王亮 王書榮

摘? 要 研究通過微課將數(shù)學(xué)史教學(xué)資源滲透進(jìn)課堂教學(xué)，通過數(shù)學(xué)史教學(xué)激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，拓展其數(shù)學(xué)思維。

關(guān)鍵詞 HPM;微課;初中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)史;核心素養(yǎng)

中圖分類號：G633.6? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B

文章編號：1671-489X（2020）05-0115-03

1 前言

新課程標(biāo)準(zhǔn)下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)，提出了核心素養(yǎng)模式下的教學(xué)理念，其中就包括數(shù)學(xué)史知識的學(xué)習(xí)。在日常教學(xué)中，由于教學(xué)任務(wù)繁重和應(yīng)試教學(xué)目標(biāo)的影響，數(shù)學(xué)史資源沒有很好地在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中展開。教材中對數(shù)學(xué)史知識的陳述，大都是通過拓展閱讀材料來呈現(xiàn)，不僅學(xué)生很容易忽視，就連教師也只要求學(xué)生課后自己閱讀。大段的文字?jǐn)⑹?，對于理解能力較弱的初中生來說具有一定困難。探索數(shù)學(xué)史呈現(xiàn)的方式，成為新課改背景下初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一大任務(wù)。

HPM是History and Pedagogy of Mathematics的縮寫，意思是數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)教學(xué)的融合。HPM微課是將數(shù)學(xué)史和微課融合，以數(shù)學(xué)史為主線，結(jié)合數(shù)學(xué)知識制作微課，通過簡短的微課為學(xué)生呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的發(fā)現(xiàn)過程，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的興趣。在新知識的學(xué)習(xí)過程中，以數(shù)學(xué)史作為輔助學(xué)生學(xué)習(xí)的載體，能夠培養(yǎng)學(xué)生的探究能力[1]。

2 HPM微課在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用的意義

化枯燥為形象? 初中數(shù)學(xué)教材所呈現(xiàn)的文本式數(shù)學(xué)史知識，讓學(xué)生感到枯燥無味，而教師由于教學(xué)時間緊張，很少會有意識地為學(xué)生講解數(shù)學(xué)史知識。數(shù)學(xué)史是一部數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史。如果通過微課視頻將數(shù)學(xué)史呈現(xiàn)給學(xué)生，教師在課堂上通過播放數(shù)學(xué)史來向?qū)W生講解數(shù)學(xué)知識，生動和趣味的數(shù)學(xué)史故事很快就能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。同時，科學(xué)家的探索歷程也能夠調(diào)動學(xué)生的思維，讓學(xué)生按照科學(xué)家的思路去學(xué)習(xí)新知識。比如關(guān)于笛卡爾發(fā)明直角坐標(biāo)系的數(shù)學(xué)史：

笛卡爾一天臥病在床，思考怎樣將直觀的幾何知識和抽象的代數(shù)概念相融合。直到他發(fā)現(xiàn)一只蜘蛛在墻角，上下左右跳動著織網(wǎng)，于是產(chǎn)生靈感：是否可以以墻面為參照物來表示蜘蛛的位置？隨后他結(jié)合兩條垂直的墻線發(fā)明了直角坐標(biāo)系，通過幾何坐標(biāo)將平面上任意位置表示出來。

學(xué)生發(fā)現(xiàn)原來蜘蛛網(wǎng)也是數(shù)學(xué)知識發(fā)現(xiàn)的源泉，生動形象的數(shù)學(xué)史瞬間激發(fā)了學(xué)習(xí)興趣。

從課堂點(diǎn)綴到主動學(xué)習(xí)? 傳統(tǒng)課堂上數(shù)學(xué)史只是作為課堂點(diǎn)綴的內(nèi)容，教師通過圖片或者口頭向?qū)W生介紹數(shù)學(xué)家的簡介和精神品質(zhì)。但是在學(xué)生眼中，數(shù)學(xué)史就是課外知識，很少會有學(xué)生認(rèn)真對待。HPM微課將知識教學(xué)和數(shù)學(xué)史相結(jié)合，在課前導(dǎo)入、課中教學(xué)、課后拓展中融合知識與數(shù)學(xué)史，同時可以以數(shù)學(xué)史作為新知識呈現(xiàn)的載體。

如在講授“一元一次方程”時，教師可以將《九章算術(shù)》中的“盈不足術(shù)”內(nèi)容展示給學(xué)生。其中有一個關(guān)于一元一次方程的題目情境：今日有人買羊，人出五，不足四十五;人出七，不足三。要求學(xué)生求出人的數(shù)量和羊的價格分別為多少？本題和教學(xué)內(nèi)容緊密相連，在新課授課的過程中，教師可以將數(shù)學(xué)史作為新知識分析的過程，引導(dǎo)學(xué)生通過分析歷史資料，對其中的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行深入研究，在教師的指點(diǎn)下理解知識。因此，數(shù)學(xué)史成為新知識的載體，是新課教學(xué)的重要部分，不再是課堂點(diǎn)綴內(nèi)容，引起學(xué)生對數(shù)學(xué)史的重視。

在課后拓展中向?qū)W生呈現(xiàn)數(shù)學(xué)史知識，將數(shù)學(xué)史作為課后學(xué)習(xí)任務(wù)，要求學(xué)生在小組學(xué)習(xí)過程中通過數(shù)學(xué)史自主鞏固復(fù)習(xí)，更進(jìn)一步地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)史價值，讓數(shù)學(xué)史成為引導(dǎo)學(xué)生課后學(xué)習(xí)的途徑。

3 HPM微課在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的實踐研究

課堂導(dǎo)入中的實踐研究? 對于剛進(jìn)初中的學(xué)生來說，很多數(shù)學(xué)名詞是非常陌生的，比如無理數(shù)、函數(shù)、坐標(biāo)、元等。對于這些新穎的數(shù)學(xué)名詞，學(xué)生常常會出現(xiàn)理解錯誤，甚至在課堂上答非所問，不理解其中內(nèi)涵。如在講解“無理數(shù)”時，班上有學(xué)生學(xué)習(xí)完無理數(shù)概念后，還不能區(qū)分無理數(shù)和有理數(shù);有的學(xué)生甚至還認(rèn)為無理數(shù)是有理數(shù)中的小數(shù)。對于這種現(xiàn)象，教師在課堂導(dǎo)入過程中通過HPM微課引導(dǎo)學(xué)生觀看故事，首先對無理數(shù)和有理數(shù)的區(qū)分有一個大致的了解，有助于在新課講解中理解無理數(shù)的概念。

教師展示的是關(guān)于希帕索斯發(fā)現(xiàn)無理數(shù)的數(shù)學(xué)史：

古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為世間所有的事物都可以用數(shù)字來表示，1是所有數(shù)字的生成元素，用數(shù)字表示世間萬物的方法，要么是用1的倍數(shù)來表示，要么是通過將兩個1的倍數(shù)進(jìn)行比較，從而用比值來進(jìn)行表示。畢達(dá)哥拉斯的理論受到數(shù)學(xué)界的廣泛重視。隨著勾股定理的提出，畢達(dá)哥拉斯的學(xué)生希帕索斯在研究勾股定理時發(fā)現(xiàn)，將直角三角形的兩條直角邊確定為1的時候，那么斜邊的平方為2，即兩個1的平方之和，但是無法按照畢達(dá)哥拉斯的定理，在自然界中找到一個整數(shù)或者兩個整數(shù)的比值來表示斜邊的長度。他大膽地打破權(quán)威，認(rèn)為在有理數(shù)范圍內(nèi)無法找到相應(yīng)的數(shù)，并用“”表示斜邊長度。從此，世界上第一個無理數(shù)誕生了。

由此爆發(fā)第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，支持畢達(dá)哥拉斯定理的人為了捍衛(wèi)權(quán)威，將希帕索斯扔進(jìn)大海。直到1000年后，人們發(fā)現(xiàn)了這一類數(shù)，并且被達(dá)·芬奇命名為“無理數(shù)”。

從充滿神秘和封建權(quán)威色彩的數(shù)學(xué)史中，學(xué)生認(rèn)識到無理數(shù)是存在于有理數(shù)范圍之外的數(shù)，既不能用整數(shù)來表示，也不能用比例來表示，并由“”為例可以在頭腦中初步形成無理數(shù)概念的輪廓。

新課講授中的實踐研究? 數(shù)學(xué)史知識表面上是歷史類知識，看似和新知識沒有很大關(guān)聯(lián)，但是仍然可以作為新知識講授的載體。比如函數(shù)問題、三角形幾何證明、路程速度類應(yīng)用題，都是學(xué)生感到非常困難的專題，如果教師整堂課通過大量的例題進(jìn)行講解，學(xué)生很容易感到枯燥，喪失學(xué)習(xí)興趣;如果教師導(dǎo)入HPM微課，穿插扣人心弦的數(shù)學(xué)史故事，那么學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣將會很快被激發(fā)。

如在講授“一元一次方程的應(yīng)用”時，教師可以將丟番圖的墓志銘作為微課教學(xué)的數(shù)學(xué)史內(nèi)容（圖1），這是丟番圖臨終前為自己的年齡所設(shè)計的墓志銘。數(shù)學(xué)史微課視頻中向?qū)W生詳細(xì)介紹丟番圖一生中經(jīng)歷的重要事情及其時間段，要求學(xué)生當(dāng)一回考古學(xué)家，通過一元一次方程對這位數(shù)學(xué)家的去世年齡進(jìn)行一次計算。本次新課講解與以往不同的是，將數(shù)學(xué)問題融入故事中，對于好奇心強(qiáng)、喜歡推理類故事的初中生來說是一個非常好的學(xué)習(xí)素材。因此，學(xué)生非常積極地展開探索，在教師引導(dǎo)下，很快就有學(xué)生尋找到本題的未知數(shù)，應(yīng)該是設(shè)丟番圖的年齡為x，根據(jù)題意分析丟番圖在幼年、青年、成年的時間和一生的時間之間的數(shù)量關(guān)系可以列出方程：

（1/6）x+（1/12）x+（1/7）x+（1/2）x+5+4=x

最后解得丟番圖活了84歲。在具有推理色彩的數(shù)學(xué)史故事中，學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和探索欲望會更加強(qiáng)烈，再加上教師的引導(dǎo)，學(xué)生懂得解決一元一次方程的應(yīng)用題，要先從數(shù)量關(guān)系中尋找設(shè)未知數(shù)x的量。比如本題中“他的生命的1/6”，學(xué)生就應(yīng)該思考是否可以將生命的年限作為未知數(shù)呢？最后讓學(xué)生列出完整的一元一次方程并求解。

知識拓展中的實踐研究? 在傳統(tǒng)教學(xué)中，教師都會留出幾道思考題讓學(xué)生課后思考，作為拓展學(xué)生思維的方式。但是由于學(xué)生的學(xué)習(xí)壓力大，再加上題目不能激發(fā)學(xué)生的興趣，導(dǎo)致知識拓展教學(xué)展開得并不順利。

在HPM微課中滲透數(shù)學(xué)史知識，可以將原本形同虛設(shè)、無人關(guān)注的數(shù)學(xué)史閱讀材料作為打造第二課堂的主要素材。如在教學(xué)完“整式的乘除”后，教師將“楊輝三角”作為數(shù)學(xué)史微課教學(xué)的主要題材。學(xué)生學(xué)習(xí)完本節(jié)內(nèi)容后，對于（a+b）2、（a+b）3很容易能夠展開，但是如果出現(xiàn)（a+b）4、（a+b）5，或者次方數(shù)更加大的時候，就束手無策了。

為了幫助學(xué)生化解問題，拓寬學(xué)生知識面，在數(shù)學(xué)史微課中，首先展示的是一位教師非常流利地寫出展開式（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，學(xué)生看到后非常驚訝。細(xì)致的學(xué)生發(fā)現(xiàn)展開式中a的次方逐漸遞減，而b的次方逐漸遞增;對于展開式中各項的系數(shù)，卻沒有發(fā)現(xiàn)任何規(guī)律。隨后，教師要求學(xué)生繼續(xù)觀看視頻，微課視頻開始介紹我國著名數(shù)學(xué)家楊輝的生平事跡，以及他對我國數(shù)學(xué)的主要貢獻(xiàn)——“楊輝三角”，如圖2所示。

學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)，三角形兩條斜邊上的數(shù)字永遠(yuǎn)是1，每一行的中間的數(shù)字是上一行與其相對應(yīng)的左右兩個數(shù)字之和，三角形頂端數(shù)字為20，第一行為21，第二行為22，以此類推，第n行為2n。學(xué)生找出規(guī)律后，教師試著要求學(xué)生將整式（a+b）n和2n相聯(lián)系。學(xué)生除了發(fā)現(xiàn)當(dāng)a和b均為1時兩式相等之外，結(jié)合“楊輝三角”還發(fā)現(xiàn)，（a+b）n

展開后的各項系數(shù)和“楊輝三角”第n行的數(shù)字一模一樣。比如（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5中，各項系數(shù)為1、5、10、10、5、1，正好是“楊輝三角”中第五行的數(shù)字。

通過本次數(shù)學(xué)史微課教學(xué)，學(xué)生的思維得到拓展，學(xué)會了結(jié)合“楊輝三角”將（a+b）n展開的方法。

4 結(jié)語

數(shù)學(xué)史是融合數(shù)學(xué)家探索精神和知識形成過程的資料，而微課以其簡短精練的特征，可以有效開展針對性教學(xué)。本次研究探索了將數(shù)學(xué)史和微課融合后的HPM微課教學(xué)，將HPM微課融入教學(xué)各個階段，從而有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，拓展學(xué)生思維，讓初中數(shù)學(xué)課堂更加高效。

參考文獻(xiàn)

[1]羅建國.基于HPM視野，讓數(shù)學(xué)史與學(xué)生美好相遇[J].江西教育，2019（24）：69.

作者：王亮，淄博市周村區(qū)王村中學(xué)，二級教師，周村區(qū)教學(xué)先進(jìn)個人，周村區(qū)優(yōu)秀班主任，研究方向為中小學(xué)數(shù)學(xué);王書榮，淄博市周村區(qū)王村中學(xué)副校長，一級教師，研究方向為中學(xué)數(shù)學(xué)（255300）。