擴(kuò)張Schrodinger-Virasoro李代數(shù)及其一些子代數(shù)研究

余 德 民， 李 笛， 柴 嘉 潞， 羅 德 仁

( 湖南理工學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院， 湖南 岳陽 414000 )

0 引 言

[Lm，Ln]=(n-m)Ln+m， [Lm，Mn]=nMn+m， [Mm，Mn]=0；

此運(yùn)算在基向量上線性擴(kuò)張，并滿足反對稱性和Jacobi不等式，稱g為擴(kuò)張李代數(shù)Schrodinger-Virasoro，文獻(xiàn)[1]研究了擴(kuò)張李代數(shù)Schrodinger-Virasoro的結(jié)構(gòu)，文獻(xiàn)[2]研究了Schrodinger-Virasoro的表示.文獻(xiàn)[3-7]研究了Virasoro李代數(shù)及其推廣的Virasoro李代數(shù)，文獻(xiàn)[8-10]研究了推廣的Virasoro李代數(shù)的結(jié)構(gòu)分類、導(dǎo)子、自同構(gòu)和最高權(quán)模.本文研究這類李代數(shù)的子代數(shù)、同構(gòu).

1 主要結(jié)果

定義1若李代數(shù)g無非零的交換理想，則稱g為半單李代數(shù).又若李代數(shù)g還無非平凡的理想，則稱g為單李代數(shù).

定義2設(shè)由Li(?i≥2，i∈Z)張成的子空間為g2.

定理1g2是g的無限維非交換子代數(shù).

證明?i≥2，j≥2，i，j∈Z，可驗(yàn)證

[Li，Lj]=(j-i)Li+j

(1)

從而，g2是g的子代數(shù)，g2也是g的無限維非交換子代數(shù).

定理2g2是g的半單李子代數(shù).

證明由于?i≥2，i∈Z，?j≥2，j∈Z，Li∈g2，Lj∈g2

[Li，Lj]=(j-i)Li+j

g2無二維交換李子代數(shù)，反證假設(shè)h為g2的二維交換子代數(shù)，設(shè)x、y為h的基，則x≠0，y≠0，設(shè)

x=k2L2+…+kn-1Ln-1+knLn

y=l2L2+…+ln-1Ln-1+lnLn

觀察矩陣：

因?yàn)閔為交換子代數(shù)，所以

[x，y]=0

(2)

仔細(xì)觀察系數(shù)矩陣，式(2)左邊經(jīng)過具體計(jì)算之后可知L2n-1系數(shù)為

同理觀察L2n-2的系數(shù)

利用行列式有關(guān)知識(shí)，又kn、ln不全為零，因?yàn)?/p>

(3)

于是L2n-3的系數(shù)

kij≠0，i1

φ1在g2的基向量Li上線性擴(kuò)張.

φ1([Li，Lj])=[φ1(Li)，φ1(Lj)]；

?i≥2，j≥2，i，j∈Z

定義3設(shè)由Mi(?i∈Z)張成的子空間為g3.

定理4李代數(shù)g不是單李代數(shù)，也不是半單李代數(shù).

證明先證明g3是g的無限維交換子代數(shù)，并且g3是李代數(shù)g的交換理想，?i，j∈Z，由于

[Mi，Mj]=0

從而g2是g的無限維交換子代數(shù)，?m，n∈Z，由于

從而g2是李代數(shù)g的交換理想.從而原命題成立.構(gòu)造g到g映射如下：

φ2：g→g，φ2(Li)=aiLi，φ2(Ni)=aiNi，

定理5φ2是g到g的同構(gòu).

定理6g-是g的無限維非交換子代數(shù).

證明?m<0，n<0，m，n∈Z，可驗(yàn)證

[Lm，Ln]=(n-m)Ln+m， [Lm，Mn]=nMn+m，

[Mm，Mn]=0；

[Lm，Nn]=nNn+m， [Mm，Nn]=-2Mn+m，

從而g-是g的無限維非交換子代數(shù).

定理7g0-是g的無限維非交換子代數(shù).

證明?m≤0，n≤0，m，n∈Z，可驗(yàn)證

[Lm，Ln]=(n-m)Ln+m， [Lm，Mn]=nMn+m，

[Mm，Mn]=0；

[Lm，Nn]=nNn+m， [Mm，Nn]=-2Mn+m，

從而g0-是g的無限維非交換子代數(shù).

顯然，g-?g0-?g.

定理8g-是g0-的無限維非交換子代數(shù)，g-是g0-理想.

證明由于g-是g的無限維非交換子代數(shù)，當(dāng)然g-是g0-的無限維非交換子代數(shù).?m>0，n>0，m，n∈Z，可驗(yàn)證

[Lm，L0]=-mLm， [L0，Mn]=0，

[Lm，M0]=0， [Mm，M0]=0，

[Lm，N0]=0， [Mm，N0]=-2Mm，

從而g-是g0-理想.

定義6設(shè)由Mi，Ni(?i∈Z)張成的子空間為g13.如前所述Mi(?i∈Z)張成的子空間為g3.

定理9g13是g的無限維非交換子代數(shù)，g3是g13的理想，g13不是單李代數(shù)，也不是半單李代數(shù).

證明?m>0，n>0，m，n∈Z，可驗(yàn)證

[Mm，Mn]=0， [Mm，Nn]=-2Mn+m，[Nm，Nn]=0

從而g13是g的無限維非交換子代數(shù).顯然g3是g13的交換理想，g13不是單李代數(shù)，也不是半單李代數(shù).

定義7設(shè)由Li，Mi(?i∈Z)張成的子空間為g14.如前所述Mi(?i∈Z)張成的子空間為g3.

定理10g14是g的無限維非交換子代數(shù)，g3是g14的理想，g14不是單李代數(shù)，也不是半單李代數(shù).

證明?m，n∈Z，可驗(yàn)證

[Lm，Ln]=(n-m)Ln+m，

[Lm，Mn]=nMn+m， [Mm，Mn]=0

從而g14是g的無限維非交換子代數(shù).顯然g3是g14的交換理想，g14不是單李代數(shù)，也不是半單李代數(shù).

2 結(jié) 語

本文研究了擴(kuò)張Schrodinger-Virasoro李代數(shù)部分結(jié)構(gòu)問題.可以進(jìn)一步研究這類李代數(shù)的中心和理想，及其全部自同構(gòu)以及自同構(gòu)群等結(jié)構(gòu)問題.并可繼續(xù)研究擴(kuò)張Schrodinger-Virasoro李代數(shù)的表示.