陳凱

科學(xué)研究的過程，一般是從觀察和發(fā)現(xiàn)問題開始，針對(duì)問題給出猜想和假設(shè)，接下來(lái)是設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)或者設(shè)置進(jìn)一步觀察的任務(wù)，借由實(shí)驗(yàn)和進(jìn)一步的觀察，對(duì)數(shù)據(jù)結(jié)果進(jìn)行分析，給出理論上的解釋或者建立能反映事物變化的模型。為了驗(yàn)證理論或模型的可靠性，常需要對(duì)未知的現(xiàn)象進(jìn)行預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)的成功則驗(yàn)證了理論或模型在特定范圍內(nèi)具有一定的可靠性。

在人工智能高度發(fā)展的今天，筆者希望能找到一些能夠用于基礎(chǔ)教育階段課堂的案例，用以展現(xiàn)機(jī)器學(xué)習(xí)在科學(xué)研究過程中模型建立與未知事物預(yù)測(cè)方面可能起到的作用。筆者抱有這樣的愿望：模型建立中的數(shù)據(jù)是由學(xué)生親自觀察、采集并記錄下來(lái)的，這些數(shù)據(jù)雖然數(shù)量不少，但精度略有不足（這恰恰反映了現(xiàn)實(shí)中最可能的情況）;模型本身能由相對(duì)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)公式或動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)構(gòu)成，能夠適應(yīng)基礎(chǔ)教育階段學(xué)生的知識(shí)技能水平;模型構(gòu)造的過程能夠體現(xiàn)機(jī)器學(xué)習(xí)算法的參與，算法原理簡(jiǎn)單，算法實(shí)現(xiàn)工具相對(duì)便捷。

本文給出的“木星衛(wèi)星軌道數(shù)據(jù)的分析和智能預(yù)測(cè)”案例，正是為實(shí)現(xiàn)上述目標(biāo)而設(shè)計(jì)的，整個(gè)教學(xué)過程需要多個(gè)課時(shí)，包括：①問題發(fā)現(xiàn)：由望遠(yuǎn)鏡觀察注意到木星臨近的未知天體;②建立假設(shè)：猜測(cè)這些天體實(shí)際是圍繞木星旋轉(zhuǎn)的衛(wèi)星，并給出假設(shè)的依據(jù);③設(shè)置觀察任務(wù)并建立數(shù)學(xué)模型：觀察并作數(shù)據(jù)記錄，根據(jù)假設(shè)，按正弦函數(shù)建立數(shù)學(xué)模型對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行匹配，這里的函數(shù)擬合需求引出了機(jī)器學(xué)習(xí)算法;④優(yōu)化模型構(gòu)建過程：為優(yōu)化函數(shù)擬合的方法，討論可能用到的機(jī)器學(xué)習(xí)算法的種類并對(duì)其基本原理進(jìn)行介紹;⑤進(jìn)行預(yù)測(cè)：根據(jù)機(jī)器學(xué)習(xí)算法完成程序代碼，并用其預(yù)測(cè)未來(lái)天體運(yùn)行情況。限于篇幅，本文重點(diǎn)討論第③點(diǎn)，在學(xué)習(xí)者尚不具備較完整編程能力的情況下，可用電子表格來(lái)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理并呈現(xiàn)出對(duì)于機(jī)器學(xué)習(xí)算法的需求，這樣就擴(kuò)展了該案例的適用學(xué)習(xí)對(duì)象。

● 玩一個(gè)和正弦函數(shù)有關(guān)的游戲

向?qū)W習(xí)者推薦一個(gè)機(jī)器人擦地板去除污跡的游戲，游戲任務(wù)是：如圖1所示，某種型號(hào)的機(jī)器人均按正弦函數(shù)曲線的樣式在地板上行進(jìn)，某故障機(jī)器人在行進(jìn)路線上隨機(jī)殘留下了油污，現(xiàn)派出清理機(jī)器人按正弦函數(shù)曲線在地板上行進(jìn)并抹除地板上的污跡，但清理機(jī)器人并不知道故障機(jī)器人所采用正弦函數(shù)曲線的周期是多少，清理過程中也不可中途更正正弦函數(shù)周期，為達(dá)到最好的抹除污跡的效果，玩家可以隨機(jī)在文本框內(nèi)輸入正弦函數(shù)周期倍數(shù)，然后觀察該機(jī)器人除污的效果。在機(jī)器人實(shí)施任務(wù)的過程中，還可以觀察它離污跡的距離有多遠(yuǎn)。

引入這個(gè)小游戲的目的，是用游戲作為一個(gè)模型，在直觀的行為變化和抽象的數(shù)學(xué)函數(shù)兩者之間建立起聯(lián)系。學(xué)習(xí)者在游戲的交互過程中，熟悉不同的周期倍數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖形形態(tài)。

● 給出建立數(shù)學(xué)模型的需求

機(jī)器人除污的游戲正好對(duì)應(yīng)木星衛(wèi)星軌道的預(yù)測(cè)問題，兩者所使用到的數(shù)學(xué)模型是完全相同的，以下選用日常觀察和記錄最為方便的木衛(wèi)三來(lái)舉例說(shuō)明：若以時(shí)間為橫軸，以望遠(yuǎn)鏡觀測(cè)到的木衛(wèi)三離開木星距離的數(shù)據(jù)（以比例方式記錄）在縱軸上畫點(diǎn)，便能得到一系列的散點(diǎn)。由于天氣等因素的影響，這些散點(diǎn)從時(shí)間軸方向看是分布不均的，又由于觀察和記錄必然存在誤差，所以在縱軸上點(diǎn)的位置也并不完全精確，從科學(xué)研究的角度看，若假設(shè)木星衛(wèi)星是圍繞木星旋轉(zhuǎn)的，則可以假設(shè)如能觀察到任意時(shí)間點(diǎn)的距離，則可將這些散點(diǎn)連成一個(gè)接近正弦函數(shù)的曲線（木衛(wèi)三的運(yùn)動(dòng)軌跡為一個(gè)非常接近圓形的橢圓，從運(yùn)行軌道側(cè)面觀察，按時(shí)間軸方向采集距離數(shù)據(jù)，就能描繪得到近乎正弦函數(shù)的曲線，關(guān)于何以導(dǎo)致特定偏心率，這涉及具體的物理學(xué)問題，這里不進(jìn)一步展開）。只要確定正弦函數(shù)的周期倍數(shù)，就能夠?yàn)槟拘切l(wèi)星的運(yùn)行在視場(chǎng)中的位置變化建立數(shù)學(xué)模型。

雖然木衛(wèi)三位置預(yù)測(cè)問題和機(jī)器人除污問題本質(zhì)上是同一個(gè)問題，但其中，機(jī)器人除污問題直接和數(shù)學(xué)模型有著對(duì)應(yīng)關(guān)系，而對(duì)于木衛(wèi)三位置預(yù)測(cè)問題，卻要經(jīng)歷將現(xiàn)實(shí)中的問題轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)問題的過程，所以在教學(xué)過程中，將機(jī)器人除污問題作為一個(gè)中介，在思維上把現(xiàn)實(shí)問題和數(shù)學(xué)模型連接起來(lái)（如表1）。

● 數(shù)學(xué)模型的建立

無(wú)論是機(jī)器人除污，還是木衛(wèi)三位置預(yù)測(cè)，它們用到的數(shù)學(xué)模型都只是簡(jiǎn)單的正弦函數(shù)，其中僅有一個(gè)變量即周期倍數(shù)，如何找到這個(gè)周期倍數(shù)呢？先考慮一種簡(jiǎn)單的處理方法，先任意地隨機(jī)取一個(gè)周期倍數(shù)，用該周期繪制出正弦函數(shù)的曲線，觀察其與期望坐標(biāo)點(diǎn)匹配的程度。以機(jī)器人除污游戲?yàn)槔?，觀察并記錄該機(jī)器人在行進(jìn)過程中，當(dāng)其與污跡在橫軸上處于同一位置時(shí)，在縱軸上的差距有多少，然后不斷調(diào)整周期倍數(shù)，試圖找出更小的差距。那么，應(yīng)該遵循何種策略調(diào)整周期倍數(shù)呢？似乎可以用如下方法，略增加或略減小周期倍數(shù)，用新的周期倍數(shù)繪制出正弦函數(shù)曲線，并計(jì)算該機(jī)器人與污跡在縱軸上的差距是否有所減少。如差距有所減少，則繼續(xù)按此方向修改數(shù)據(jù)，直到在此方向上修改數(shù)據(jù)會(huì)導(dǎo)致差距反而增加時(shí)停止。以上探索過程使用電子表格就能夠呈現(xiàn)出來(lái)，也可用Python等程序語(yǔ)言來(lái)模擬。

然而，上面的方法未必能得到最優(yōu)的結(jié)果。為了看出這個(gè)方法的局限性，下面用木衛(wèi)三觀測(cè)數(shù)據(jù)舉例（為論述簡(jiǎn)單起見，表中已將距離數(shù)值折算為比例），如上頁(yè)表2所示。

假設(shè)取前5個(gè)觀測(cè)值，將觀測(cè)序號(hào)作為橫軸坐標(biāo)點(diǎn)位置，木衛(wèi)三和木星距離的比例為縱軸坐標(biāo)點(diǎn)位置，則得到的圖像如圖2所示。

由于不知道正弦函數(shù)周期倍數(shù)，可以隨機(jī)取值進(jìn)行試探，假設(shè)取周期倍數(shù)為125，則獲得正弦函數(shù)為sin（125*x*3.14/180），這個(gè)函數(shù)是不是能很好地?cái)M合散點(diǎn)圖中的觀測(cè)點(diǎn)呢？用一個(gè)數(shù)學(xué)公式就可以知道：

Fitness

=ABS（SIN（125*1*3.14/180）-0.7）+ABS（SIN（125*3*3.14/180）-0.5）+ABS（SIN（125*5*3.14/180）+0.9）+ABS（SIN（125*6*3.14/180）+0.8）+ABS（SIN（125*9*3.14/180）-1）

公式乍一看有些復(fù)雜，其實(shí)就是將周期倍數(shù)為125的正弦函數(shù)，獲得其橫軸在1、3、5、6、9處的縱軸坐標(biāo)值，將其與觀測(cè)到的散點(diǎn)的縱軸坐標(biāo)值相減，取絕對(duì)值后相加，這樣可以看出隨機(jī)選擇的周期倍數(shù)離理想的擬合曲線的差距到底有多少，上述公式計(jì)算結(jié)果是2.054。因?yàn)榭梢愿鶕?jù)此數(shù)值判定隨機(jī)猜測(cè)的優(yōu)劣，所以將其稱為正弦函數(shù)擬合的適應(yīng)性公式。

如再取倍數(shù)126，則該適應(yīng)性公式的差值數(shù)據(jù)會(huì)減少，可看作是離理想的倍數(shù)更近一步，可發(fā)現(xiàn)，倍數(shù)在大約130時(shí)，差值降低到最小，然后差值又將變大，所以可以推測(cè)，正弦函數(shù)的周期倍數(shù)是130。但這個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，因?yàn)樽畹忘c(diǎn)的橫坐標(biāo)軸大概在橫軸坐標(biāo)50處，因此可知木衛(wèi)三運(yùn)行軌道可完美匹配周期倍數(shù)為50的正弦函數(shù)，則可證明木衛(wèi)三確實(shí)按近圓形軌道圍繞木星運(yùn)動(dòng)。另外，因?yàn)?0大約是360的七分之一，所以可推測(cè)木衛(wèi)三公轉(zhuǎn)周期約為七天。由此，就可以對(duì)下一周某天的木衛(wèi)三出現(xiàn)的位置進(jìn)行預(yù)測(cè)了。

● 從人腦判斷到機(jī)器判斷

由于繪制出了不同周期倍數(shù)所對(duì)應(yīng)的適應(yīng)性情況的結(jié)果，人腦可直觀把握?qǐng)D形所表達(dá)的意義，并幾乎立刻能找到曲線最低點(diǎn)，但一般的程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言卻不具備直觀的能力（這里不展開討論并行處理系統(tǒng)）。在電子表格實(shí)驗(yàn)中，選取了250個(gè)點(diǎn)得到了曲線，如果曲線更復(fù)雜，則采樣點(diǎn)勢(shì)必要增加。而在其他類似尋找函數(shù)極值的問題中，如若影響曲線變化的變量大幅增加，那么繪圖工作就由二維平面擴(kuò)展到更高維的空間，這樣不僅會(huì)導(dǎo)致數(shù)據(jù)量極大增加，而且難以單純靠視覺直觀或程序一一枚舉尋找到極值點(diǎn)。

這個(gè)問題很鮮明地將機(jī)器運(yùn)算在整體性和直觀性方面的局限性展現(xiàn)了出來(lái)，也就自然而然引出了對(duì)機(jī)器學(xué)習(xí)算法的需求。如何為機(jī)器設(shè)計(jì)一個(gè)方案，使之能夠在缺乏全局視野的情況下，找出適應(yīng)性函數(shù)曲線的最低點(diǎn)？在這里，就又可以用機(jī)器人思維模型（游戲）的形式，對(duì)可能的解決方案進(jìn)行討論，可以將函數(shù)波形想象成山巒，思考機(jī)器人如何找到海拔最低點(diǎn)。如果教師直接拋出機(jī)器學(xué)習(xí)算法方案，未免浪費(fèi)了激發(fā)學(xué)生自主思考和探索的大好機(jī)會(huì)，所以不妨對(duì)思維模型的建立開展頭腦風(fēng)暴。例如，派出幾千個(gè)機(jī)器人，隨機(jī)占據(jù)山的不同位置，將這個(gè)過程重復(fù)許多次，就能通過排序找出最低點(diǎn)，這個(gè)方案顯然太低效了。要想提高機(jī)器人的工作效率，就需要改變機(jī)器人的工作模式，為機(jī)器人設(shè)立恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)作規(guī)則。為解決函數(shù)極值問題，常用的方法有模擬退火算法、遺傳算法、粒子群算法等，部分教師很可能對(duì)這些算法的使用已比較熟悉，其中部分算法的教學(xué)策略，在后續(xù)的文章中還會(huì)涉及，在正式講授機(jī)器學(xué)習(xí)算法之前，可以利用思維模型（游戲），將機(jī)器人實(shí)施探索工作的規(guī)則和流程，用語(yǔ)言描述出來(lái)。有意思的是，判別這些思維上的模型可行與否的一個(gè)方法，是尋找這些模型在其自然界的對(duì)應(yīng)事件，因?yàn)槁L(zhǎng)的時(shí)間為萬(wàn)事萬(wàn)物的發(fā)展變化篩選出了有效的方法。

至此，可以看出教學(xué)過程中，模型的不同作用：其一，數(shù)學(xué)模型是一個(gè)預(yù)測(cè)系統(tǒng)，它對(duì)已有數(shù)據(jù)進(jìn)行歸納，通過函數(shù)擬合對(duì)未來(lái)事物變化狀況進(jìn)行預(yù)測(cè)，這是本案例學(xué)習(xí)階段3的重點(diǎn);其二，要想構(gòu)建起數(shù)學(xué)模型，可以使用直觀的方法，而若要將這個(gè)構(gòu)建過程變得自動(dòng)化，可以借助不同的機(jī)器學(xué)習(xí)算法，而許多機(jī)器學(xué)習(xí)算法，實(shí)際上也是觀察和模擬自然界復(fù)雜現(xiàn)象變化后簡(jiǎn)化得到的模型，這是本案例學(xué)習(xí)階段4的重點(diǎn)。仔細(xì)觀察其中的聯(lián)系可知：優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建過程，需要信息技術(shù)工具的介入，這里強(qiáng)調(diào)的是信息技術(shù)工具之所用;而一些機(jī)器學(xué)習(xí)算法借鑒模擬了自然世界中的現(xiàn)象變化過程，借助不同方法實(shí)現(xiàn)了這種模擬的自動(dòng)化，這里強(qiáng)調(diào)的是信息技術(shù)工具之所成。

而貫穿教學(xué)過程的機(jī)器人除污游戲也是一個(gè)模型，其作用與上述模型不同，該游戲一方面對(duì)應(yīng)著有著物質(zhì)實(shí)體的機(jī)器人除污系統(tǒng)，另一方面對(duì)應(yīng)著數(shù)學(xué)上的正弦函數(shù)曲線，這樣就成為連接客觀現(xiàn)實(shí)和數(shù)學(xué)抽象的中介，通過動(dòng)態(tài)直觀的展示提高了認(rèn)識(shí)的效率。但其意義不僅僅限于教學(xué)法，在后續(xù)機(jī)器學(xué)習(xí)算法的教學(xué)中，可以鼓勵(lì)學(xué)習(xí)者模仿機(jī)器人除污游戲，自行主動(dòng)建立起用于聯(lián)系客觀現(xiàn)實(shí)和抽象數(shù)學(xué)的思維模型。