試論高中數(shù)學(xué)基本不等式解題技巧

宗輝

（江西省上饒市橫峰縣橫峰中學(xué)，江西 上饒 334300）

作為高中的一門(mén)重要學(xué)科，數(shù)學(xué)既具有較強(qiáng)的規(guī)律性，又具有較強(qiáng)的邏輯性，其中的不等式部分為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重難點(diǎn)，同時(shí)也是高考數(shù)學(xué)的重要組成部分，能夠?qū)荚嚦煽?jī)產(chǎn)生重要影響。在高中生進(jìn)行日常學(xué)習(xí)的過(guò)程中，如果不能夠?qū)Σ坏仁降慕忸}技巧進(jìn)行準(zhǔn)確掌握，解題速度將會(huì)降低，且數(shù)學(xué)成績(jī)難以得到提升。所以在對(duì)高中數(shù)學(xué)不等式進(jìn)行學(xué)習(xí)的過(guò)程中，必須注重解題技巧中的規(guī)律和邏輯，以促使高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)效率能夠得到提升。

一、基本不等式

基本不等式主要應(yīng)用于對(duì)函數(shù)的最值進(jìn)行求解或是進(jìn)行證明，使用文字對(duì)其進(jìn)行表述，也就是“兩個(gè)正實(shí)數(shù)的算數(shù)平均數(shù)大于或等于它們的幾何平均數(shù)”。這一部分內(nèi)容在高中數(shù)學(xué)中占據(jù)重要的地位，并且在考試中出現(xiàn)的概率極高。

二、巧妙換元，使用換元法對(duì)習(xí)題進(jìn)行簡(jiǎn)化

在對(duì)數(shù)學(xué)題進(jìn)行解答的過(guò)程中，需要將其中的某一個(gè)算式視為一個(gè)統(tǒng)一的整體，使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，也就完成了對(duì)換元法的應(yīng)用。

觀察和分析不等式證明問(wèn)題后可以了解到，在對(duì)a,b,c之內(nèi)的任意兩個(gè)進(jìn)行互換之后，不等式并未發(fā)生變化，可見(jiàn)其屬于“對(duì)稱(chēng)不等式”。若在對(duì)該題目進(jìn)行解答的過(guò)程中有以下要求出現(xiàn)：x=b+c-a，y=c+a-b，z=a+b-c，那么原有的不等式即能夠轉(zhuǎn)換成為（x+y）·（y+z）·（z+x）≥8xyz，這一算式與已知不等式問(wèn)題具有密切的關(guān)聯(lián)性，所以在對(duì)不等式問(wèn)題進(jìn)行證明時(shí)，可以對(duì)上述思路進(jìn)行應(yīng)用。

并且，在觀察和分析上述題目的過(guò)程中，可以得到b＜0，a＜-b，所以，不僅可以應(yīng)用不等式性質(zhì)對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行解答，也可以采用特殊值法對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行解答。

上述問(wèn)題與不等式性質(zhì)之間具有密切的關(guān)聯(lián)性，一般來(lái)說(shuō)，指數(shù)、數(shù)字母型以及多項(xiàng)式等問(wèn)題，均需以題設(shè)條件為基礎(chǔ)，采用特殊值法對(duì)問(wèn)題進(jìn)行解答，使解題過(guò)程具有更加良好的便捷性。

三、科學(xué)反證，對(duì)反證法進(jìn)行深化理解

以正難則反原理為基礎(chǔ)提出反證法，該方法不僅已經(jīng)在幾何問(wèn)題中得到廣泛應(yīng)用，也能夠有效應(yīng)用于不等式問(wèn)題的證明之中。

在對(duì)不等式問(wèn)題進(jìn)行證明的過(guò)程中，主要使用的方法為常規(guī)方法，但是對(duì)該方法進(jìn)行應(yīng)用步驟較為復(fù)雜，出現(xiàn)錯(cuò)誤的概率相對(duì)較高，在一定程度上導(dǎo)致解題速度降低和練習(xí)時(shí)間延長(zhǎng)。

四、運(yùn)用線性規(guī)劃對(duì)不等式問(wèn)題進(jìn)行解決

在高中生開(kāi)展日常數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，可以發(fā)現(xiàn)，線性規(guī)劃和不等式相結(jié)合的問(wèn)題十分常見(jiàn)，在對(duì)這一類(lèi)型題目進(jìn)行解答的過(guò)程中，不僅需要對(duì)其中的最大值和最小值進(jìn)行注意，還能夠發(fā)現(xiàn)這一類(lèi)型題目與定義域和面積求解的知識(shí)點(diǎn)具有密切關(guān)聯(lián)性。所以在解答題目時(shí)，需要學(xué)生能夠?qū)€性規(guī)劃與不等式性質(zhì)進(jìn)行熟練掌握，并能夠與定義域以及面積求解的知識(shí)進(jìn)行有效的聯(lián)系，從而保障題目解答的正確性。

例：在a＞0，x、y均符合x(chóng)≥1，y≥a（x-3）x-y≤3的條件下，若z=2x+y，且最小值為1，求a值。

對(duì)這一題目進(jìn)行觀察和分析可以了解到，這一題目的重點(diǎn)在于對(duì)三直線確立的三角形以及相應(yīng)面積的計(jì)算，并且因?yàn)橐呀?jīng)率先給出了最小值，該情況與常規(guī)的最值求解具有顯著的差異性，所以必須對(duì)其中某一條直線的位置變量進(jìn)行獲取，也就是需要將接替思路轉(zhuǎn)變，采用逆向思維對(duì)該題目進(jìn)行解答。

解：在z=2x+y的情況下，其與目標(biāo)A相重疊，此時(shí)最小值為1，A坐標(biāo)為（1，-2a），由此可以得到，1=2-2a，a=12.

在對(duì)這一類(lèi)型題目進(jìn)行解答的過(guò)程中，需要對(duì)函數(shù)的最值進(jìn)行注意，并及時(shí)發(fā)現(xiàn)其中存在的不等式關(guān)系，以對(duì)可行域范圍進(jìn)行明確。在上述的題目之中，將a作為取值范圍，并對(duì)a＞0進(jìn)行注意，可以得到y(tǒng)=a（x-3）過(guò)一、三象限，由此即可以對(duì)三角形可行域進(jìn)行明確。

結(jié)束語(yǔ)

根據(jù)上文可以了解到，在對(duì)高中數(shù)學(xué)不等式進(jìn)行學(xué)習(xí)的過(guò)程中，學(xué)生只有對(duì)解題技巧進(jìn)行熟練掌握，同時(shí)保障解題思路和解題邏輯的正確，才能夠促使解題效率以及數(shù)學(xué)成績(jī)得到顯著的提升，進(jìn)而有效提升自身的數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)和數(shù)學(xué)知識(shí)實(shí)踐應(yīng)用能力。