L)可視為i.i.d序列.在這種情況下，ln(1-Z1)，ln(1-Z2)，…，ln(1-ZL)也是i.i.d序列.利用中心極限定理，TMME-GoF近似服從如下分布：

TMME-GoF～N(-L-L×E[ln(1-Zl)]，L×Var[ln(1-Zl)])

(21)

其中E[·]和Var[·]表示均值和方差；N(a，b)表示均值為a、方差為b的真實(shí)高斯分布.注意，ln(1-Zl)的PDF閉式表達(dá)式很難求出.因此，均值和方差的近似值可以通過蒙特卡羅方法得到.

Pf_MME-GoF=Pr{TMME-GoF>γ|H0}=

(22)

Pd_MME-GoF=Pr{TMME-GoF>γ|H1}=

(23)

對(duì)于任何給定的Pf_MME-GoF，判決門限γ可以通過下式計(jì)算：

(24)

4 仿真與討論

本文給出一些仿真結(jié)果對(duì)所提算法的性能進(jìn)行分析討論.沒有特別說明，假設(shè)有4個(gè)PU源信號(hào)通過平坦瑞利衰落信道傳輸，被具有4個(gè)天線陣元的多天線接收機(jī)系統(tǒng)接收.假設(shè)樣本數(shù)量N=100，分段數(shù)量L=4，虛警概率為0.1.所有結(jié)果通過5 000次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)平均得到.與一般文獻(xiàn)一樣，假設(shè)主用戶信號(hào)服從相關(guān)高斯多變量分布，相關(guān)矩陣系數(shù)定義為(Rx)p，q=0.5|p-q|，其中(·)p，q表示第p行、第q列元素[8].為了比較公平，所有算法都采用URAD方案作為擬合度的度量.

比較分析了最大特征值擬合優(yōu)度算法(MED-GoF)、最大最小特征值擬合優(yōu)度算法(MME-GoF)、基于樣本的擬合優(yōu)度算法(SAM-GoF)和基于能量的擬合優(yōu)度算法(EN-GoF)的檢測(cè)性能.從圖2可以看到，對(duì)弱相關(guān)性高斯信號(hào)，EN-GoF算法優(yōu)于MED-GoF算法，而MME-GoF算法則接近于SAM-GoF算法.

圖2 不同擬合優(yōu)度算法比較(ρ=0.1)

圖3給出了在強(qiáng)相關(guān)性高斯信號(hào)下的檢測(cè)性能，此時(shí)MED-GoF算法優(yōu)于EN-GoF算法，MME-GoF算法也優(yōu)于SAM-GoF算法，但是不如EN-GoF算法.

圖3 不同擬合優(yōu)度算法比較(ρ=0.9)

此外，考慮了噪聲方差不確定性的影響，將閾值固定為0.1，噪聲方差設(shè)置為0、1和2 dB，結(jié)果如圖4所示.可以看到，經(jīng)典的EN-GoF和SAM-GoF算法與MED-GoF算法都存在噪聲不確定性問題，并且在存在噪聲不確定性時(shí)呈現(xiàn)較高的虛警概率.因此，設(shè)計(jì)的MME-GoF算法可以實(shí)現(xiàn)較高的檢測(cè)概率，并且對(duì)噪聲不確定性問題具有魯棒性.

圖4 在噪聲不確定條件下不同擬合優(yōu)度算法比較

5 結(jié) 語

本文考慮了基于特征值的GoF檢測(cè)問題，提出了基于MME的GoF檢測(cè)算法.該算法是一種全盲檢測(cè)器，能夠捕獲相關(guān)信息以提高檢測(cè)性能.對(duì)所提算法的理論性能進(jìn)行了相應(yīng)的分析.最后，仿真結(jié)果驗(yàn)證了該算法能夠克服噪聲不確定性的問題，與現(xiàn)有基于時(shí)間樣本的GoF算法相比，在高度相關(guān)的PU信號(hào)情況下，算法實(shí)現(xiàn)了性能提高.