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      頻率和收發(fā)距廣普適用的均勻?qū)訝罱橘|(zhì)電磁場(chǎng)直接積分算法

      2020-12-09 01:51:28戴世坤周印明陳輕蕊凌嘉宣
      石油地球物理勘探 2020年6期
      關(guān)鍵詞:數(shù)字濾波響應(yīng)函數(shù)積分法

      戴世坤 曾 鈴* 周印明③ 李 昆 陳輕蕊 凌嘉宣

      (①中南大學(xué)地球科學(xué)與信息物理學(xué)院,湖南長(zhǎng)沙 410083; ②中南大學(xué)有色金屬成礦預(yù)測(cè)與地質(zhì)環(huán)境監(jiān)測(cè)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,湖南長(zhǎng)沙 410083; ③東方地球物理公司綜合物化探處,河北涿州 072751)

      0 引言

      在電磁場(chǎng)地球物理方法中,均勻?qū)訝罱橘|(zhì)電磁場(chǎng)解析表達(dá)式含有漢克爾積分[1-2],其核函數(shù)為0階和1階Bessel函數(shù)。隨著其宗量的增大,Bessel函數(shù)呈現(xiàn)快速振蕩和慢衰減的特征,造成漢克爾積分難以實(shí)現(xiàn)高效、高精度的計(jì)算,特別是高頻和大收發(fā)距情況下難度更大。為了解決這個(gè)問(wèn)題,學(xué)者們提出了許多方法,主要分為兩大類(lèi): 第一類(lèi)為數(shù)字濾波方法; 第二類(lèi)為直接積分法(Direct integration method,DIM)。Ghosh[3]首先將數(shù)字濾波法引入地球物理數(shù)值計(jì)算; 針對(duì)電磁法,Johansen等[4]提出了漢克爾數(shù)字濾波系數(shù)的解析計(jì)算方法。之后,很多研究者給出了不同優(yōu)化濾波系數(shù)[5-6]。蔡盛[7]對(duì)比了5組高精度快速漢克爾長(zhǎng)濾波系數(shù)的計(jì)算精度,研究結(jié)果表明在一定的收發(fā)距和頻率范圍內(nèi),計(jì)算精度較高,但耗時(shí)太大,隨著濾波系數(shù)的增大而增長(zhǎng)??傮w來(lái)說(shuō),數(shù)字濾波法適用于中、低頻和適中的收發(fā)距情況,在高頻和大收發(fā)距的情況下計(jì)算精度很低??紤]到數(shù)字濾波法的局限性,眾多學(xué)者利用多項(xiàng)式精確擬合核函數(shù)的思想,達(dá)到求解解析解的目的,提出了直接積分類(lèi)方法。代表性方法包括高斯積分法[8]、基于快速正弦余弦算法的漢克爾變換算法[9]、直接法[10]、離散復(fù)鏡像法[11-12]、譜域法[13]、基于高階窗函數(shù)的結(jié)合非線性變換的算法[14]、外推積分方法(QWE)[15]、三次樣條插值法[16]等。其中最后一種方法采用三次樣條函數(shù)對(duì)核函數(shù)進(jìn)行插值,得到一系列核函數(shù)為多項(xiàng)式的簡(jiǎn)單Sommerfeld積分,再利用Bessel函數(shù)的遞推公式和Lommel公式的漸進(jìn)展開(kāi)求解。這些方法雖能較好地應(yīng)用于低頻和適中收發(fā)距的均勻?qū)訝罱橘|(zhì)電磁場(chǎng)的計(jì)算,但隨著頻率和收發(fā)距的增大,這些方法的計(jì)算精度逐漸降低,甚至失效。針對(duì)高頻電磁場(chǎng)的計(jì)算,鄭圣談等[17]提出了高密度采樣數(shù)字濾波法,但當(dāng)介質(zhì)導(dǎo)電率變小、介電常數(shù)變大、收發(fā)距變大、頻率增加時(shí),該方法計(jì)算精度會(huì)大幅度降低,不具普適性。

      針對(duì)電磁場(chǎng)漢克爾積分核函數(shù)復(fù)雜的特點(diǎn),本文提出一種高效、高精度直接積分方法,用于頻率和收發(fā)距廣普適用的電磁場(chǎng)高效、高精度的數(shù)值計(jì)算。其基本思想是Bessel函數(shù)可以在兩個(gè)區(qū)間分別用不同的多項(xiàng)式展開(kāi),每一區(qū)間的漢克爾積分可離散為多個(gè)單元積分之和,每個(gè)單元被積函數(shù)采用三次樣條插值函數(shù)表示,由此可求得積分的解析解,并通過(guò)求和獲得漢克爾積分的數(shù)值解。在此基礎(chǔ)上,利用均勻全空間電偶極子電磁場(chǎng)的解析解,正確選取積分范圍,并合理剖分積分單元。數(shù)值解與解析解對(duì)比表明,本文算法正確、可靠。與數(shù)字濾波類(lèi)算法的比較表明,本文算法廣泛適用于不同頻率和不同收發(fā)距電磁場(chǎng)的計(jì)算,具有較強(qiáng)的普適性。

      1 方法原理

      均勻?qū)訝罱橘|(zhì)電磁場(chǎng)的解析解可用漢克爾積分表示

      (1)

      式中:g(m)為大地響應(yīng)函數(shù),m表示積分參數(shù);r為發(fā)射源到接收點(diǎn)的水平距離,mr為宗量;Jn(·)為n階Bessel函數(shù)。

      式(1)中,Bessel函數(shù)為0階和1階,根據(jù)特殊函數(shù)手冊(cè)[18],可以分別在兩個(gè)區(qū)間用不同的多項(xiàng)式展開(kāi)。第一區(qū)間為0≤mr≤4,Bessel函數(shù)可展開(kāi)為簡(jiǎn)單的代數(shù)多項(xiàng)式,每個(gè)積分單元內(nèi)代數(shù)多項(xiàng)式與響應(yīng)函數(shù)的乘積可用三次樣條插值函數(shù)表示。第二區(qū)間為4

      在第一個(gè)區(qū)間(0≤mr≤4)有

      J0(mr)=-0.0005014415t7+0.0076771853t6-

      0.0709253492t5+0.4443584263t4-

      1.7777560599t3+3.9999973021t2-

      3.9999998721t+1.0+e0(mr)

      (2)

      式中截?cái)嗾`差e0≤1×10-8。

      在第二個(gè)區(qū)間(4

      (3)

      式中

      (4)

      其中截?cái)嗾`差e1、e2≤1×10-8。

      對(duì)第一區(qū)間0≤mr≤4,將積分范圍均勻剖分為N個(gè)單元。由式(2)可知,Bessel函數(shù)的展開(kāi)式為簡(jiǎn)單的代數(shù)多項(xiàng)式,因此設(shè)f(m)=g(m)J0(mr),這個(gè)區(qū)間的積分F1可表示為

      (5)

      式中mi(i=1,2,…,N,N+1)為離散采樣點(diǎn)。每個(gè)單元內(nèi)被積函數(shù)fi用三次樣條插值函數(shù)[18-19]表示為

      fi=di(m-mi)3+ci(m-mi)2+

      bi(m-mi)+ai

      (6)

      式中ai、bi、ci、di為單元i的三次樣條插值函數(shù)的系數(shù)。設(shè)Li=mi+1-mi為單元i的長(zhǎng)度,單元i的積分解析表達(dá)式為

      (7)

      因此,第一區(qū)間各單元積分累加的結(jié)果為

      (8)

      對(duì)于第二區(qū)間4

      (9)

      設(shè)

      (10)

      (11)

      (12)

      式中

      (13)

      因此,第二區(qū)間各單元積分累加求和結(jié)果為

      (14)

      最終漢克爾積分為

      F=F1+F2

      (15)

      2 積分參數(shù)的選取

      為了提高計(jì)算精度和效率,需合理選取積分范圍,恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行單元剖分,而這些參數(shù)的選取依賴(lài)于響應(yīng)函數(shù)的特征和變化規(guī)律[19-20]。本文以均勻全空間電偶極子源電磁場(chǎng)為例,通過(guò)研究不同響應(yīng)函數(shù)的變化規(guī)律,確定積分范圍,并選定單元剖分方案。

      在均勻全空間中,將x方向上電偶極子源產(chǎn)生的電、磁場(chǎng)用漢克爾積分表示,其解析解的漢克爾積分表達(dá)式分別為

      (16a)

      (17)

      (18)

      取電導(dǎo)率σ=0.0001S/m,相對(duì)介電常數(shù)ε=1,電偶極子源中心坐標(biāo)為(0,0,0),偶極矩為1C·m,頻率v=1×108Hz, 積分變量m在[1×10-12,1×108]區(qū)間按對(duì)數(shù)等間距均勻采樣,每一個(gè)對(duì)數(shù)單位內(nèi)采樣點(diǎn)為5000個(gè)。計(jì)算上述三種響應(yīng)函數(shù)的值,結(jié)果如圖1所示。

      圖1 三種響應(yīng)函數(shù)隨m的變化曲線

      由圖1可以看出,m從1×10-6增大到1×10-1時(shí),三種響應(yīng)函數(shù)的對(duì)數(shù)值呈線性增大; 當(dāng)m為1×10-1~1×101時(shí),三種響應(yīng)函數(shù)值隨m變化較快,尤其在1×100附近出現(xiàn)尖脈沖;m>102時(shí)三種響應(yīng)函數(shù)隨著m的增大按照對(duì)數(shù)以近似線性規(guī)律迅速衰減; 在m接近1×103時(shí),三種函數(shù)的值均衰減至低于10-20。根據(jù)上述分析結(jié)果,m的積分范圍可選取為[0,1×104],并整體上按照對(duì)數(shù)等間距規(guī)律進(jìn)行單元剖分。特別地,在m為1×10-1~1×102時(shí),因響應(yīng)函數(shù)值變化較快,單元剖分可適當(dāng)加密,尤其在m接近1×100時(shí),響應(yīng)函數(shù)變化劇烈,單元剖分需格外加密。

      根據(jù)以上原則,對(duì)均勻全空間電偶極子源產(chǎn)生電磁場(chǎng)用漢克爾積分表達(dá)式進(jìn)行數(shù)值計(jì)算,并與解析解進(jìn)行比較,以驗(yàn)證算法的正確性。下文分別計(jì)算均勻全空間中1×104、1×108Hz的電場(chǎng)響應(yīng)。

      對(duì)v=1×104Hz,計(jì)算zr=40m所在平面的電磁場(chǎng),計(jì)算范圍:x方向?yàn)?500~500m,y方向?yàn)?500~500m,m的采樣區(qū)間為0~1×104。在區(qū)間1×10-3~1×101加密積分單元,總采樣點(diǎn)數(shù)為373。圖2為電場(chǎng)分量的數(shù)值解、解析解及相對(duì)誤差平面圖。由圖可見(jiàn),數(shù)值解與解析解曲線形態(tài)基本一致,相對(duì)誤差都很小,最大為8×10-6(Ex分量),即便在源附近,其誤差也不大于1%,表明本文算法的正確性和可靠性,且精度較高。

      圖2 v=1×104Hz時(shí)電場(chǎng)分量Ex(a)、Ey(b)、Ez(c)的解析解(左)、數(shù)值解(中)及其相對(duì)誤差(右)

      對(duì)v=1×108Hz,計(jì)算zr=10m所在平面的電場(chǎng)。計(jì)算的平面范圍x方向?yàn)?15~15m,y方向?yàn)?15~15m,m的采樣區(qū)間為0~1×105,在區(qū)間1×10-2~1×100加密采樣點(diǎn),總采樣點(diǎn)數(shù)為811。圖3為該模型的電場(chǎng)分量數(shù)值解、解析解及相對(duì)誤差平面圖。從圖3可看出,數(shù)值解與解析解曲線形態(tài)基本一致,相對(duì)誤差很小,其中Ey分量的誤差最大,最大為4×10-6,即便如此,在源附近的誤差也都不大于1%,這表明算法在高頻時(shí)計(jì)算的場(chǎng)值是正確、可靠的,且精度較高。

      圖3 v=1×108Hz時(shí)電場(chǎng)分量Ex(a)、Ey(b)、Ez(c)的解析解(左)、數(shù)值解(中)及其相對(duì)誤差(右)

      上述兩個(gè)頻率的計(jì)算結(jié)果證明了本文算法正確、可靠,且能適應(yīng)高頻電磁場(chǎng)的計(jì)算。

      3 模型算例

      設(shè)計(jì)均勻全空間模型和均勻?qū)訝罱橘|(zhì)模型,分別使用本文DIM算法和常用的數(shù)字濾波類(lèi)算法模擬電磁場(chǎng),以驗(yàn)證本文算法對(duì)不同頻率、不同收發(fā)距電磁場(chǎng)模擬計(jì)算的廣普適用性。

      3.1 均勻全空間模型

      首先驗(yàn)證本文算法對(duì)于頻率的廣普適用性。

      在均勻全空間中,設(shè)發(fā)射源到接收點(diǎn)的水平距離R=100m,計(jì)算頻率范圍為1×10-2~1×1010Hz,電導(dǎo)率σ=0.0001S/m,相對(duì)介電常數(shù)ε=1,電偶極子源中心坐標(biāo)為(0,0,0),偶極矩為1C·m。分別使用本文算法與四種經(jīng)典的數(shù)字濾波算法計(jì)算該模型的數(shù)值解與解析解的相對(duì)誤差,其中四種數(shù)字濾波算法的濾波系數(shù)選取見(jiàn)表1。數(shù)字濾波方法①和②參見(jiàn)文獻(xiàn)[21],方法③和方法④分別參見(jiàn)文獻(xiàn)[22]和文獻(xiàn)[23]。這四種方法及本文提出的直接積分法計(jì)算結(jié)果如圖4所示,其中黑色直線表示相對(duì)誤差為1%。從圖4可看出,在頻率v<1×106Hz的情況下,這四種數(shù)字濾波類(lèi)算法的計(jì)算誤差均小于1%;隨著頻率的升高,四種濾波系數(shù)類(lèi)算法的誤差越來(lái)越大,而本文直接積分法的計(jì)算誤差小于1%。表明本文提出的直接積分法計(jì)算精度高,在廣泛的頻率范圍內(nèi)適用。

      表1 四種常用的數(shù)字濾波算法的濾波系數(shù)長(zhǎng)度取值

      為驗(yàn)證該方法對(duì)收發(fā)距的廣普適用性,在均勻全空間中,取頻率v=1×107Hz, 發(fā)射源到接收點(diǎn)的水平距離r范圍為1×10-3~1×103m,其他參數(shù)不變。使用本文算法與四種經(jīng)典的數(shù)字濾波算法分別計(jì)算不同收發(fā)距時(shí)的數(shù)值解與解析解的相對(duì)誤差,其中四種數(shù)字濾波算法的濾波系數(shù)選取同上(表1)。計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖5??梢钥闯?,在收發(fā)距r<2m時(shí),直接積分法和四種數(shù)字濾波類(lèi)算法的計(jì)算誤差均小于1%; 但隨著收發(fā)距的增大,四種濾波系數(shù)類(lèi)算法的誤差越來(lái)越大,而直接積分法在任意r時(shí),計(jì)算誤差均不大于1%。表明本文提出的直接積分法計(jì)算精度高,在廣泛的收發(fā)距范圍內(nèi)適用。

      圖4 均勻全空間模型不同頻率下直接積分法與四種

      圖5 均勻全空間模型不同收發(fā)距下直接積分法與四種

      3.2 層狀介質(zhì)模型電磁場(chǎng)不同算法對(duì)比

      設(shè)計(jì)一個(gè)三層層狀介質(zhì)模型,模型參數(shù)見(jiàn)圖6。電偶極子源中心坐標(biāo)為(0,0,0),偶極矩為1C·m。

      圖6 三層層狀模型斷面示意圖

      計(jì)算頻率v=1×108Hz、z=10m所在平面的電場(chǎng)分量,計(jì)算平面范圍x方向和y方向均為-15~15m。

      圖7和圖8分別為表1中第④種數(shù)字濾波法與本文直接積分法計(jì)算的Ex、Ey、Ez實(shí)部與虛部平面等值線圖。由圖可見(jiàn),數(shù)字濾波法計(jì)算的Ex、Ey、Ez等值線圓滑度較低,表明計(jì)算結(jié)果有一定誤差,而直接積分算法計(jì)算的電場(chǎng)等值線圓滑度較高,表明計(jì)算結(jié)果更準(zhǔn)確、精度更高。

      圖7 三層層狀介質(zhì)模型直接積分法(上)與數(shù)字濾波法(下)計(jì)算的電場(chǎng)分量Ex(a)、Ey(b)和Ez(c)實(shí)部平面等值線圖

      圖8 三層層狀介質(zhì)模型直接積分法(上)與數(shù)字濾波法(下)計(jì)算的電場(chǎng)分量Ex(a)、Ey(b)和Ez(c)虛部平面等值線圖

      4 結(jié)論

      本文提出一種高效、高精度的直接積分方法,適用于不同頻率和不同收發(fā)距的電磁場(chǎng)模擬計(jì)算,尤其適合高頻電磁場(chǎng)的計(jì)算,具體取得以下結(jié)論。

      (1)利用Bessel函數(shù)可以在兩個(gè)積分區(qū)間分別用不同的多項(xiàng)式展開(kāi)。將每一區(qū)間的漢克爾積分離散成多個(gè)單元積分之和,每個(gè)單元被積函數(shù)采用三次樣條插值函數(shù)表示,由此可求得積分的解析解。通過(guò)疊加,求得漢克爾積分的數(shù)值解。

      (2)響應(yīng)函數(shù)的特征和變化規(guī)律是積分參數(shù)選取的關(guān)鍵因素。為此,以均勻全空間電偶極子源電磁場(chǎng)為例,研究了三種典型的響應(yīng)函數(shù)隨積分變量的變化規(guī)律。計(jì)算結(jié)果表明,三種響應(yīng)函數(shù)隨積分變量呈對(duì)數(shù)規(guī)律變化,據(jù)此按對(duì)數(shù)規(guī)律確定積分范圍和單元剖分:在響應(yīng)函數(shù)值變化快的地方,單元剖分可適當(dāng)加密,尤其在尖脈沖附近,單元剖分需格外加密;在響應(yīng)函數(shù)值變化慢的地方,單元剖分可適當(dāng)稀疏。這樣合理剖分積分單元可提高直接積分法的計(jì)算精度和效率。均勻全空間電偶極子源電磁場(chǎng)數(shù)值解與解析解對(duì)比表明本文算法更正確、可靠。

      (3)分別設(shè)計(jì)均勻全空間模型和層狀介質(zhì)模型,對(duì)本文提出的直接積分法與數(shù)字濾波方法電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,結(jié)果表明本文積分法對(duì)頻率和收發(fā)距具有廣普適用性,尤其對(duì)高頻電磁場(chǎng),其優(yōu)勢(shì)更加突出,為高頻電磁場(chǎng)的計(jì)算提供了重要的方法基礎(chǔ)。

      附錄A 1階Bessel函數(shù)漢克爾積分的解析表達(dá)式推導(dǎo)過(guò)程

      根據(jù)特殊函數(shù)手冊(cè)[18],對(duì)J1(mr)函數(shù)分兩個(gè)區(qū)間進(jìn)行展開(kāi)。

      在第一個(gè)區(qū)間(0≤mr≤4)

      0.0236616773t5+0.1777582922t4-

      0.8888839648t3+2.6666660544t2-

      3.9999999710t+1.9999999998)+e0(mr)

      (A-1)

      其中截?cái)嗾`差e0≤1×10-8。

      在第二個(gè)區(qū)間(4

      (A-2)

      式中

      (A-3)

      0.000999941t-3+0.000266891t-2-

      0.001601836t-1+0.093749994)+e2(mr)

      (A-4)

      其中截?cái)嗾`差e1、e2≤1×10-8。

      對(duì)于第一區(qū)間(0≤mr≤4),將其剖分為N個(gè)單元,由式(A-2)可知,Bessel函數(shù)的展開(kāi)式為簡(jiǎn)單的代數(shù)多項(xiàng)式,因此設(shè)f(m)=g(m)J1(mr),這部分的積分為

      (A-5)

      設(shè)mi(i=1,2,…,N,N+1)為離散采樣點(diǎn),每個(gè)單元內(nèi)被積函數(shù)fi可采用三次樣條插值函數(shù)表示為

      fi=di(m-mi)3+ci(m-mi)2+

      bi(m-mi)+ai

      (A-6)

      (A-7)

      第一區(qū)間各單元積分累加表達(dá)式為

      (A-8)

      對(duì)第二區(qū)間(4

      (A-9)

      設(shè)

      (A-10)

      在每個(gè)單元內(nèi),F(xiàn)p、Fq變化規(guī)律簡(jiǎn)單,可采用三次樣條插值函數(shù)近似表示為

      (A-11)

      (A-12)

      式中

      (A-13)

      可求得第二區(qū)間各單元的積分為

      (A-14)

      據(jù)此,漢克爾積分為

      F=F1+F2

      (A-15)

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