考慮弱透水層的單井注抽試驗解析模型研究

劉玉舒,戴炆君,劉 洋,王全榮

(1.中國地質(zhì)大學(武漢) 環(huán)境學院，湖北 武漢 430074；2.山東省地質(zhì)科學研究院，山東 濟南 250013)

單井注抽(Single-Well Push-Pull,SWPP)試驗是在同一口井內(nèi)進行注入和抽取示蹤劑，通過擬合獲取的井筒內(nèi)溶質(zhì)穿透曲線，從而獲取含水層物理化學參數(shù)的一種試驗方法[1-3]。由于SWPP試驗具有操作簡單、耗時短和成本低等優(yōu)點，從而被廣泛用于獲取含水層的彌散度、孔隙度、吸附解析系數(shù)等參數(shù)[4]。到目前為止，國內(nèi)外學者開展了大量的理論模型研究[5-6]。如Gelhar等[7]、Schroth等[8]和Wang等[9]推導了不同條件下SWPP試驗的解析解，被廣泛用于獲取含水層的縱向彌散度；Humphrey等[10]、Harvey等[11]和Snodgrass等[12]建立了考慮一階化學反應的SWPP試驗數(shù)學模型。

但是，上述研究均忽略了弱透水層對SWPP試驗結(jié)果的影響。實際的含水層系統(tǒng)通常是由透水性相對強的含水層和透水性相對弱的弱透水層構(gòu)成。弱透水層一般是由黏土或淤泥組成的低滲透性介質(zhì)，吸附性強，對溶質(zhì)運移過程起著至關重要的作用。Zhan等[13]和Wang等[14]建立了考慮弱透水層的溶質(zhì)運移模型，并指出弱透水層分子擴散作用對含水層中溶質(zhì)遷移產(chǎn)生的影響不可忽略。為此，本文在前人研究的基礎上，將弱透水層效應考慮到SWPP試驗中，建立了含水層-弱透水層系統(tǒng)中考慮混合效應的 SWPP 試驗數(shù)學模型，且在含水層-弱透水層系統(tǒng)中考慮了弱透水層的分子擴散作用，采用拉普拉斯變換和格林函數(shù)法獲得模型的半解析解，并通過與前人的解析解模型進行對比，以驗證本模型的可靠性。

1 含水層-弱透水層系統(tǒng)中SWPP試驗數(shù)學模型的建立

為了簡化數(shù)學模型，本文做出如下假設：①溶質(zhì)為反應性溶質(zhì)，考慮一階化學反應；②含水層-弱透水層系統(tǒng)中，假定含水層位于上、下兩個弱透水層之間，含水層是水平均質(zhì)等厚的，側(cè)向無限延伸；③注抽試驗中的井是一口完整井，井半徑為rw。建立的含水層-弱透水層系統(tǒng)中SWPP試驗的數(shù)學模型如下：

(1)

(2a)

(2b)

C(r,t)|t=0=Cu(r,z,t)|t=0=Cl(r,z,t)|t=0

(3)

(0

(4a)

(0

(4b)

(0

(5a)

Cinj(t)|t=0=0 (rw≤r≤re)

(5b)

(6a)

Cext(t)|t=tinj=Cinj(t)|t=inj(rw≤r≤re)

(6b)

C(r,t)|r→∞=Cu(r,t)|z→∞=Cl(r,t)|z→-∞=0

(7)

Cu(r,z=b,t)=C(r,t)

(8)

Cl(r,z=-b,t)=C(r,t)

(9)

2 數(shù)學模型解析解的推導

(10a)

(10b)

(10c)

(10d)

(10e)

(10f)

式中：s為拉普拉斯變量;Ctinj為注入階段結(jié)束時刻溶質(zhì)濃度。

2.1 注入階段解析解的推導

在注入階段，采用艾里函數(shù)推導解析解，弱透水層中溶質(zhì)運移控制方程(10c)和(10e)的通解如下：

(11a)

(11b)

將弱透水層中溶質(zhì)運移的通解(11a)和(11b)代入到(10a)中，可以得到含水層中溶質(zhì)運移的控制方程如下：

(12)

含水層中溶質(zhì)運移控制方程(12)的通解如下：

(13)

將含水層中溶質(zhì)運移控制方程的通解(13)代入到邊界條件(7)、(8)、(9)中，可以得到：b0=0，

故可以得到注入溶質(zhì)階段含水層-弱透水層系統(tǒng)中的拉普拉斯域的解為

(14)

(15)

(16)

2.2 抽取階段解析解的推導

在抽取階段，采用格林函數(shù)法推導解析解，上層弱透水層中溶質(zhì)運移的通解如下：

(17)

s)(A0,u,ext+B0,u,extZD);A0,u,ext=-B0,u,ext×ZD|ZD→∞;

0;C4,u,ext=[1-exp(a2,ext-a1,ext+a1,extZD-a2,extZD)]C2,u,ext.

在抽取階段，下層弱透水層中溶質(zhì)運移的通解如下：

(18)

可以得到含水層中溶質(zhì)運移的控制方程如下：

(19)

邊界條件如下：

(20)

在抽取階段，含水層中溶質(zhì)運移的解析解為

(21)

上述推導得到了含水層及弱透水層中溶質(zhì)運移在拉普拉斯域的解析解，該解包含艾里函數(shù)、格林函數(shù)等特殊函數(shù)，很難利用解析逆變換的方法進行求解。因此，本文采用數(shù)值逆變換的方法來獲得實空間下的徑向溶質(zhì)遷移的解，即利用Stehfest數(shù)值逆變換方法得到溶質(zhì)遷移在實空間的解。

3 模型的驗證

本研究的半解析解是Chen等[15]的半解析解的拓展，考慮了井筒內(nèi)的混合效應和弱透水層的影響。為了檢驗本模型的可靠性，將本模型的一個特解與Chen等[15]的半解析解進行了比較。在本模型中，將hw-inj設置為0，表示本模型將不考慮混合效應；將弱透水層中的分子擴散系數(shù)設置為0，表示忽略弱透水層的影響，因此本模型的半解析解將與Chen等的半解析解相同。本模型參數(shù)設置如下：rw=0.2 m，re=100 m，αr=0.3 m，R=1，μ=10-6m-1，θ=0.2，B=10 m，tinj=100 d，Qinj=2.5 m3/d，text=500 d，Qext=2.5 m3/d。圖1為本研究與Chen等[15]解析解的溶質(zhì)穿透曲線對比。

圖1 本研究與Chen等[15]解析解的溶質(zhì)穿透曲線 對比Fig.1 Comparison between the Breakthrough Curves (BTCs) computed by analytical solution of this study and Chen et al.[15]

由圖1可見，本研究與Chen等[15]解析解的結(jié)果很好地吻合，說明本文建立的含水層-弱透水層系統(tǒng)中SWPP試驗的數(shù)學模型是可靠的。

4 討 論

4.1 弱透水層溶質(zhì)擴散作用對含水層中溶質(zhì)運移的影響

圖2 弱透水層分子擴散系數(shù)對井筒內(nèi)溶質(zhì)穿透 曲線的影響Fig.2 Influence of molecular diffusion coefficient of aquitard on BTCs at well screen

圖2為弱透水層分子擴散系數(shù)對井筒內(nèi)溶質(zhì)穿透曲線的影響。圖中的兩條曲線分別表示整個單井注抽階段是否考慮弱透水層分子擴散作用情況下井筒內(nèi)溶質(zhì)的穿透曲線。模型參數(shù)設置為：rw=0.2 m，re=600 m，αr=2 m，θm=θu=θl=0.36，B=4 m，tinj=1×107s，text=1×107s，Qinj=2.09×10-6m3/s，Qext=2.09×10-6m3/s，Du=Dl=1.16×10-6m2/s。其中αr的取值與Zhan等[13]的研究一致。當上、下弱透水層的分子擴散系數(shù)Du=Dl=1.16×10-9m2/s時，可以視為不考慮弱透水層分子擴散作用的情況。

由圖2可見，在注入階段，當考慮弱透水層分子擴散作用的影響時，從含水層向弱透水層中發(fā)生擴散的溶液越多，因此溶質(zhì)穿透曲線越低；在抽取階段前期，因為考慮含水層溶質(zhì)向弱透水層中的分子擴散作用，含水層中存留的溶質(zhì)濃度越低，因此抽取階段早期溶質(zhì)穿透曲線越低；而在抽取階段后期，因為水流的反向抽取，也會有溶質(zhì)從弱透水層向含水層發(fā)生反向擴散，因此抽取階段后期溶質(zhì)穿透曲線越高。

4.2 滲透系數(shù)對SWPP試驗半解析解模型的影響

在含水層-弱透水層系統(tǒng)中，弱透水層對含水層中溶質(zhì)遷移的影響也是不可忽略的，為了研究本文模型的適用性，采用有限元軟件COMSOL Multiphysics建立了含水層-弱透水層系統(tǒng)中SWPP試驗數(shù)值解模型來模擬實際情況下含水層-弱透水層系統(tǒng)中的溶質(zhì)運移情況，并分析弱透水層滲透系數(shù)與含水層滲透系數(shù)的不同比值情況下SWPP試驗半解析解模型的適用性。設置弱透水層滲透系數(shù)與含水層滲透系數(shù)的比值分別為0.01、0.02和0.1，其他模型參數(shù)設置為：re=100 m，rw=0.5 m，αr=2.5 m，R=1，μ=10-7m-1，θ=0.3，B=10 m，tinj=250 d，Qinj=m3/d，text=250 d，Qext=50 m3/d。在實際情況中，弱透水層滲透系數(shù)與含水層滲透系數(shù)的比值遠小于0.1[16]，這里采用滲透系數(shù)比值為0.1的情況是為了與真實較小的滲透系數(shù)比值情況做對照。圖3為t=500 d時不同的弱透水層與含水層滲透系數(shù)比值情況下數(shù)值解與半解析解的對比。

圖3 t=500 d時不同的弱透水層與含水層滲透系數(shù) 比值情況下數(shù)值解與半解析解的對比Fig.3 Comparison between numerical and semi- analytical solutions at different conductivity ratios of the aquitard and aquifer when t=500 d

由圖3可見，當弱透水層滲透系數(shù)與含水層滲透系數(shù)的比值越接近0.01時，半解析解模型與數(shù)值解模型井筒中溶質(zhì)濃度變化的BTC曲線擬合得越好，也就是說在此比值范圍附近半解析解模型的適用性越好，誤差可以忽略，精度可滿足實際工程需求。這是因為弱透水層的滲透系數(shù)比含水層的滲透系數(shù)要小得多，所以此模型中只考慮含水層中徑向水流與弱透水層中垂向水流[17]，即數(shù)值解在滲透系數(shù)比值更小的情況下與半解析解的擬合度更好。

5 結(jié) 論

本文主要研究了單井注抽(SWPP)試驗中弱透水層對SWPP試驗中溶質(zhì)徑向彌散的影響，采用拉普拉斯變換和格林函數(shù)得到模型的半解析解，并通過與Chen等[15]的半解析解進行比較，驗證了此模型的準確性，得到如下結(jié)論：

(1) 弱透水層的分子擴散系數(shù)對溶質(zhì)運移同樣具有影響，當考慮弱透水層的擴散作用時，含水層注入階段和抽取階段早期的井筒內(nèi)溶質(zhì)穿透曲線越低，而抽取階段晚期的井筒內(nèi)溶質(zhì)穿透曲線越高。

(2) 通過與數(shù)值模擬結(jié)果進行對比，結(jié)果表明：弱透水層滲透系數(shù)與含水層滲透系數(shù)的比值越接近0.01時，半解析解模型與數(shù)值解模型井筒中溶質(zhì)濃度變化的BTC曲線擬合得越好，也就是說在此比值范圍附近半解析解模型的適用性越好，誤差可以忽略，精度符合實際工程需求。此半解析解模型在弱透水層滲透系數(shù)與含水層滲透系數(shù)差異較大時適用，在弱透水層滲透系數(shù)與含水層滲透系數(shù)的比值接近0.01時適用性最好。