王薇,張明,姚博彬,殷勤業(yè),穆鵬程
(1.西京學(xué)院信息工程學(xué)院,陜西 西安 710123;2.西安交通大學(xué)智能網(wǎng)絡(luò)與網(wǎng)絡(luò)安全教育部重點實驗室,陜西 西安 710049;3.西安微電子技術(shù)研究所,陜西 西安 710000;4.長安大學(xué)電子與控制工程學(xué)院,陜西 西安 710064)
波達方向(DOA,direction of arrival)估計作為陣列信號處理的一個重要分支,廣泛應(yīng)用于雷達、聲吶、無線通信等領(lǐng)域[1-3]。經(jīng)典的信號DOA 估計算法有多重信號分類(MUSIC,multiple signal classification)算法、求根 MUSIC(Root-MUSIC,root-multiple signal classification)算法等[4-6]。這些算法都建立在入射信號為窄帶或?qū)拵盘柕幕A(chǔ)上,未考慮入射信號自身的結(jié)構(gòu)特征[6-7]。隨著二進制相移鍵控(BPSK,binary phase shift keying)信號、調(diào)幅(AM,amplitude modulation)信號、多進制幅移鍵控(MASK,multiple amplitude shift keying)信號等非圓信號在實際通信中的應(yīng)用越來越廣泛,眾多學(xué)者將非圓信號偽協(xié)方差矩陣不為零的特點應(yīng)用于DOA 估計中[7-14],通過增加陣列接收信號矩陣的維度,擴展陣列的有效孔徑,提高DOA 估計的精度。根據(jù)非圓信號的特性,文獻[9]提出了非圓MUSIC(NC-MUSIC,non-circular MUSIC)算法。該算法具有超高分辨率的優(yōu)點,但由于引入了二維譜峰搜索,算法運算量龐大,工程實用性大打折扣。為了降低NC-MUSIC 算法的運算復(fù)雜度,文獻[9]又提出了非圓Root-MUSIC 算法,利用多項式求根代替二維譜峰搜索,在一定程度上降低了NC-MUSIC 算法的運算復(fù)雜度。文獻[10-11]采用凸優(yōu)化方法將NC-MUSIC 算法中的二維譜峰搜索轉(zhuǎn)化為一維譜峰搜索,大幅降低了譜峰搜索階段的運算量,但其一維譜峰搜索仍具有較高的運算復(fù)雜度。文獻[12-13]通過歐拉變換將復(fù)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為實數(shù)據(jù),并在構(gòu)建空域字典集的基礎(chǔ)上,通過稀疏重構(gòu)實現(xiàn)DOA 估計。該算法雖可降低DOA 估計的運算復(fù)雜度,但前提是要精確補償由傳輸時延帶來的非圓相位,且信號入射角度需精確位于字典網(wǎng)格上。當(dāng)實際環(huán)境不滿足前提要求時,算法的估計性能會嚴(yán)重下降。
為了降低非圓信號NC-MUSIC 算法的運算復(fù)雜度,本文提出一種結(jié)合子空間旋轉(zhuǎn)的非圓信號快速DOA 估計算法。所提算法結(jié)合子空間旋轉(zhuǎn)技術(shù)(SRT,subspace rotation technique)[14],通過對信號噪聲子空間的旋轉(zhuǎn)獲得降維噪聲子空間;所構(gòu)造的降維噪聲子空間與擴展后陣列流型矩陣張成的空間具有正交性,利用該正交性和變量分離可將NC-MUSIC 算法的二維譜峰搜索轉(zhuǎn)化為一維譜峰搜索。所提算法在保持DOA 估計性能的基礎(chǔ)上,可將算法運算復(fù)雜度降至NC-MUSIC 算法運算復(fù)雜度的5%以下;對于大陣元情況,所提算法的計算效率提升明顯。
非圓信號是現(xiàn)代通信系統(tǒng)中的一種常見信號,其具有偽協(xié)方差不為0 的特征,即E{S2(t)}≠0(S(t)為非圓信號)。利用這一特征可通過增加虛擬陣元的個數(shù),擴展陣列的有效孔徑。常見的BPSK 信號、AM 信號、MASK 信號等非圓信號的非圓率均為1。對于最大非圓率(即非圓率為1)信號,由于理想情況下其經(jīng)過解調(diào)后所得信號為實信號,考慮實際中傳輸信道對信號的影響,經(jīng)解調(diào)后的信號模型為S(t)=SR(t)ej?,其中,SR(t)為實信號,?為信號初相與傳輸信道附加相位之和[7-13]。假設(shè)有K個互不相關(guān)的窄帶最大非圓率信號S1(t),S2(t),…,SK(t)分別以方向θ1,θ2,…,θK同時入射至一個M元均勻線陣,陣列陣元間距為d,陣列中的天線均為全向天線,天線增益均為單位增益。均勻線陣陣列結(jié)構(gòu)如圖1 所示。
圖1 均勻線陣陣列結(jié)構(gòu)
選定最左側(cè)陣元為參考陣元,則該均勻線陣的接收信號可以表示為
其中,信源矢量S(t)=[S1(t),S2(t),…,SK(t)]T∈CK×1,;陣列流型矩陣A=[a(θ1),a(θ2),…,a(θK)]∈CM×K,導(dǎo)向矢量,λ為信號載波波長;,?k(k=1,2,…,K)為第k個窄帶非圓信號的非圓相位;加性高斯白噪聲矢量。
由于非圓信號具有E{S(t)ST(t)}≠0 和E{S*(t)SH(t)}≠0 的性質(zhì),故可將接收信號X(t)與其共軛X*(t)串聯(lián),通過重構(gòu)接收信號矩陣來增加可利用的陣元個數(shù)[10-15]。重構(gòu)后的接收信號Y(t)為
其中,B和N0(t)分別為
重構(gòu)后的接收信號的協(xié)方差矩陣為
實際應(yīng)用中通常采用接收信號X(t)的L次快拍X(n) (n=1,2,…,L)估計協(xié)方差矩陣RY,即
其中,
對式(7)所示的空間譜函數(shù)關(guān)于入射角θ和非圓相位?進行二維譜峰搜索,所得K個極大值對應(yīng)的入射角θ即為信號的DOA。NC-MUSIC 算法通過虛擬陣列的方法擴大了陣列的有效孔徑[10-11],極大地提高了DOA 估計的空間分辨率;同時,煩瑣的二維譜峰搜索帶來了極高的運算復(fù)雜度,約束了其在實際工程中的應(yīng)用。
NC-MUSIC 算法利用非圓信號偽協(xié)方差矩陣不為零的特性重構(gòu)接收信號的協(xié)方差矩陣,根據(jù)信號子空間和噪聲子空間的正交性構(gòu)造二維空間譜函數(shù)估計非圓信號的DOA。該算法以增加虛擬陣元的方法提高了DOA 估計的精度,同時也帶來了煩瑣的二維譜峰搜索[11-12]。本文所提算法——SRTRD-NC-MUSIC 算法以降低非圓信號NC-MUSIC 算法的運算復(fù)雜度為目標(biāo),結(jié)合SRT 實現(xiàn)快速估計非圓信號DOA。SRTRD-NC-MUSIC 算法分為2 個步驟:首先,對噪聲子空間矩陣按行分塊,利用SRT 構(gòu)造降維噪聲子空間;然后,根據(jù)所構(gòu)造的降維噪聲子空間與擴展后陣列流型矩陣張成空間的正交性,結(jié)合變量分離把NC-MUSIC 算法的二維譜峰搜索轉(zhuǎn)化為一維譜峰搜索。SRTRD-NC-MUSIC 算法在將二維譜峰搜索轉(zhuǎn)化為一維譜峰搜索的同時,通過構(gòu)造降維噪聲子空間有效避免了一維譜峰搜索中的冗余計算。
對2M×(2M?K)維的噪聲子空間進行分塊處理,可得
通過搜索f(θ,?)的極小值,即可獲得信號DOA 的估計。將b(θ,?)按式(13)進行變量分離,即
因此,可構(gòu)造出新的一維空間譜函數(shù)為
對式(16)構(gòu)造的空間譜函數(shù)進行譜峰搜索,所得K個極大值對應(yīng)的角度θ即為信號DOA 的估計。與NC-MUSIC 算法相比,SRTRD-NC-MUSIC 算法通過旋轉(zhuǎn)噪聲子空間降低了噪聲子空間的維數(shù),且只需進行一維譜峰搜索即可估計信號DOA。后文分析將表明,SRTRD-NC-MUSIC 算法可以在保證DOA 估計精度的前提下,降低NC-MUSIC 算法的運算復(fù)雜度,大幅提升計算效率。
將式(8)代入式(9),可得
對2×2M維矩陣按式(18)進行劃分,即
將式(19)代入式(17)和式(18),可得
進一步將式(20)代入式(16),并省略式中角度θ的標(biāo)記,可得
因此,SRTRD-NC-MUSIC 算法可化簡為
對比式(7)和式(22)可得,SRTRD-NC-MUSIC算法不僅將NC-MUSIC 算法中的二維譜峰搜索轉(zhuǎn)化為一維譜峰搜索,而且通過矩陣分塊和子空間旋轉(zhuǎn),有效降低了噪聲子空間的維數(shù),進一步去除了一維譜峰搜索中的冗余計算。
本文采用復(fù)數(shù)乘法的數(shù)量來衡量算法的運算復(fù)雜度[12-14]。NC-MUSIC 算法和 SRTRD-NCMUSIC 算法均包含對協(xié)方差矩陣的特征值分解。根據(jù)文獻[18]所提的快速子空間分解法可得,矩陣進行特征值分解的運算復(fù)雜度為O(4M2K)。對比NC-MUSIC 算法和SRTRD-NC-MUSIC 算法可知,SRTRD-NC-MUSIC 算法需額外構(gòu)造新噪聲子空間和計算。已知為2M×(2M?K)維矩陣,為(M+1)×(2M?K)維矩陣,故構(gòu)造所需的運算復(fù)雜度為O[(M?1)(M+1)(2M?K)]+O[2M(2M?K)][14]。
NC-MUSIC 算法和SRTRD-NC-MUSIC 算法均包含譜峰搜索過程。在譜峰搜索階段,NC-MUSIC算法需同時對入射角θ和非圓相位?進行二維譜峰搜索。假設(shè)在角度搜索范圍和[0,2π]非圓相位搜索范圍內(nèi)總的搜索角度數(shù)均為J,則NC-MUSIC 算法完成譜峰搜索所需的運算復(fù)雜度為O[J2(2M+1)(2M?K)]。根據(jù)SRTRD-NC-MUSIC 算法的式(22)進行譜峰搜索時,計算的運算復(fù)雜度為O[M(M+1)],計算的運算復(fù)雜度為O(M),計算的運算復(fù)雜度為O(M2+1),則SRTRD-NC-MUSIC 算法完成譜峰搜索所需的運算復(fù)雜度為O[J(2M2+2M+1)]。
綜上,NC-MUSIC 算法和SRTRD-NC-MUSIC算法總的運算復(fù)雜度分別為
實際中,通常有J?M>K,故可將式(24)近似為
圖2 對比了不同陣元數(shù)和信源數(shù)下NC-MUSIC算法、RD-NC-MUSIC 算法[11]和 SRTRD-NCMUSIC 算法的運算復(fù)雜度。圖2 中,總搜索角度數(shù)J=1 000。RD-NC-MUSIC 算法的運算復(fù)雜度為[11]??梢?,3 種算法的運算復(fù)雜度都隨著陣元數(shù)增加而增大。與NC-MUSIC 算法相比,SRTRD-NC-MUSIC 算法大幅降低了算法運算復(fù)雜度,尤其是在陣元數(shù)目較多的情況下,SRTRD-NC-MUSIC 算法的計算效率優(yōu)勢更明顯;同時,SRTRD-NC-MUSIC 算法的運算量僅為RD-NC-MUSIC 算法的運算量的25%左右。
圖2 不同算法運算復(fù)雜度與陣元數(shù)M 和信源數(shù)K 之間的關(guān)系
根據(jù)上述分析可得,SRTRD-NC-MUSIC 算法的具體實施步驟如下。
步驟1根據(jù)陣列接收信號X(t)的L次快拍X(n)(n=1,2,…,L)和式(2)重構(gòu)接收矩陣Y(n)。
步驟2按照式(5)計算重構(gòu)后接收信號協(xié)方差矩陣的估計,并根據(jù)式(6)對進行特征值分解,獲得噪聲子空間。
步驟3根據(jù)式(8)對進行分塊處理,同時根據(jù)式(9)和式(18)分別構(gòu)造新的噪聲子空間和矩陣。
步驟4根據(jù)式(22)構(gòu)造一維空間譜函數(shù)PSRTRD-NC-MUSIC(θ)。
步驟5確定步驟4 中PSRTRD-NC-MUSIC(θ)的R個極大值,這R個極大值對應(yīng)的角度即為入射信號DOA 的估計。
下面通過計算機仿真驗證SRTRD-NC-MUSIC 算法的有效性,并與NC-MUSIC 算法、RD-NC-MUSIC算法進行比較分析。實驗中接收陣列采用均勻線陣(其中,圖3~圖7 的陣元數(shù)目均固定為8),陣元間距d=0.5λ,入射信號為等功率的窄帶BPSK 信號,噪聲為加性高斯白噪聲。各實驗結(jié)果均采用3 000次蒙特卡羅實驗的統(tǒng)計平均。定義均方根誤差(RMSE,root mean square error)為
其中,θi和分別為信號入射角的真實值和估計值,Nm為蒙特卡羅仿真的次數(shù)。對于來波方向相近的2 個信號,如果滿足
即認(rèn)為成功分辨2 個入射信號。其中,θ1和θ2分別為2 個信號的來波方向,P(·)為空間譜函數(shù)。
圖3給出了SRTRD-NC-MUSIC算法和NC-MUSIC算法的DOA 估計效果。選定信號入射角分別為?40°、?20°和10°,信噪比(SNR,signal-to-noise ratio)為 5 dB,快拍數(shù)為 1 000。由圖 3 可看出,SRTRD-NC-MUSIC 算法可以準(zhǔn)確有效地估計出入射信號的 DOA。與 NC-MUSIC 算法相比,SRTRD-NC-MUSIC 算法估計的空間譜峰更尖銳,兩者估計精度基本一致;同時,SRTRD-NC-MUSIC算法的運算復(fù)雜度快速減小,計算效率顯著提升。
選定信號入射角分別為?20°和15°,圖4 和圖5分別給出了SRTRD-NC-MUSIC 算法、NC-MUSIC算法和RD-NC-MUSIC 算法的估計誤差隨信噪比和快拍數(shù)的變化對比。圖4 固定快拍數(shù)為500,圖5固定信噪比為10 dB。從圖4 可以看出,3 種算法的估計誤差均隨信源信噪比的增加而減??;同時,由于SRTRD-NC-MUSIC 算法將NC-MUSIC 算法中的二維譜峰搜索轉(zhuǎn)化為一維譜峰搜索,故其估計性能較NC-MUSIC 算法略差,但整體較接近NC-MUSIC算法的估計性能,且優(yōu)于RD-NC-MUSIC 算法的估計性能。由圖5 可得,隨著快拍數(shù)的增加,重構(gòu)后的接收信號的協(xié)方差矩陣可更加精確地估計,故3 種算法的估計誤差都有所減?。磺襍RTRD-NC-MUSIC 算法的估計性能更接近NC-MUSIC 算法的估計性能。由此可見,SRTRD-NC-MUSIC 算法計算效率的提高并未以過大地犧牲估計精度的方式換取。
圖3 SNR=5 dB 時SRTRD-NC-MUSIC 算法和NC-MUSIC 算法的DOA估計效果
圖4 不同算法的估計誤差與信噪比的關(guān)系
圖5 不同算法的估計誤差與快拍數(shù)的關(guān)系
圖6 和圖7 的信號入射角均分別固定為18°和20°,快拍數(shù)為500。圖6 對比了不同信噪比下SRTRD-NC-MUSIC 算法、NC-MUSIC 算法和RD-NC-MUSIC 算法成功分辨出2 個靠近目標(biāo)的概率。由圖6 可見,在低信噪比(SNR<0)情況下,SRTRD-NC-MUSIC 算法的分辨成功率明顯高于NC-MUSIC 算法和RD-NC-MUSIC 算法,這是因為SRTRD-NC-MUSIC 算法通過構(gòu)造降維噪聲子空間改善了信號子空間與噪聲子空間的正交性,且降維噪聲子空間的維度下降,使其空間譜變得更尖銳。故相比于其他2 種算法,SRTRD-NC-MUSIC 算法分辨2個靠近目標(biāo)的能力更強。圖7給出了SNR=5 dB時SRTRD-NC-MUSIC 算法與NC-MUSIC 算法的10 次疊加空間譜。由圖7 可得,SRTRD-NC-MUSIC算法估計的空間譜峰比NC-MUSIC 算法更尖銳,分辨相近來波方向上信號的能力更強,驗證了圖6 的實驗結(jié)果。
圖6 不同算法的分辨成功概率與信噪比的關(guān)系
圖7 SRTRD-NC-MUSIC 算法與NC-MUSIC 算法的疊加空間譜
圖8 對比了不同陣元數(shù)目下采用SRTRD-NCMUSIC 算法、NC-MUSIC 算法和RD-NC-MUSIC算法完成DOA 估計的計算機時間開銷。圖8(a)為SRTRD-NC-MUSIC 算法與NC-MUSIC 算法的仿真時間對比,圖8(b)為SRTRD-NC-MUSIC 算法與RD-NC-MUSIC 算法的仿真時間對比。選取信號入射角分別為?10°和30°,角度搜索間隔為0.05°,SNR=10 dB,快拍數(shù)為500。以Intel(R) Core(TM)i5-5300U 處理器,2.3 GHz CPU,4 GB 內(nèi)存的PC平臺運行3 種算法的MATLAB 程序。由圖8 可看出,SRTRD-NC-MUSIC 算法的計算機時間開銷顯著小于其他2 種算法。同時,3 種算法的時間開銷均隨陣元數(shù)增加而增大;SRTRD-NC-MUSIC 算法的計算效率優(yōu)勢隨陣元數(shù)增加更明顯。這與上文運算復(fù)雜度分析部分的現(xiàn)象一致。圖8(a)中,由于SRTRD-NC-MUSIC 算法將NC-MUSIC 算法的二維譜峰搜索轉(zhuǎn)化為一維譜峰搜索,且利用噪聲子空間的秩虧特性,通過構(gòu)造降維噪聲子空間避免了一維譜峰搜索中的冗余計算,故SRTRD-NC-MUSIC 算法可將算法復(fù)雜度降低至NC-MUSIC 算法運算復(fù)雜度的5%以下。圖8(b)中,與RD-NC-MUSIC 算法相比,SRTRD-NC-MUSIC 算法構(gòu)造的降維噪聲子空間維度下降,去除了一維譜峰搜索中的冗余計算,故SRTRD-NC-MUSIC 算法可將算法復(fù)雜度降低至RD-NC-MUSIC 算法運算復(fù)雜度的25%以下,大幅提高算法的計算效率。
圖8 不同算法的計算機時間開銷與陣元數(shù)的關(guān)系
本文以降低非圓信號NC-MUSIC 算法的運算復(fù)雜度為目標(biāo),提出了一種結(jié)合子空間旋轉(zhuǎn)的非圓信號快速DOA 估計算法。SRTRD-NC-MUSIC 算法對噪聲子空間按行分塊,并通過子空間旋轉(zhuǎn)的方法構(gòu)造降維噪聲子空間;在將二維譜峰搜索轉(zhuǎn)化為一維譜峰搜索的同時,利用降維噪聲子空間有效避免了一維譜峰搜索中的冗余計算。通過實驗仿真和運算復(fù)雜度分析可以看出,SRTRD-NC-MUSIC 算法能夠在保持 DOA 估計性能的前提下大幅降低NC-MUSIC 算法的運算復(fù)雜度,顯著提高算法的計算效率;特別是在陣元孔徑較大的場景下,SRTRDNC-MUSIC 算法計算效率提升更明顯。