列代數(shù)式巧解圖形問題

數(shù)學(xué)中，數(shù)和形是兩個最主要的研究對象，它們之間有著十分密切的聯(lián)系。在一定條件下，數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透。用字母表示數(shù)，結(jié)合圖形呈現(xiàn)的規(guī)律和特征，把數(shù)和數(shù)量之間的關(guān)系巧用代數(shù)式簡明地表示出來，這是解決圖形問題的常規(guī)方法和路徑。

例1925 年，數(shù)學(xué)家莫倫發(fā)現(xiàn)了世界上第一個完美長方形（見下圖），它恰好可以被分成10 個不同的正方形，其中標(biāo)注1，2 的正方形邊長分別為x，y。

（1）用含有x，y的代數(shù)式表示這10 個正方形邊長；

（2）當(dāng)x=5 時，求此時完美長方形的周長和面積。

【解題過程】根據(jù)正方形4 條邊長相等這一幾何性質(zhì)，逐一求各個正方形的邊長。

（1）根據(jù)題意：第3 個正方形邊長為x+y；第4個正方形的邊長為x+y+y=x+2y；第5個正方形的邊長為x+2y+y=x+3y；第6 個正方形的邊長為（x+3y）+（y-x）=4y；第7 個正方形的邊長為4y-x；第8 個正方形的邊長為（4y-x）+［（4y-x）-x-（x+y）］=7y-4x；第9 個正方形的邊長為（7y-4x）+［（4y-x）-x-（x+y）］=10y-7x；第10 個正方形的邊長為（4y-x）-x-（x+y）=3y-3x。

（2）由圖形，可知第5 個和第6 個正方形的邊長之和等于第8 個和第9 個正方形邊長的和，從而（x+3y）+4y=（10y-7x）+（7y-4x），即6x=5y，當(dāng)x=5，則y=6，該完美長方形的長為15y-5x=65，寬為（x+3y）+4y=47，所以周長為224，面積為65×47=3055。

【反思】結(jié)合圖形，從邊長最易用代數(shù)式表示的正方形開始，由易到難，逐一突破。利用數(shù)形結(jié)合思想，用代數(shù)式表示數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，實(shí)現(xiàn)思維的質(zhì)的飛躍。

教師點(diǎn)評

這篇文章中，梅同學(xué)發(fā)現(xiàn)用數(shù)形結(jié)合的思想，根據(jù)長方形的對邊相等的性質(zhì)迅速解決了相對比較復(fù)雜的問題。希望同學(xué)們學(xué)會用數(shù)學(xué)符號表示數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，學(xué)會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界。