對渦旋電場力做功及渦旋電場中電路的討論

蔣然

摘? ?要：從電磁感應(yīng)定律出發(fā)，對渦旋電場的分布進(jìn)行了計算，并以此為基礎(chǔ)重點(diǎn)討論了渦旋電場力做功的問題，說明了渦旋電場的部分區(qū)域是保守場。另外，從能量的角度對歐姆定律進(jìn)行了解釋，并以此為基礎(chǔ)討論了渦旋電場中的電流、電壓關(guān)系。

關(guān)鍵詞：渦旋電場;電磁感應(yīng);電勢;歐姆定律

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ? ?文章編號：1003-6148（2020）11-0061-3

1? ? 引? 言

渦旋電場的相關(guān)問題是中學(xué)物理教學(xué)中的難點(diǎn)。對渦旋電場本身的研究已經(jīng)十分清晰[1]，許多文章也用獨(dú)到的方法探討了渦旋電場的分布、做功、電勢等問題[2-6]，這些研究都能很好地為物理教學(xué)提供參考。渦旋電場是有旋無源場，本不能定義電勢，但中學(xué)物理教學(xué)往往又要涉及到渦旋電場力做功和渦旋電場中電路的電壓等電學(xué)量，故本文將用通俗的語言討論兩個問題：①渦旋電場力做功的特點(diǎn);②渦旋電場中電路的電流、電壓關(guān)系。

2? ? 渦旋電場的分布與做功特點(diǎn)

2.1? ? 渦旋電場的激發(fā)與分布

眾所周知，變化的磁場會激發(fā)出渦旋電場，但渦旋電場的分布不局限在有磁場的區(qū)域。雖然高中階段不要求會求解渦旋電場的分布，但如果能定性地知道渦旋電場的分布規(guī)律，對分析問題會有一定幫助。下面通過法拉第電磁感應(yīng)定律來求解，考慮圖1所示的變化磁場。

（磁場區(qū)的渦旋電場未畫出）

由法拉第電磁感應(yīng)定律可知，感應(yīng)電動勢大小為：

ε= （1）

其中，Φ為磁通量。由電動勢的定義可知，繞半徑為r的回路一周，感應(yīng)電動勢ε是渦旋電場力對單位電荷做的功。因為磁場均勻分布在一個圓形區(qū)域，且區(qū)域邊界和所選回路是同心圓，根據(jù)對稱性可知在半徑為r的回路上各點(diǎn)的渦旋電場場強(qiáng)大小EV處處相等，且沿回路切線方向。因此，有：

ε=EV·2πr（2）

結(jié)合（1）（2）式可知：

EV= （ ）（3）

可見，在磁場區(qū)域大小不變且磁場均勻變化時，磁場區(qū)域之外場點(diǎn)的渦旋電場強(qiáng)度大小與場點(diǎn)到磁場中心的距離成反比。

需要注意的是，上述結(jié)論的理論基礎(chǔ)是積分形式的麥克斯韋方程，這種方法只能求解渦旋電場分布已知的問題。對一般情況，需要從微分形式的麥克斯韋方程推導(dǎo)，但可如下直觀地說明：將圖1中的磁場區(qū)域收縮直到無窮小，（3）式仍然成立。容易知道，對圖2中一般形狀的磁場區(qū)域，可以將每個無窮小區(qū)域的磁場所激發(fā)的渦旋電場求矢量和，得到渦旋電場分布。定性地說，離磁場越遠(yuǎn)的地方，渦旋電場的場強(qiáng)越小。

2.2? ? 渦旋電場力做功的特點(diǎn)

如圖3（a）所示，變化的磁場均勻分布在圓心為O的圓形區(qū)域，在磁場區(qū)域之外有一個圓心為P的虛線圓形區(qū)域，稱為區(qū)域P，其邊界為L。根據(jù)上文的分析，可知區(qū)域P內(nèi)的渦旋電場非零，不失一般性，可設(shè)渦旋電場為逆時針方向。根據(jù)? ?V·d =-? ·d 可知：繞回路L一周，感應(yīng)電動勢為零。通俗地說，這是因為穿過回路L所圍區(qū)域的磁通量恒為零，故沿L一周感應(yīng)電動勢為零。也可以通過分析渦旋電場力做功正負(fù)從而定性解釋此結(jié)論，在此不再展開。綜上可知，在不包含磁場的區(qū)域中，任意兩點(diǎn)間渦旋電場力做功與路徑無關(guān)，如圖3（b）所示。

在這個例子中，磁場總是為零只是一個特殊條件，更一般的條件是磁場不隨時間變化，所以容易把上述結(jié)論推廣為：若某一區(qū)域內(nèi)的磁場不隨時間變化，則繞該區(qū)域內(nèi)任一閉合回路的感應(yīng)電動勢總為0，該區(qū)域的渦旋電場是保守場。因此，在上述區(qū)域中可以定義勢的概念，定義方法同靜電場，不再贅述。

3? ? 渦旋電場中的電路

3.1? ? 從能量角度理解歐姆定律

歐姆定律給出了通過電阻的電流I與電阻R及其兩端電壓U的關(guān)系。先來說明U的意義。由歐姆定律可得：

U=IR（4）

考慮圖4（a）中一段電阻為R的金屬絲。電源在回路中建立靜電場，由于趨膚效應(yīng)，回路中的靜電場總是沿著導(dǎo)線方向，正是在這個靜電場的作用下形成了電流。（4）式中的U是電阻R兩端的電勢差，確切地說，是單位電荷從G端移動到H端系統(tǒng)減少的電勢能，也是靜電場對單位電荷做的功。

再來討論IR的意義。對焦耳定律變形可得：

Q=I2Rt=IR·It=IRq（5）

其中，q是在t時間內(nèi)通過電阻R的電量，Q是產(chǎn)生的內(nèi)能。由此可見，IR的意義是單位電荷通過電阻時產(chǎn)生的內(nèi)能，即：

IR= （6）

下面從物理上進(jìn)行解釋。眾所周知，電阻來源于晶格的阻礙作用，對穩(wěn)恒電流，電荷在電阻中受到靜電場力和阻力，且勻速運(yùn)動，二力等大反向，如圖4（b）所示。由此可知，從G端到H端，靜電場力做功與阻力做功大小相等、正負(fù)相反，通過這個過程，系統(tǒng)的電勢能轉(zhuǎn)化成內(nèi)能。

通過上述討論可以看到，（4）式左端是單位電荷通過電阻時系統(tǒng)減少的電勢能，數(shù)值上也等于靜電力對單位電荷做的功;（4）式右端是單位電荷通過電阻時產(chǎn)生的內(nèi)能，在數(shù)值上也等于阻力對單位電荷做功大小。根據(jù)能量守恒可知，（4）式兩端必然相等。

下面將（4）式推廣至一般情況。因為電荷受到的阻力與電阻結(jié)構(gòu)和電流大小有關(guān)，所以對同一個電阻，在電流大小不變時，電荷受到的阻力不變。由于G到H的路徑長度也不變，所以阻力對單位電荷做功大小不變，因此電阻生熱不變。綜上可知，只要電流為I，不論產(chǎn)生電流的場有無非靜電場，在單位電荷通過電阻R時阻力做功總為IR，但做正功的力除靜電力以外還有非靜電力。因為非靜電力可能沒有對應(yīng)的勢，所以（4）式應(yīng)該寫為：

+U=IR（7）

其中，Wnc是非靜電力做的功。

3.2? ? 渦旋電場中的電壓、電流關(guān)系

如圖5，閉合回路中有均勻變化的磁場，由于趨膚效應(yīng)，渦旋電場同樣沿著導(dǎo)線。假設(shè)閉合回路中只有電阻絲有電阻R，其他部分的電阻為零，因此在形成穩(wěn)恒電流之前，導(dǎo)線中的電荷不受阻力，在渦旋電場的作用下加速運(yùn)動;進(jìn)入電阻時，電荷受到晶格的阻礙作用而減速，故將在電阻邊界附近產(chǎn)生電荷堆積，正是這部分堆積的電荷產(chǎn)生了靜電場。在電阻絲內(nèi)，當(dāng)電路中的電流穩(wěn)定后，渦旋電場與靜電場對單位電荷做功之和等于電阻對單位電荷的阻力做功大小，即：

WV+WC=IR（8）

其中，WV和WC分別表示渦旋電場力和靜電場力對單位電荷做的功。由于靜電場力對單位電荷做功大小等于電阻兩端電壓大小，因此有：

WV+U=IR（9）

圖5 靜電場力與渦旋電場力共同為電阻中的電荷運(yùn)動提供動力，靜電場力來自電阻左端的電荷堆積所激發(fā)的靜電場。FV和FC分別表示渦旋電場力和靜電場力

3.3? ? 渦旋電場中的電壓表

電壓表的工作原理是眾所周知的。然而，有渦旋電場存在時，情況將有所不同。如圖6所示，將電壓表并聯(lián)在電阻兩端，當(dāng)電路達(dá)到穩(wěn)定時，電壓表的讀數(shù)是通過電壓表的電流IV與電壓表內(nèi)阻RV的乘積IVRV。根據(jù)3.1和3.2兩小節(jié)的分析可知，IVRV在數(shù)值上等于電壓表支路中渦旋電場和靜電場對單位電荷所做的總功。而2.2小節(jié)說明了：只要某區(qū)域中的磁場總為零，則渦旋電場力做功與路徑無關(guān)。因為靜電場力做功也與路徑無關(guān)，故二力的合力做功與路徑無關(guān)。由此可知，在待測電阻R與電壓表兩個支路中，上述合力對單位電荷做功大小都是IVRV。綜上所述，電壓表的示數(shù)表示的是待測電阻回路中，渦旋電場力與靜電場力對單位電荷做功之和，即：

IVRV=WV+U（10）

因此，在渦旋電場中，電壓表的讀數(shù)IVRV并非待測電阻兩端的電壓。對（10）式變形后可得電阻兩端的電壓：

U=IVRV-WV（11）

4? ? 結(jié)? 論

通過討論，本文得到3個結(jié)論：

①渦旋電場有旋，無法定義電勢，但在磁場區(qū)域以外渦旋電場中，渦旋電場力做功與路徑無關(guān)，這部分場是保守場，可以定義電勢的概念，定義方法同靜電場。

②在電流穩(wěn)恒的條件下，電阻阻值與通過電阻的電流的乘積在數(shù)值上等于單位電荷通過電阻時產(chǎn)生的內(nèi)能大小，也是阻力做功大小。

③在靜電場中電壓表讀數(shù)等于表兩端所連之處的電勢差;有渦旋電場存在時電壓表讀數(shù)等于使單位電荷通過電壓表時靜電場力與渦旋電場力做功之和。

參考文獻(xiàn)：

[1]郭碩鴻.電動力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2008：14-15.

[2]黃紹書，王金霞.圓形區(qū)域變化磁場激發(fā)渦旋電場的問題剖析及案例分析[J].物理通報，2017（12）：107-110.

[3]郎軍，董洪瓊.用電流密度分析渦旋電場中導(dǎo)體回路的電勢與電勢差[J].物理教師，2018，39（7）：48-50.

[4]雷甫.關(guān)于渦旋電場的教學(xué)探討[J].成都大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），1998（1）：58-62.

[5]竇志國，張茂才，周進(jìn).渦旋電場中導(dǎo)體上的電勢[J].工科物理，1998（6）：20-22.

[6]桑芝芳.導(dǎo)體回路中感應(yīng)電動勢是如何分布的[J].物理通報，2010（2）：8-11.

（欄目編輯? ? 羅琬華）