王賀元, 楊躍男, 柏孟卓

(沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽 110034)

混沌是非線性系統(tǒng)特有的一種運(yùn)動(dòng)形式,產(chǎn)生于確定性系統(tǒng)的依賴于初始條件的往復(fù)穩(wěn)態(tài)非周期運(yùn)動(dòng),類似于隨機(jī)振動(dòng)而具有長(zhǎng)期不可預(yù)測(cè)性[1]。1963年,氣象學(xué)家洛倫茲在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)混沌現(xiàn)象,隨后,經(jīng)過Kuhu、Li、和Yorke以及May等對(duì)混沌的進(jìn)一步研究,到近代的呂金虎、陳關(guān)榮等又提出統(tǒng)一混沌系統(tǒng)[2]。這些開創(chuàng)性工作對(duì)混沌理論的應(yīng)用起到了至關(guān)重要的推動(dòng)作用?；煦缋碚撛诒姸囝I(lǐng)域均有廣泛的應(yīng)用,如環(huán)型圓管內(nèi)的對(duì)流問題:豎直放置的環(huán)型圓管內(nèi)充滿流體,環(huán)境溫度下熱上冷,當(dāng)?shù)撞繙囟冗_(dá)到一定值時(shí),管內(nèi)流體發(fā)生對(duì)流現(xiàn)象。本文通過分析和仿真環(huán)型圓管裝置所對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型的動(dòng)力學(xué)行為,分析解釋了圓管內(nèi)的對(duì)流現(xiàn)象。

1 環(huán)型圓管對(duì)流的數(shù)學(xué)模型

豎直放置的環(huán)型圓管內(nèi)充滿流體,環(huán)境溫度下熱上冷。開始流體靜止,上下流體內(nèi)的溫差到達(dá)一定值后,流體開始在管內(nèi)對(duì)流耗散,忽略粘性流體運(yùn)動(dòng)時(shí)能耗所產(chǎn)生的熱量,并假定通過管壁的熱傳導(dǎo)速率正比于流體溫度與壁外環(huán)境溫度的差,得出能量方程的近似分解式[3]。文獻(xiàn)[3]給出了該數(shù)學(xué)模型的動(dòng)力學(xué)方程式:

(1)

1.1 系統(tǒng)的對(duì)稱性和不變性

該類洛倫茲系統(tǒng)具有對(duì)稱性,即在變換(X,Y,Z)→(-X,-Y,Z)下具有不變性,系統(tǒng)(1)關(guān)于Z軸具有對(duì)稱性,且這種對(duì)稱性對(duì)所有的系統(tǒng)參數(shù)均成立[4]。

1.2 耗散性和吸引子的存在性

1.3 平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性

再線性化,就得到該平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性方程為

將(X0,Y0,Z0)=(0,0,0)帶入穩(wěn)定性方程,得該點(diǎn)的雅可比矩陣為

當(dāng)01時(shí),λ的2個(gè)根為負(fù)實(shí)數(shù),一根為正實(shí)數(shù),因此(O)是不穩(wěn)定的,因此r=1是一個(gè)過渡點(diǎn)。(O)在該點(diǎn)從穩(wěn)定過渡到不穩(wěn)定。同時(shí),在這一過渡點(diǎn)上,新的平衡點(diǎn)(C1)和(C2)開始出現(xiàn)。

特征方程為λ3+(2+P)λ2+(r+P)λ+2P(r-1)=0。

2 系統(tǒng)參數(shù)的影響

根據(jù)上面的分析,隨著系統(tǒng)參數(shù)的改變,系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性也發(fā)生變化,從而系統(tǒng)將處于不同的狀態(tài)[9]。下面進(jìn)行分岔及軌道的討論與分析。

當(dāng)r≤r1=1時(shí),只有一個(gè)定點(diǎn)O(0,0,0),它是穩(wěn)定的。當(dāng)r>r1時(shí),O變?yōu)椴环€(wěn)定,同時(shí)出現(xiàn)了另外2個(gè)穩(wěn)定的定點(diǎn)C1和C2,故在r=r1=1時(shí)出現(xiàn)音叉分岔。當(dāng)rrh時(shí)共軛復(fù)根的實(shí)部變?yōu)檎??？梢妑=rh是霍普夫分岔點(diǎn),這時(shí)環(huán)型圓管發(fā)生渦流現(xiàn)象,是正臨界霍普夫分岔,分岔形成的極限環(huán)是不穩(wěn)定的[10]。即當(dāng)r>rh時(shí),圍繞C1和C2可能出現(xiàn)不穩(wěn)定周期解,這種不穩(wěn)定極限環(huán)在系統(tǒng)內(nèi)的起伏作用下,將轉(zhuǎn)變?yōu)槠渌问降倪\(yùn)動(dòng),也就是混沌[11],即此時(shí)環(huán)型圓管內(nèi)的流體的運(yùn)動(dòng)方式為混沌運(yùn)動(dòng),這對(duì)應(yīng)于環(huán)型圓管內(nèi)當(dāng)?shù)撞繙囟戎饾u升高時(shí),流體由靜止到失穩(wěn),從對(duì)流到湍流的復(fù)雜流動(dòng)。

3 系統(tǒng)的分岔與混沌的數(shù)值模擬

隨著雷諾數(shù)r的增大,類洛倫茲系統(tǒng)(1)的動(dòng)力學(xué)行為發(fā)生了一系列變化,如出現(xiàn)霍普夫分岔和混沌等非線性現(xiàn)象[12]。首先,對(duì)系統(tǒng)(1)進(jìn)行數(shù)值求解,進(jìn)而畫出仿真圖以揭示系統(tǒng)的混沌行為。圖1給出了狀態(tài)變量x隨r變化的全程分岔圖,展示了系統(tǒng)分岔和混沌演變的全過程,系統(tǒng)通過陣發(fā)途徑發(fā)生混沌,在混沌中出現(xiàn)了3個(gè)周期窗口,說明此系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)比較穩(wěn)定[13]。圖2給出了系統(tǒng)隨參數(shù)r變化的最大Lyapunov指數(shù)譜。從圖中可以看出最大Lyapunov指數(shù)大于零的區(qū)域與分岔圖1顯示的混沌區(qū)域是一致的[14]。

圖1 系統(tǒng)(1)雷諾數(shù)在0≤r≤400范圍內(nèi)狀態(tài)變量x的分岔圖

圖2 系統(tǒng)(1)雷諾數(shù)在0≤r≤400范圍內(nèi)最大Lyapunov指數(shù)圖

4 結(jié) 論

本文研究了環(huán)型圓管內(nèi)的流體對(duì)流的三模態(tài)類洛倫茲型方程組的部分動(dòng)力學(xué)行為。數(shù)值模擬了由不穩(wěn)定周期到達(dá)混沌所展現(xiàn)的動(dòng)力學(xué)行為。仿真結(jié)果表明,此系統(tǒng)隨著參數(shù)增加,由不穩(wěn)定的周期軌道經(jīng)暫態(tài)混沌直接進(jìn)入混沌狀態(tài)。相對(duì)應(yīng)的物理現(xiàn)象表現(xiàn)為隨著底部溫度的逐漸升高,管內(nèi)流體發(fā)生復(fù)雜的對(duì)流現(xiàn)象。環(huán)型圓管的對(duì)流行為是由于雷諾數(shù)r的不斷增大產(chǎn)生,在此過程中系統(tǒng)發(fā)生由穩(wěn)定的不動(dòng)點(diǎn)到周期軌道,再失去穩(wěn)定性進(jìn)入混沌區(qū)域[15]。

致謝感謝沈陽師范大學(xué)博士啟動(dòng)基金項(xiàng)目的支持(054-91900302009)。