廣東省中山市桂山中學(xué)(528463) 余鐵青

一、問(wèn)題提出

最近筆者在學(xué)習(xí)《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)》雜志2019年第6 期的文獻(xiàn)時(shí),發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)湖北省黃石市第一中學(xué)楊瑞強(qiáng)老師的文章《端點(diǎn)效應(yīng)破解恒等式問(wèn)題》一文中存在敘述錯(cuò)誤(具體錯(cuò)誤請(qǐng)大家參考文獻(xiàn)[1]).基于學(xué)習(xí)的初衷,筆者就此類問(wèn)題進(jìn)行了進(jìn)一步的思考,給出了修正的結(jié)果,并進(jìn)行了嚴(yán)格的證明.

近年來(lái)高考以及全國(guó)各地的模擬題中都出現(xiàn)了大量含參數(shù)恒成立問(wèn)題,我們經(jīng)常采用變量分離,等價(jià)轉(zhuǎn)換等方法來(lái)進(jìn)行解題.在使用這些做法解題中我們時(shí)常會(huì)遇到分類討論情況多,我們可以說(shuō)是不勝其煩,很難擺脫計(jì)算量大的困局,甚至最后不了了之,造成得分率較低的實(shí)際情況.筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)際發(fā)現(xiàn),在很多時(shí)候我們使用端點(diǎn)效應(yīng)來(lái)解題效率會(huì)高得多,能夠有效避免不必要的分層討論,達(dá)到耗時(shí)少,得分多的效果.以下我們約定,文中所提及的有關(guān)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及極限都存在.

二、端點(diǎn)效應(yīng)的概念及修正證明

(一)端點(diǎn)效應(yīng)的概念與適用范圍

第一類: 若函數(shù)f(x,m)≥0(其中m為參數(shù))在區(qū)間[a,b](a,b均為常數(shù))上恒成立,且f(a)=0 或f(b)=0 則f′(a)≥0 或f′(b)≥0.此法應(yīng)用于區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值為零的情況.[1]

結(jié)論處應(yīng)修正為:f′(a)≥0 或f′(b)≤0.

第二類: 若函數(shù)f(x,m)≥ 0(其中m為參數(shù))在區(qū)間[a,b](a,b均為常數(shù))上恒成立,且或則f′′(x)≥0 或f′′(x)≥0[1].此法應(yīng)用于區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值為零和端點(diǎn)一階導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的情況.

此處結(jié)論應(yīng)修正為:f′′(a)≥0 或f′′(b)≥0.

另外兩種情況將一二類里面f(x,m)≥ 0 改為f(x,m)≤0 時(shí)的情形可以類比上述,進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換,在此不再贅述.

(二)端點(diǎn)效應(yīng)的理論證明

第一類情形的證明: 因?yàn)樵趨^(qū)間[a,b](a,b均為常數(shù))上f(x,m)≥0(其中m為參數(shù))上恒成立,所以當(dāng)x →a+時(shí)f(x)≥0;x →b?時(shí)f(x)≥0.結(jié)合f(a)=0 和導(dǎo)數(shù)的幾何意義知:

(具體理解可以參考文獻(xiàn)[2],函數(shù)的右連續(xù)); 同理可證≤0(函數(shù)的左連續(xù)).

第二類情形的證明: 若函數(shù)f(x,m)≥0(其中m為參數(shù))在區(qū)間[a,b](a,b均為常數(shù))上恒成立去,為省去繁瑣只證當(dāng)則f′′(b)≥0.仿照上述證明因?yàn)?/p>

特別說(shuō)明(1)上述證明的本質(zhì)內(nèi)涵實(shí)質(zhì)是函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的左右導(dǎo)數(shù)(或二階導(dǎo)數(shù))問(wèn)題,具體可以查閱參考文獻(xiàn)[2],其次所給區(qū)間可以取開(kāi)區(qū)間,利用極限即可處理.

(2)目前利用端點(diǎn)效應(yīng)還只是解決了參數(shù)范圍的必要性,還要證明充分性.直觀的理解為: 第一步利用端點(diǎn)效應(yīng)求出參數(shù)的具體范圍;第二步將參數(shù)取值范圍代入驗(yàn)證其正確性.

三、例說(shuō)端點(diǎn)效應(yīng)解題的優(yōu)越性(第一類)

例1設(shè)a∈?,已知函數(shù)f(x)=xlnx+ax2?(1+a)x+1,x∈(1,+∞).若f(x)＞0 恒成立,求a的范圍.

浙江省紹興市柯橋區(qū)越崎中學(xué)的俞新龍老師在《恒成立問(wèn)題中一類難點(diǎn)突破》[3]一文中給出了求解含參恒成立的幾種常用方法.基于此認(rèn)知,我們不妨對(duì)此題運(yùn)用三種不同的方法來(lái)解,看看哪種策略更有優(yōu)勢(shì).

解 方法1(等價(jià)轉(zhuǎn)化法)令g(x)==lnx+ax+?(1+a),則原問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化成g(x)＞0 在x∈(1,+∞)恒成立.易知,

①當(dāng)a≥0 時(shí),g′(x)＞0 在x∈(1,+∞)恒成立,即g(x)在x∈(1,+∞)單調(diào)遞增,而且g(x)＞g(1)=0 符合題意.

②當(dāng)a≤時(shí),g′(x)≤0 在x∈(1,+∞)恒成立,即g(x)在x∈(1,+∞)單調(diào)遞減,而且g(x)＜g(1)=0 不符合題意.

綜上,參數(shù)a≥0.

方法二(參數(shù)分離法)由已知不等式f(x)＞0 整理得對(duì)x ＞1 恒成立.設(shè)1),那么再 設(shè)h(x)=?2(x ＞1),則h′(x)=(x ＞1),當(dāng)x∈(1,2)時(shí),h′(x)＜0,h(x)單調(diào)遞減; 當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí),h′(x)＞0,h(x)單調(diào)遞增,又h(1)=0,=+∞,即存在唯一x0＞2 使得h(x0)=0.因此g(x)在區(qū)間(1,x0)遞減,在(x0,+∞)上遞增,又因?yàn)槟敲磄(x0)≤g(x)＜0.故a≥0.

方法三(端點(diǎn)效應(yīng)法)由方法一和方法二知:f(1)=0.由于f′(1)=a以及f′(1)≥0,所以a≥0.所以a≥0 是原不等式成立的一個(gè)必要條件,下證充分性.

當(dāng)a≥0 時(shí),f′(x)=lnx+2ax ?a,進(jìn)一步f′′(x)=+2a,顯然f′′(x)＞0,那么f′(x)在(1,+∞)單調(diào)遞增,且f′(1)=a ＞0,所以f′(x)＞f′(1)＞0 在x∈(1,+∞)上恒成立,所以f(x)＞f(1),又結(jié)合f(1)=0,可知待證不等式成立.

評(píng)注分析對(duì)比三種不同解題方法可以發(fā)現(xiàn)以下幾個(gè)問(wèn)題: 第一,函數(shù)可以通過(guò)等價(jià)變化的形式來(lái)證明,此種方法有一定的思維難度,學(xué)生不一定能夠想到;第二,此題第二種分離變量的策略是學(xué)生較為常用的方法,但在實(shí)際做題過(guò)程中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn),分離參數(shù)后得到的新函數(shù)的導(dǎo)數(shù)表達(dá)式較為繁雜;第三種方法巧妙避開(kāi)了討論,使得整個(gè)體做起來(lái)更加順暢高效,那么在教學(xué)中應(yīng)更傾向于第三類解法.

四、端點(diǎn)效應(yīng)再應(yīng)用(第二類)

例2(2018 浙江鎮(zhèn)海中學(xué)高三期中考試第21 題改編)函數(shù)f(x)=ex?1?x,當(dāng)x ＞1 時(shí),f(x)＞m(x ?1)lnx恒成立,求實(shí)數(shù)m的范圍.

解令g(x)=ex?1?x ?m(x ?1)lnx,只需證明g(x)＞0.顯然g(1)=0,g′(x)=ex?1?1?mlnx ?(x ?1),此 時(shí)g′(1)=0,于是考慮求二階導(dǎo)數(shù)得:g′′(x)=令g′′(1)≥0 得到

下證充分性.當(dāng)m≤時(shí),對(duì)g′′(x)求導(dǎo),得到g′′′(x)=ex?1+下面分類討論.①當(dāng)0＜m≤時(shí)g′′′(x)=ex?1+＞0,因此g′′(x)=ex?1?在(1,+∞)上單調(diào)遞增,于是g′′(x)=ex?1?＞g′′(1)=1?2m≥0,同理分析可得g′(x)=ex?1?1?mlnx ?(x ?1)＞g′(1)=0,那么g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以g(x)＞g(1)=0,于是0＜m≤符合題意;

②當(dāng)m≤0 時(shí),f(x)=ex?1?x顯然在(1,+∞)上大于零,而m(x ?1)lnx在(1,+∞)上小于等于零,所以此時(shí)g(x)＞0 依然成立.

綜上,m≤證畢!

結(jié)語(yǔ)運(yùn)用端點(diǎn)效應(yīng)實(shí)質(zhì)上是先給出必要性范圍,再證充分性.很多時(shí)候能夠大大減少分類討論,有效提高解題效率,降低思維難度.教學(xué)中多思多想多總結(jié)是關(guān)鍵,力求做到精準(zhǔn)解題,達(dá)到簡(jiǎn)潔高效的效果.