解題的“金鑰匙”
——勾股定理

文 江蘇省無錫市河埒中學(xué)八（15）班 周焱輝

在解決問題的過程中，我發(fā)現(xiàn)勾股定理就是一把解題的“金鑰匙”。例如：

如圖1，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6cm，E為邊AB上一點(diǎn)且AE的長(zhǎng)為1cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以每秒1cm的速度沿射線BC方向運(yùn)動(dòng)。把△EBP沿EP折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，請(qǐng)問：是否存在某一時(shí)刻t，使得點(diǎn)B′到直線AD的距離為3cm？

圖1

圖2

圖3

要破解這道題，首先要作B′H⊥AD。B′H=3，值得注意的是點(diǎn)B′可能在AD的下方或上方，而點(diǎn)P又在射線BC上運(yùn)動(dòng)，所以完全可能有這樣的兩種情況。

情況一（如圖2）點(diǎn)B′在AD下方（此時(shí)點(diǎn)P在線段BC上）。由翻折可知：BP=B′P，想用勾股定理，可BP、B′P均不在“現(xiàn)成”的直角三角形中，怎么辦？沒有，就“造”唄！延長(zhǎng)HB′交BC于T，在Rt△B′PT中，可得B′T=3，但PT未知。一時(shí)似乎沒有頭緒，再仔細(xì)檢索各個(gè)已知條件，不難發(fā)現(xiàn)，過點(diǎn)E作ES⊥HB′，在Rt△ESB′中，ES2+B′S2=EB′2，所以，BT=ES=，由此，在 Rt△B′PT中求得B′P，從而求出t。

情況二（如圖3）點(diǎn)B′在AD上方（此時(shí)點(diǎn)P在線段BC的延長(zhǎng)線上），延長(zhǎng)B′H交BC于T，過點(diǎn)E作ES⊥B′T，在Rt△ESB′中，ES2+B′S2=EB′2，可求出ES=3。這時(shí)，PT可以表示為t-3，PT所在的三角形為Rt△PTB′，由已知可得B′T=B′H+6=9，根據(jù)B′T2+PT2=PB′2列方程，可得t。

感悟：只要找到了解題的“金鑰匙”——勾股定理，我們就可以很快地找到解題思路。與“金鑰匙”配套的“鎖”是直角三角形，有時(shí)當(dāng)題目圖形中沒有現(xiàn)成的直角三角形時(shí)，我們需要根據(jù)已知條件或圖形，結(jié)合問題，添加輔助線，構(gòu)造直角三角形來解題。

教師點(diǎn)評(píng)

在不具備解決問題的條件時(shí)，我們要善于“創(chuàng)造”條件。運(yùn)用勾股定理解決問題的前提是直角三角形，我們不但要有發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的直角三角形的眼力，還要有構(gòu)造直角三角形的能力。我們要學(xué)會(huì)將陌生的問題向熟悉的問題轉(zhuǎn)化。