李建宇， 魏凱杰

(天津科技大學(xué) 機械工程學(xué)院，天津市輕工與食品工程機械裝備集成設(shè)計與在線監(jiān)控重點實驗室，天津 300222)

1 引 言

圓柱薄殼由于其優(yōu)越的承載性能和簡易的制造工藝，在航空航天、軍事導(dǎo)彈和液罐存儲等現(xiàn)代工程中廣泛應(yīng)用[1,2]。當(dāng)圓柱薄殼的主要服役工況為軸壓時，其失效模式為屈曲失穩(wěn)。大量實踐和研究表明[3-5]，圓柱薄殼的屈曲載荷對其在制造、安裝和服役等環(huán)節(jié)產(chǎn)生的缺陷極其敏感，而這些缺陷的不確定性和薄壁結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析中的非線性導(dǎo)致定量研究圓柱薄殼屈曲載荷的缺陷敏感性極具挑戰(zhàn)，一直以來都受到學(xué)術(shù)界和工程界的廣泛關(guān)注。

對圓柱薄殼屈曲載荷有影響的缺陷主要包括幾何缺陷、剛度缺陷和邊界缺陷，其中幾何缺陷的影響最大。幾何缺陷形狀的表征是量化研究圓柱薄殼屈曲載荷缺陷敏感性的關(guān)鍵。常用的幾何缺陷表征方法可劃分為確定性方法和不確定性方法兩類，其中確定性方法有實測缺陷法[6]、特征模態(tài)缺陷法[7]以及基于最優(yōu)搜索的最不利缺陷多點擾動載荷法[8]等。不確定性方法有基于概率框架的隨機場模型[9-12]和基于非概率框架的區(qū)間類方法[13,14]。由于缺陷的產(chǎn)生和分布具有事先不可預(yù)知性，因而采用不確定性方法表征缺陷應(yīng)該是更自然的選擇[15]。研究表明[10,16]，對于特定制造工藝和服役環(huán)境下的薄壁圓殼，其幾何缺陷具有統(tǒng)計學(xué)規(guī)律，可以用隨機過程等概率方法表征。與區(qū)間類方法相比較，利用隨機場模型表征初始缺陷的好處是能夠獲得屈曲載荷的概率分布，從而為進(jìn)一步的可靠性分析奠定基礎(chǔ)，但隨機場模型的構(gòu)建需要更多的關(guān)于缺陷的先驗信息。實測缺陷數(shù)據(jù)是當(dāng)然的先驗信息，如文獻(xiàn)[9,10]利用實測缺陷數(shù)據(jù)擬合隨機場模型中的參數(shù)(相關(guān)函數(shù)的方差和相關(guān)長度等)。除此之外，隨機場所描述的物理量應(yīng)該滿足的物理條件也是一類有用的先驗信息(如楊氏模量非負(fù)的條件)，為此文獻(xiàn)[17]研究了如何將物理約束信息用于隨機模型的構(gòu)建中。圓柱薄殼幾何缺陷雖具有不確定性，但其隨機變化也受到相關(guān)物理約束。如薄壁圓柱殼除非受到內(nèi)外壓力作用并產(chǎn)生環(huán)向的總體塑性變形，否則其幾何缺陷并不會引起圓柱周長的顯著變化。本文研究發(fā)現(xiàn)，單純利用二維高斯隨機場表征圓柱薄殼的幾何缺陷時，確實會出現(xiàn)圓柱周長顯著增大或減小的情形，從而增大隨機屈曲分析結(jié)果的分散性。為此，本文將討論在幾何缺陷的隨機場模型中如何引入這一內(nèi)在的物理約束條件，從而構(gòu)建更符合實際的幾何缺陷隨機場模型。

在建立了幾何缺陷的隨機場模型后，就可以在結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析模型的基礎(chǔ)上利用不確定傳播的辦法獲得屈曲載荷的概率分布。Monte Carlo法是最常用的不確定傳播算法[18]，但其計算成本太高。近年來發(fā)展起來的多項式混沌展開法[19]，由于其較高的計算效率而受到廣泛關(guān)注，在非線性結(jié)構(gòu)分析、流固分析和多物理場分析等復(fù)雜問題的不確定性量化中廣泛應(yīng)用[20]。本文擬將其用于薄壁圓柱結(jié)構(gòu)的隨機屈曲分析。

2 初始幾何缺陷的隨機場建模

2.1 初始幾何缺陷的先驗分布

(1)

圖1 圓柱薄殼結(jié)構(gòu)及其展開

式(1)的協(xié)方差函數(shù)沿用了文獻(xiàn)[9,10]的假設(shè)，即假定幾何缺陷的隨機場模型在軸向和環(huán)向的相關(guān)性相互獨立，其中環(huán)向缺陷的相關(guān)性具有對稱性。式中σ2表示隨機場的方差，lx和ly分別為環(huán)向和軸向的相關(guān)長度參數(shù)。環(huán)向和軸向的協(xié)方差函數(shù)圖像如圖2所示。

2.2 引入周長不變約束

利用高斯隨機場表征初始幾何缺陷的優(yōu)點是從數(shù)學(xué)上將可能發(fā)生的幾何缺陷都涵蓋在內(nèi)，但帶來的問題是，隨機場所表征的幾何缺陷也包含了很多不符合實際的情形。如僅考慮環(huán)向缺陷，利用隨機場離散化方法隨機生成一族環(huán)向幾何缺陷，發(fā)現(xiàn)所生成的幾何缺陷中包含了圓周周長顯著增大或縮小的情形，如圖3(a)所示。從力學(xué)的角度，薄壁圓柱結(jié)構(gòu)在加工、裝配和運輸過程中主要發(fā)生殼的局部彎曲變形，即使是發(fā)生局部平面變形(如凹陷)，也不會導(dǎo)致環(huán)向周長的顯著膨脹或縮小。因而，隨機場所表征的這種缺陷是不符合實際的，應(yīng)予剔除。

本文構(gòu)造如下優(yōu)化問題，實現(xiàn)在幾何缺陷高斯隨機場中引入周長不變約束的目的。

(2)

(?y∈ [0,H], ?ω∈Ω)

(3)

圖2 環(huán)向和軸向協(xié)方差函數(shù)

圖3 幾何缺陷形狀示例

υL= (L-L0)/L0×100%

(4)

表1給出了隨機抽樣10次后圓周周長改變率的計算結(jié)果，保留四位有效數(shù)字，結(jié)果證明了周長不變約束的有效性。

2.3 隨機場的離散化

(5)

對?z∈ [0,2 πR]×[0,H]，求a(z)和b(z)，滿足

表1 施加周長不變約束前后圓周周長變化率的數(shù)值試驗結(jié)果

(6)

(7)

(8)

(9)

將式(8)代入優(yōu)化問題(6)，利用罰函數(shù)法處理周長不變等式約束，并由該優(yōu)化問題的一階最優(yōu)性條件得幾何缺陷的隨機變量表征。

(10)

(11)

式中I0= [0,0,…,0]1 × m，I1= [1,1,…,1]1 × m。式(10)將幾何缺陷表達(dá)為一系列特定缺陷模式的隨機組合。對于各階缺陷模式，隨著其階數(shù)的增加，缺陷的波動性增加，如圖4所示。

表2 懲罰因子對于周長改變率的影響

與現(xiàn)有文獻(xiàn)關(guān)于幾何缺陷隨機場建模表征的兩類方法[23]，即Gaussian隨機場K-L展開法和譜展開方法相比，本文方法既具有K-L展開法在數(shù)值計算方面的優(yōu)勢，又滿足譜展開法所具有的均值各態(tài)歷經(jīng)性。

3 基于多項式混沌展開法的隨機屈曲分析

將初始幾何缺陷表征為隨機場(10)后，圓柱薄殼的幾何參數(shù)中包含了獨立高斯隨機變量ξ∈ RN，其臨界屈曲載荷Pc r也是一個隨機變量，與隨機變量ξ之間滿足由屈曲分析模型決定的映射關(guān)系。為表述簡單，將其表述為

Pc r= Μ(ξ)

(12)

對具有確定物理、幾何和邊界參數(shù)的圓柱薄殼結(jié)構(gòu)，可以利用各類成熟的穩(wěn)定性分析方法計算其臨界屈曲載荷，包括特征值屈曲、顯示動力學(xué)屈曲等非線性有限元分析方法[24,25]。屈曲分析模型給出了ξ與Pc r之間的隱式關(guān)系，但計算不方便而且成本昂貴。本文利用多項式混沌展開PCE(Polynomial Chaos Expansions)法構(gòu)建Μ(·)的顯式形式。

(13)

式中Φi(ξ)為關(guān)于高斯隨機變量ξ的Hermite正交多項式，P= (d+p)!/d!p!，其中p為Hermite多項式Φ(ξ)的階數(shù)，d為隨機變量ξ的維數(shù)。ci∈ R為多項式系數(shù)，

式中E[Φi(ξ)Φj(ξ)] =δi j，E[Pc rΦj(ξ)] 表示Pc rΦj(ξ)的期望，需要做積分計算.為了減少積分點的數(shù)目，降低計算量，本文使用稀疏網(wǎng)格數(shù)值積分法求積，其中積分點上的Pc r值通過有限元方法進(jìn)行計算，相關(guān)細(xì)節(jié)見文獻(xiàn)[18,26]。

圖4 不同階的幾何缺陷形狀示例

4 數(shù)值算例

以一個光筒圓柱薄殼為例，說明本文方法的有效性。為簡單而不失一般性，積分點上的屈曲載荷值的計算選用特征值屈曲分析方法。表3為模型參數(shù)，薄殼模型的一端固定，一端施加軸向單位外壓載荷。采用S4R殼單元，進(jìn)行收斂性分析后，將網(wǎng)格單元大小設(shè)為4 mm，如圖5所示。具體計算時，將隨機場的方差取為σ2= 4，相關(guān)長度取為lx= 0.6H，ly= 0.15L，利用式(10)得到隨機的幾何缺陷值，將其導(dǎo)入到有限元模型中進(jìn)行積分點上屈曲載荷值的計算。

利用非干涉PCE構(gòu)建代理模型(13)時，一旦選定稀疏網(wǎng)格精度水平k，就可確定積分點的數(shù)目，對積分點進(jìn)行抽樣計算，利用式(14)求得PCE系數(shù)，即可得到PCE代理模型。在PCE模型上進(jìn)行有效的Monte Carlo模擬，便可估算薄殼結(jié)構(gòu)屈曲載荷的統(tǒng)計特性。為了驗證代理模型的精度，以直接Monte Carlo模擬1000次的計算結(jié)果為參考，計算不同精度水平下相對于MCS結(jié)果的誤差，列入表4。

圖5 完善薄殼的屈曲載荷收斂性分析

表3 模型參數(shù)

表4 不同精度水平下相對于MCS結(jié)果的誤差

通過綜合比較均值誤差和方差誤差，選定稀疏網(wǎng)格精度水平k= 3建立PCE模型。在對319個積分點進(jìn)行抽樣計算后，得到8階的PCE模型。圖6給出了在PCE模型上進(jìn)行百萬次抽樣計算后，考慮周長不變約束和不考慮周長不變約束時圓柱薄殼屈曲載荷的統(tǒng)計結(jié)果。

將幾何缺陷的不確定性表征為隨機場后，屈曲載荷的結(jié)果為一個概率分布。從圖6可知，是否引入周長不變約束，對于屈曲載荷的概率分布有明顯的影響。首先，引入周長不變約束的屈曲載荷均值要比未引入約束的大，而方差比未引入約束的小。其原因是引入周長不變約束后，將不符合周長不變要求的隨機缺陷剔除，從而減小了隨機缺陷的樣本總量范圍，其分散性也就相應(yīng)減小。另外，考慮到幾何缺陷的幅值越小，相應(yīng)屈曲載荷越大，引入周長不變約束會使得幾何缺陷的幅值相對變小，相應(yīng)的屈曲載荷均值也會增大。

為進(jìn)一步說明引入周長不變約束的必要性和效果，研究隨機場模型中的參數(shù)σ2和lx的變化對周長不變約束的敏感性。

圖6帶有幾何缺陷的圓柱薄殼屈曲載荷統(tǒng)計直方圖

圖7 隨機場方差對屈曲載荷統(tǒng)計矩的影響(考慮和不考慮周長不變約束)

圖7展示了隨著隨機場方差的變化，考慮周長不變約束和不考慮周長不變約束時的屈曲載荷的統(tǒng)計矩結(jié)果?？梢钥闯觯S著隨機場方差的改變，幾何缺陷考慮約束與否對屈曲載荷的均值和方差有差別，但是差別并不顯著。因而，隨機場模型中的方差參數(shù)對于約束的敏感性相對較小。

圖8展示了隨著隨機場環(huán)向相關(guān)長度lx的改變，考慮周長不變約束和不考慮周長不變約束的屈曲載荷的統(tǒng)計矩結(jié)果變化。可以看出，環(huán)向相關(guān)長度對屈曲載荷的統(tǒng)計矩結(jié)果有較大影響，尤其當(dāng)環(huán)向相關(guān)長度為0.25L時，隨機模型中的環(huán)向相關(guān)長度參數(shù)對于周長不變約束的敏感性很強，是否考慮周長不變約束對于屈曲載荷的預(yù)測結(jié)果有很大影響。在協(xié)方差函數(shù)中，相關(guān)長度是對兩點之間相互影響距離的度量。對于剛度較小的結(jié)構(gòu)，如大型鋼儲罐，其相關(guān)長度相對較小，因而結(jié)構(gòu)對周長不變約束并不敏感。對于剛度較大的圓柱薄殼結(jié)構(gòu)，如加筋薄殼，其相關(guān)長度也較大，在利用隨機場進(jìn)行幾何缺陷建模時，考慮周長不變約束顯得尤為重要。

圖8 環(huán)向相關(guān)長度對屈曲載荷統(tǒng)計矩的影響(考慮和不考慮周長不變約束)

5 結(jié) 論

本文采用隨機場理論研究軸壓圓柱薄殼結(jié)構(gòu)屈曲載荷的幾何缺陷敏感性。一方面，研究了圓柱薄殼結(jié)構(gòu)初始幾何缺陷的隨機場建模方法，發(fā)現(xiàn)單純將幾何缺陷用二維高斯隨機場表征時，在數(shù)學(xué)上會造成圓柱周長顯著增大或縮小的幾何缺陷。為了剔除這些不符合實際的幾何缺陷，提出一種考慮周長不變約束的隨機場建模方法，并通過數(shù)值試驗表明了所提方法的必要性和有效性。另一方面，基于所建立的幾何缺陷隨機模型，提出利用非干涉混沌多項式展開法進(jìn)行圓柱薄殼的隨機屈曲分析，給出了臨界屈曲載荷的概率分布，進(jìn)而為進(jìn)一步的可靠性分析和設(shè)計奠定了基礎(chǔ)。