R軟件在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)中的應(yīng)用

（河南工學(xué)院 理學(xué)部，河南 新鄉(xiāng) 453003）

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門學(xué)科[1]，是高等院校計(jì)算機(jī)專業(yè)的重要基礎(chǔ)課程之一。該課程在培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題能力、實(shí)踐動(dòng)手能力等方面可發(fā)揮非常重要的作用[2]。隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代的到來和人工智能的發(fā)展，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的相關(guān)理論、基本方法已經(jīng)成為計(jì)算機(jī)專業(yè)人才不可缺少的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)之一。

為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，針對(duì)該課程理論性強(qiáng)、概念抽象難理解的特點(diǎn)，把軟件引入實(shí)驗(yàn)課就顯得尤為重要。關(guān)于實(shí)驗(yàn)課的教學(xué)，許多專家學(xué)者都進(jìn)行了相關(guān)研究[3]。2003年，李昌興、史克崗[4]總結(jié)了西安郵電學(xué)院多年的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，探索了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程的教學(xué)改革。2004年，朱旭[5]探討了如何通過開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)來加強(qiáng)學(xué)生科學(xué)素質(zhì)培養(yǎng)。2011年，趙禮峰[6]研究了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程對(duì)大學(xué)生素質(zhì)培養(yǎng)的重要作用，張序萍等人[7]對(duì)煤炭院校大學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)體系進(jìn)行了研究。2017年，崔玉杰等人[8]探討了R和Python軟件在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)中的應(yīng)用。2019年，侯臣平[9]研究了Matlab在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)中的應(yīng)用。而當(dāng)下，如何根據(jù)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的課程特點(diǎn)，在課堂教學(xué)中合理利用R軟件進(jìn)行實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，讓學(xué)生學(xué)好概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，并靈活運(yùn)用其解決實(shí)際問題，是擺在高校數(shù)學(xué)教師面前的一個(gè)重要研究課題。

1 R軟件簡(jiǎn)介

R是一個(gè)開放的統(tǒng)計(jì)編程語(yǔ)言，它源于S語(yǔ)言，是由新西蘭頂尖學(xué)府奧克蘭大學(xué)的Robert Gentleman和 Ross Ihaka及其他志愿人員一起開發(fā)的，因其具有開源性和兼容性而迅速流行起來。通過R軟件的官方網(wǎng)站可以獲取最新版本的R軟件及應(yīng)用軟件包，且大多數(shù)都是免費(fèi)的。

R軟件提供若干統(tǒng)計(jì)程序包、一些集成的統(tǒng)計(jì)工具和各種內(nèi)嵌的統(tǒng)計(jì)函數(shù)，也可以根據(jù)需要編制函數(shù)，用戶只需要根據(jù)統(tǒng)計(jì)模型指定相應(yīng)的數(shù)據(jù)庫(kù)及相關(guān)的參數(shù)，便可靈活地進(jìn)行數(shù)據(jù)分析、數(shù)據(jù)存儲(chǔ)、計(jì)算結(jié)果分享等工作，甚至還可以創(chuàng)造出新的滿足實(shí)際需要的統(tǒng)計(jì)計(jì)算方法。

R是一套完整的數(shù)據(jù)處理、計(jì)算和制圖軟件系統(tǒng)，其功能包括數(shù)據(jù)存儲(chǔ)和處理、數(shù)組運(yùn)算、統(tǒng)計(jì)分析、統(tǒng)計(jì)制圖，可操縱數(shù)據(jù)的輸入和輸出，可實(shí)現(xiàn)分支、循環(huán)、用戶自定義等。R軟件的界面與其他編程軟件的界面相類似，由菜單和快捷按鈕組成?？旖莅粹o下方的窗口便是命令輸入窗口，有時(shí)也是輸出窗口。

2 R軟件在教學(xué)中的應(yīng)用案例

在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的課堂教學(xué)中，教師既要教一些理論，還要設(shè)計(jì)合理的實(shí)驗(yàn)，以激發(fā)學(xué)生的求知欲，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，創(chuàng)造輕松愉悅的課堂氛圍，引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，提高學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐能力和分析問題、解決問題的能力。

2.1 蒲豐投針實(shí)驗(yàn)的分析

在講授伯努利大數(shù)定理時(shí)，為了更直觀地揭揭示其描述的隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，在教學(xué)過程中可以R軟件為工具，用計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬方法——蒙特卡洛方法，引入蒲豐投針實(shí)驗(yàn)，將定理的結(jié)果應(yīng)用到實(shí)際問題中，讓學(xué)生體會(huì)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的實(shí)際意義和價(jià)值。

1777年，法國(guó)數(shù)學(xué)家蒲豐提出了著名的蒲豐投針實(shí)驗(yàn)，即設(shè)平面上一簇平行線的間距為a，向平面上投擲一長(zhǎng)度為l(l

利用已學(xué)過的幾何概率求得針與平行線相交的概率，具體步驟如下：

設(shè)針的中心到該簇平行線的最小距離為x，針與此平行線的夾角(如圖1所示)記為θ，則針?biāo)涞奈恢猛耆Q于(θ，x)，針落下的所有可能的位置在平面的圖形可用一個(gè)矩形OABC來表示，如圖2所示。

圖1 θ 和x表示的含義

圖2 針的所有可能位置的平面圖形

設(shè)隨機(jī)投針n次，針與線有k次相交，則針與線相交的頻率為。最后由伯努利大數(shù)定理知：當(dāng)n足夠大時(shí)，有從而可得圓周率π的近似值，即

2.2 基于R軟件的蒲豐投針實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)

用R語(yǔ)言來實(shí)現(xiàn)蒲豐投投針實(shí)驗(yàn)：

(1)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)：產(chǎn)生n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列(θi,xi)(i=1，2，…，n)。其中θi服從區(qū)間(0，π)上的均勻分布，xi服從區(qū)間上的均勻分布。

(2)實(shí)驗(yàn)?zāi)M：驗(yàn)證各((θi，xi)是否滿足不等式。若不等式成立，則表示針與線相交。設(shè)隨機(jī)投針n次，針與線有k次相交，則圓周率的近似值為

R語(yǔ)言程序設(shè)計(jì)如下：

將該R程序保存為1.R，再調(diào)用該程序進(jìn)行模擬，這里取n=10,000，l=0.7，a=1。

運(yùn)行程序zzc1.R:

source("1.RR")

zzc(10000，l=0.7，a=1)。

程序運(yùn)行結(jié)果如圖3所示。

圖3 程序zzc11.R運(yùn)行結(jié)果

若取n=100,000，l=0.7，a=1。

運(yùn)行程序zzc2.R:

source("1.R")

zzc(100000，l=0.7，a=1)。

程序運(yùn)行結(jié)果如圖4所示。

圖4 程序zzc2.R運(yùn)行結(jié)果

從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出：兩次的結(jié)果都很接近π的真實(shí)值，并且一般情況下，隨著投針次數(shù)n的增加，π的近似值與真實(shí)值的誤差會(huì)越來越小。

2.3 R軟件在教學(xué)中的實(shí)踐意義

通過前面的教學(xué)案例可知，將R軟件引入課堂，一方面可以將抽象的教學(xué)內(nèi)容變得更加直觀，更易于學(xué)生理解和掌握；另一方面可以讓學(xué)生體會(huì)到看似枯燥的數(shù)學(xué)知識(shí)，既來源于實(shí)踐，又可應(yīng)用于實(shí)踐。要引導(dǎo)學(xué)生努力搭建好理論和實(shí)踐的橋梁，這樣才能夠?qū)W以致用，用以促學(xué)，學(xué)用相長(zhǎng)。同時(shí)，學(xué)生還可以將涉及的一些基本概念和理論如幾何概型、概率與頻率的關(guān)系和大數(shù)定律聯(lián)系在一起，從而促進(jìn)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)更深層次的理解，為將來解決實(shí)際問題打下扎實(shí)的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)。

3 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程具有理論性強(qiáng)、概念抽象難學(xué)難理解的特點(diǎn)，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的教學(xué)中嘗試?yán)肦軟件進(jìn)行實(shí)驗(yàn)教學(xué)，取得了較好的教學(xué)效果。教學(xué)中，學(xué)生先自己動(dòng)手解決實(shí)際問題，教師再在課堂上進(jìn)行講解，這樣即發(fā)揮了教師的主導(dǎo)作用，又能讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)，對(duì)學(xué)生掌握概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)，提高實(shí)踐動(dòng)手能力，培養(yǎng)創(chuàng)新精神不無裨益。