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      從恩格斯的無限小量的概念看經(jīng)典微積分存在的問題

      2020-12-17 05:44:36四川省攀枝花市老年科技工作者協(xié)會(huì)張喜安
      數(shù)學(xué)大世界 2020年16期
      關(guān)鍵詞:萊布尼茨微積分辯證法

      四川省攀枝花市老年科技工作者協(xié)會(huì) 張喜安

      一、恩格斯的無限小量的概念

      在我的論文“康托集合論存在的矛盾”和“超實(shí)集合論”中提出了超實(shí)變量和無限小量的概念?,F(xiàn)在把超實(shí)變量和無限小量的定義引述如下:如果有實(shí)變量x,就有超實(shí)變量X=x+dx,與超實(shí)變量對(duì)應(yīng)的數(shù)為超實(shí)數(shù),對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為超實(shí)數(shù)點(diǎn),對(duì)應(yīng)的函數(shù)為超實(shí)函數(shù)。對(duì)于超實(shí)變量X=x+dx,其中實(shí)變量x表示超實(shí)變量對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,dx為無限小量,它表示超實(shí)變量X對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的無限小長(zhǎng)度。無限小量dx對(duì)應(yīng)的無限小數(shù)是實(shí)數(shù)之外的新數(shù),它小于任何正實(shí)數(shù),但是不等于0,并且遵守算術(shù)公理。這里要注意的是,無限小量dx和經(jīng)典微積分的微分dx有本質(zhì)的區(qū)別。

      這里還有一點(diǎn)需要注意,即在上述定義中,超實(shí)變量、超實(shí)數(shù)、超實(shí)數(shù)點(diǎn)和超實(shí)函數(shù)是客觀實(shí)際存在的變量、數(shù)、點(diǎn)和函數(shù),為了和現(xiàn)在人們稱呼的實(shí)變量、實(shí)數(shù)、實(shí)數(shù)點(diǎn)和實(shí)函數(shù)互相區(qū)別而稱呼為超實(shí)變量、超實(shí)數(shù)、超實(shí)數(shù)點(diǎn)和超實(shí)函數(shù)。

      我們把恩格斯的無限小量的概念引述如下,恩格斯在他的“自然辯證法”一書中有如下一段札記:“同一和差異在微分學(xué)已經(jīng)存在的辯證關(guān)系,在那里dx是無限小量,然而是起作用的,并且是無所不能的?!?/p>

      首先,恩格斯所說的微分學(xué)指的是萊布尼茨的微分學(xué),所說的無限小量指的也是萊布尼茨微積分的無限小量,并且它是實(shí)無窮概念下的無限小量。而在經(jīng)典微積分里,極限理論被看作是微積分的理論基礎(chǔ),只有極限理論才是無所不能的,而且經(jīng)典微積分的無窮小,只是潛無窮。由此可見,恩格斯關(guān)于無限小量的論述一方面是對(duì)萊布尼茨微積分的肯定,另一方面是對(duì)萊布尼茨微積分中的無限小量給出一個(gè)辯證法的解釋。

      關(guān)于恩格斯上述的無限小量的概念為什么是對(duì)萊布尼茨微積分中的無限小量給出了一個(gè)辯證法的解釋,根據(jù)我個(gè)人的理解做如下說明,如果有不當(dāng)之處,請(qǐng)批評(píng)指正。

      首先,對(duì)于任何一個(gè)具體事物,根據(jù)唯物辯證法都具有同一和差異的辯證統(tǒng)一的關(guān)系,而且這個(gè)辯證統(tǒng)一的關(guān)系與具體事物的質(zhì)和量的辯證統(tǒng)一的關(guān)系密切相關(guān)。例如水具有特定的性質(zhì),但是它又為特定的量,即溫度所規(guī)定。當(dāng)溫度在0o~100°以內(nèi),水的基本性質(zhì)保持不變,這就體現(xiàn)了水的同一性。在實(shí)際生活中,我們會(huì)體會(huì)到,5℃、40℃和90℃的水是不同的,這就是水的差異性。任何事物都是這種同一和差異的辯證統(tǒng)一,或者稱之為同一和差異的辯證法。

      而在恩格斯關(guān)于無限小量的概念中,同一和差異的辯證法,當(dāng)然指的是量存在的同一和差異的辯證法。這又如何解釋呢?根據(jù)質(zhì)和量的辯證統(tǒng)一的關(guān)系,量也具有質(zhì)的方面。例如根據(jù)辯證法,陰和陽(yáng)是辯證統(tǒng)一的關(guān)系,因此陰中有陽(yáng),陽(yáng)中有陰;所以量也具有質(zhì)的方面,并且這個(gè)質(zhì)的方面也必然為與它所對(duì)應(yīng)的量所規(guī)定,顯然,規(guī)定量所具有的質(zhì)的方面的量就是超實(shí)變量X=x+dx中的無限小量dx。當(dāng)無限小量dx在一定的范圍內(nèi)變化時(shí),超實(shí)變量X就存在,它的基本性質(zhì)也就保持不變,這就是超實(shí)變量的同一性。在等式X=x+dx中,當(dāng)X在一個(gè)特定的點(diǎn)上,無限小量dx是變量,實(shí)變量x是常量,因此X也是變量。也就是說,由于無限小量dx的變化,超實(shí)變量X在任何一個(gè)特定的點(diǎn)上也存在差異,這個(gè)差異就是兩個(gè)不同的無限小量的值的差,這個(gè)差仍然是一個(gè)無限小量。這也就是說,超實(shí)變量或者客觀實(shí)際存在的變量自身存在差異,而這個(gè)差異就是一個(gè)無限小量,這就是量的同一與差異的辯證法。這里恩格斯所強(qiáng)調(diào)的是客觀實(shí)際存在的變量既是同一的,也是自身存在差異的,而這個(gè)差異本身就是一個(gè)無限小量。也正如恩格斯所說:“同一和差異在微分學(xué)中已經(jīng)存在的辯證關(guān)系,dx是無限小量,然而是起作用的,并且是無所不能的。”

      現(xiàn)在還有一點(diǎn)要說明,就是德國(guó)著名的唯心主義哲學(xué)家黑格爾在200 多年前也給出了無限小的定義,這個(gè)定義是:無限小量就是量的質(zhì)的量的規(guī)定性,它的含義前面已經(jīng)作了簡(jiǎn)短的敘述,關(guān)于黑格爾的無限小量定義,我將在另文中給出詳細(xì)的論述。這里要指出的是,黑格爾的無限小量的定義是從量和質(zhì)的辯證統(tǒng)一的關(guān)系中得到的,是和恩格斯的無限小量的概念一致的,并且是互相補(bǔ)充的。他們都是根據(jù)辯證法的原理,從對(duì)量的本質(zhì)的分析中得到無限小量的定義或者概念。這也就表明了,在黑格爾和恩格斯看來,微積分的真正基礎(chǔ)是無限小量的理論,我們將根據(jù)這個(gè)觀點(diǎn)來認(rèn)識(shí)經(jīng)典微積分存在的問題,并且根據(jù)這個(gè)觀點(diǎn)來認(rèn)識(shí)萊布尼茨的微積分理論,同時(shí)也要根據(jù)這個(gè)觀點(diǎn)來建立新的微積分理論。

      二、根據(jù)恩格斯的無限小量的概念試評(píng)價(jià)萊布尼茨微積分

      面對(duì)人們對(duì)萊布尼茨的無限小量的批評(píng),萊布尼茨指出:“然而一個(gè)過度的狀態(tài)或者一個(gè)消失的狀態(tài)是可以設(shè)想的,其中實(shí)際上仍然沒有出現(xiàn)完全的相等或者靜止而是進(jìn)入這樣一種狀態(tài),即差小于任何指定的量,在這種狀態(tài)中還剩余一些差、一些速度、一些角度,但是它們每個(gè)都是無限小。”

      在上述的萊布尼茨關(guān)于無限小量的概念中指出了,變量自身存在的差異就是無限小量本身,這一觀點(diǎn)和恩格斯的無限小量的概念是一致的,萊布尼茨根據(jù)這個(gè)觀點(diǎn)給出了微積分的理論。萊布尼茨的無限小量的理論也是實(shí)無窮的理論。因此對(duì)于萊布尼茨的微積分應(yīng)該給以肯定,他創(chuàng)造了微積分的輝煌時(shí)代,他的微積分理論的方向是正確的。當(dāng)然,萊布尼茨微積分也有它的缺陷,萊布尼茨沒有指出為什么變量自身會(huì)存在差異,而這個(gè)差異就是無限小量。也就是說,對(duì)于無限小量的概念,萊布尼茨解決了是什么的問題,同時(shí)也解決了應(yīng)用的問題,但是沒有解決為什么的問題。再有,萊布尼茨的微積分仍然使用實(shí)數(shù)來表示變量,因?yàn)閷?shí)數(shù)本身是不存在差異的,例如5-5=0。因此,人們認(rèn)為萊布尼茨微積分存在所謂的貝克來悖論而被否定了。

      三、從恩格斯的無限小量的概念來看經(jīng)典微積分存在的問題

      首先,經(jīng)典微積分僅僅根據(jù)貝克來悖論就完全的否定了萊布尼茨微積分是片面的和錯(cuò)誤的,萊布尼茨微積分存在的缺點(diǎn)我們一定要丟掉,但是萊布尼茨關(guān)于變量自身存在差異,并且認(rèn)為這個(gè)差異就是無限小量,并且根據(jù)這個(gè)無限小量的概念給出了微積分的理論,它體現(xiàn)了微積分理論發(fā)展的正確方向,這一點(diǎn)必須給以肯定。

      再有,根據(jù)超實(shí)變量的理論完全可以給出微積分的理論(對(duì)于這個(gè)工作,在我的論文超實(shí)函數(shù)理論與微積分新理論的創(chuàng)新中就已經(jīng)基本完成了),沒有必要使用極限的概念。而對(duì)于經(jīng)典微積分的潛無窮的概念,根據(jù)黑格爾的無限小量的定義和恩格斯的無限小量的概念,無限小量是客觀實(shí)際存在,是實(shí)實(shí)在在的實(shí)無窮;所以經(jīng)典微積分的潛無窮的概念是違背客觀事實(shí)的錯(cuò)誤思想。因此,根據(jù)黑格爾的無限小量的定義和恩格斯的無限小量的概念,經(jīng)典微積分存在原則性的錯(cuò)誤,至少是存在問題的。

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