易浩然 周坤 代胡亮 王琳 倪樵

(華中科技大學(xué)力學(xué)系,武漢 430074)

引言

輸流管的振動(dòng)行為是一種典型的流固耦合振動(dòng)現(xiàn)象,同時(shí)作為一種典型的細(xì)長結(jié)構(gòu),它廣泛應(yīng)用于海洋工程、核工業(yè)、航空航天以及石油化工等工程領(lǐng)域.因此,輸流管動(dòng)力學(xué)的研究具有重要的工程意義與學(xué)術(shù)價(jià)值[1-2].著名動(dòng)力學(xué)專家Paidoussis 教授曾經(jīng)指出,輸流管振動(dòng)仍是當(dāng)今動(dòng)力學(xué)研究的重要課題之一,主要因?yàn)?1)輸流管振動(dòng)能表現(xiàn)出有趣且復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)行為;(2)可為現(xiàn)代動(dòng)力學(xué)的發(fā)展提供重要的理論依據(jù)[1-2].

輸流管按照其邊界條件可分為兩端支撐管以及懸臂管.其中,懸臂管是一種非保守系統(tǒng),當(dāng)內(nèi)流流速達(dá)到一定值時(shí),會(huì)發(fā)生顫振行為.其豐富的動(dòng)力學(xué)行為吸引大量的學(xué)者對(duì)其進(jìn)行研究.關(guān)于輸流管非線性振動(dòng)控制方程大多是基于Hamilton 原理推導(dǎo)得到.比如1994 年,Selmer 等[3]基于Hamilton 方程所給出的輸流管二維非線性振動(dòng)微分方程,是如今運(yùn)用最廣泛的懸臂輸流管控制方程.2007 年,Wadham等[4]基于修正的Hamilton 原理將懸臂輸流管由二維的動(dòng)力學(xué)方程擴(kuò)展至三維構(gòu)型.

隨著對(duì)懸臂輸流管非線性動(dòng)力學(xué)方程的不斷完善,又涌現(xiàn)出了一系列基于不同構(gòu)型懸臂輸流管系統(tǒng)的研究[5-24],以達(dá)到控制和利用懸臂輸流管非線性振動(dòng)的目的.關(guān)于流固耦合結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的建模與分析,主要有數(shù)值模擬和理論模型兩種研究方法[25-26].而在研究輸流管流固耦合問題時(shí),大多采用理論模型來建立動(dòng)力學(xué)控制方程.比如,2006 年,Yoon 和Son[5]針對(duì)含尖端質(zhì)量的旋轉(zhuǎn)柔性懸臂輸流管進(jìn)行了研究,發(fā)現(xiàn)尖端質(zhì)量對(duì)穩(wěn)定性有重要影響.后來,Dai 等[6]提出了雙材料組合構(gòu)型的懸臂輸流管結(jié)構(gòu),發(fā)現(xiàn)材料的剛度比值對(duì)輸流管的顫振失穩(wěn)臨界流速有很大影響.最近,Zhou 等[7]提出了非線性能量匯(NES)的被動(dòng)控制方法.研究發(fā)現(xiàn),NES 的質(zhì)量、阻尼、剛度和安裝位置對(duì)管道臨界流速和振動(dòng)幅值有重要影響.此外,Liu 等[8]還研究了松動(dòng)約束下的懸臂輸流管的非線性振動(dòng)特性,發(fā)現(xiàn)約束間隙能導(dǎo)致輸流管發(fā)生混沌等復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為.Ni 等[9]研究了懸臂輸流管與兩側(cè)支撐壁面相互作用的非線性動(dòng)力學(xué)關(guān)系,使用三次彈簧來模擬沖擊力.Yan 等[10]研究了滑動(dòng)輸流管道的非線性動(dòng)力學(xué)特征,詳細(xì)討論了流速、滑動(dòng)速率和質(zhì)量比、重力兩個(gè)關(guān)鍵參數(shù)對(duì)管道動(dòng)態(tài)特性的影響.周期性輸流管道也成為學(xué)者們研究的熱點(diǎn)之一[11-12],周坤等[11]基于絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法,推導(dǎo)出不同材料組成的周期性懸臂輸流管道在定常內(nèi)流作用下的非線性動(dòng)力學(xué)方程,對(duì)鋁?鋼及鋼?鋁周期性懸臂輸流管道的穩(wěn)定性和非線性動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了研究.值得一提的是,Najjar 等[13]最近研究了附加集中質(zhì)量和彈簧分別對(duì)懸臂輸流管失穩(wěn)特性的影響.他們主要研究了集中質(zhì)量條件下管道質(zhì)量比對(duì)失穩(wěn)臨界流速的影響規(guī)律,僅限于線性動(dòng)力學(xué)的分析,且沒有開展實(shí)驗(yàn)研究.王乙坤等[19]在懸臂輸流管的碰撞振動(dòng)方面做了更深入的研究,基于非光滑理論建立了具有剛性間隙約束簡(jiǎn)支輸流管的非線性碰撞振動(dòng)模型.

在輸流管系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)研究方面,鄒光勝等[27]對(duì)兩端受扭轉(zhuǎn)彈簧約束的簡(jiǎn)支輸流管在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)激勵(lì)下的振動(dòng)特性問題進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究,發(fā)現(xiàn)在某些頻率段上管道會(huì)發(fā)生多周期的復(fù)雜運(yùn)動(dòng),并通過倍周期分岔而進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng).此外,高培鑫[28]用解析分析、數(shù)值計(jì)算與試驗(yàn)測(cè)試相結(jié)合的方法,系統(tǒng)研究了航空液壓管路系統(tǒng)的振動(dòng)特性、泵源脈動(dòng)激勵(lì)和基礎(chǔ)激勵(lì)綜合作用下的管路系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性以及附加黏彈性約束層阻尼材料的管路系統(tǒng)阻尼減振特性的研究.郭世豪等[29]基于模型試驗(yàn)研究了柔性輸流管在恒定內(nèi)流速度下由泄漏孔引入的泄流效應(yīng),研究發(fā)現(xiàn)了泄流效應(yīng)對(duì)輸流管系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的影響,并為數(shù)值模擬提供了實(shí)驗(yàn)參照.

本文主要從理論和實(shí)驗(yàn)上研究集中質(zhì)量對(duì)懸臂輸流管系統(tǒng)臨界流速、失穩(wěn)模態(tài)和振動(dòng)幅值等動(dòng)力學(xué)特性的影響規(guī)律,為輸流管振動(dòng)控制提供一種可控性策略和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).鑒于此,首先基于擴(kuò)展Hamilton原理建立了含集中質(zhì)量懸臂輸流管的非線性動(dòng)力學(xué)控制方程; 然后借助Galerkin 技術(shù)將偏微分控制方程離散為常微分方程進(jìn)行數(shù)值求解; 再通過線性分析和非線性分析方法研究集中質(zhì)量對(duì)輸流管振動(dòng)特性的影響規(guī)律;最后,通過搭建相關(guān)實(shí)驗(yàn)對(duì)理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證對(duì)比.

1 動(dòng)力學(xué)建模與求解

考慮圖1(a)所示的含集中質(zhì)量懸臂輸流管模型,U表示管道內(nèi)流流速;s為管道橫截面位置坐標(biāo);G表示重力加速度方向;右下角給出全局坐標(biāo)系,x代表管道軸向方向,y代表管道橫向方向.坐標(biāo)附加集中質(zhì)量可以沿管道軸向方向進(jìn)行變化,假設(shè)集中質(zhì)量在沿管道軸向xj處.

圖1 (a)考慮集中質(zhì)量懸臂輸流管構(gòu)型的模型圖(靜止?fàn)顟B(tài));(b)考慮集中質(zhì)量懸臂輸流管構(gòu)型的模型圖(振動(dòng)狀態(tài))Fig.1 (a)Model diagram considering the configuration of the cantilevered fluid-conveying pipe attached with the lumped mass(rest state);(b)model diagram considering the configuration of the cantilevered fluid-conveying pipe attached with the lumped mass(vibration state)

為方便研究,對(duì)輸流管結(jié)構(gòu)和流體屬性做如下假設(shè):(1)流體為定常流且不可壓縮; (2)將具有細(xì)長特征(長徑比大)的管視為二維平面上的Euler-Bernoulli梁模型,不考慮管的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切變形;(3)忽略了管材的黏彈性阻尼,只考慮實(shí)驗(yàn)中產(chǎn)生的機(jī)械阻尼;(4)管道軸線不可伸長且考慮小應(yīng)變.基于以上假設(shè)條件,關(guān)于含集中質(zhì)量輸流管系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)方程可以通過Hamilton 原理進(jìn)行推導(dǎo)

其中,Ttot為系統(tǒng)的總動(dòng)能,Vtot為系統(tǒng)總的勢(shì)能,M為單位流體質(zhì)量,u為管內(nèi)流體流速.公式右邊是管道自由端流體流出時(shí)作的虛功.r和τ 為管道的位置矢量和切矢量.輸流管系統(tǒng)的總動(dòng)能分為兩部分

式中,p 和f 分別代表管與流體,v代表速度,m代表管道單位長度質(zhì)量,mj代表附加集中質(zhì)量,xj表示集中質(zhì)量的位置坐標(biāo),s為管道橫截面位置坐標(biāo),有s≈x.考慮重力的影響,系統(tǒng)總勢(shì)能分為管道應(yīng)變能和重力勢(shì)能.在小應(yīng)變假設(shè)下,管道應(yīng)變能Vs可寫為[30]

將方程(2)～(4)代入方程(1)中,基于變分法,可得到控制方程

其中,w表示管的橫向位移,L為管的長度,M和m分別為流體和管道單位長度的質(zhì)量,δ(x) 表示Dirac delta 函數(shù).為計(jì)算方便,引入以下無量綱參數(shù)

則輸液管道系統(tǒng)的無量綱控制方程可表示為

首先采用Galerkin 法對(duì)動(dòng)力學(xué)方程(7) 進(jìn)行離散,將偏微分方程(PDE)可轉(zhuǎn)化為常微分方程(ODE)進(jìn)行數(shù)值求解.將振動(dòng)幅值η(ξ,τ)表示為

綜上所述,主動(dòng)護(hù)理在現(xiàn)代護(hù)理中對(duì)降低門急診醫(yī)患糾紛發(fā)生率和提高患者滿意度有重要意義,宜在臨床上廣泛應(yīng)用。

其中,φj(ξ)為經(jīng)典的懸臂梁的模態(tài)函數(shù),qj(τ)則為離散系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的廣義坐標(biāo).

將方程(8) 代入方程(7),然后在方程左端乘上φT,并從0 到1 積分,則可以得到以下關(guān)于質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣的離散方程形式

2 輸流管振動(dòng)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

如圖2 所示,本實(shí)驗(yàn)由自主搭建的懸臂輸流管裝置、高速攝像機(jī)以及計(jì)算機(jī)配合完成.懸臂輸流管裝置中,輸流管內(nèi)流體由水泵提供,水泵入水口連接上方水槽,出水口連接輸流管道,通過調(diào)節(jié)水泵的功率來實(shí)現(xiàn)管內(nèi)流速的變化.管道材料為硅橡膠,其具體參數(shù)為:密度ρ=1574.5 kg/m3,彈性模量E=8 MPa,長度L=0.4 m,外徑D=0.008 m,內(nèi)徑d=0.006 m.集中質(zhì)量采用體積為2.826 × 10?7m3的金屬螺母代替,其質(zhì)量大小mj=0.011 kg.水泵可調(diào)節(jié)的流速范圍為0 ～5.72 m/s,轉(zhuǎn)化為無量綱的流速范圍為0 ～11.61.當(dāng)管內(nèi)流速達(dá)到臨界流速時(shí),則會(huì)引起懸臂輸流管顫振,此時(shí)使用高速攝像機(jī)錄下輸流管的振動(dòng)過程.對(duì)錄下的視頻文件進(jìn)行圖像處理以得到輸流管道的振動(dòng)幅值.首先將圖像進(jìn)行二值化處理,即將輸流管標(biāo)記為白色,背景標(biāo)記為黑色,之后標(biāo)記出最大連通域圖像.整個(gè)圖像可視作一個(gè)坐標(biāo)系.在輸流管自由端添加標(biāo)記,即可通過標(biāo)記的坐標(biāo)變化來獲取信號(hào)、采樣頻率與時(shí)間序列數(shù)據(jù),并以此繪制曲線.

圖2 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖Fig.2 Schematic diagram of the experimental apparatus

結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的阻尼可以通過自由振動(dòng)實(shí)驗(yàn)[30]得到.通過以上圖像處理方法獲得系統(tǒng)的自由振動(dòng)幅值,通過結(jié)構(gòu)振動(dòng)的衰減趨勢(shì)以得到衰減系數(shù)η,再由公式得出阻尼比ζ,進(jìn)一步由公式得到結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的阻尼c.

通過上述實(shí)驗(yàn)過程,可得到含集中質(zhì)量輸流管的動(dòng)力學(xué)特性.基于上述輸流管的材料參數(shù),得到系統(tǒng)參數(shù)β=0.313,γ=51.69,μ=0.437,以此作為理論計(jì)算的系統(tǒng)參數(shù),即可與本實(shí)驗(yàn)進(jìn)行對(duì)比,以驗(yàn)證理論計(jì)算的準(zhǔn)確性.

3 線性動(dòng)力學(xué)特征分析

為研究含集中質(zhì)量輸流管結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性,首先進(jìn)行線性動(dòng)力學(xué)特征分析.通過臨界流速,固有頻率和失穩(wěn)模態(tài)等特性來表征輸流管系統(tǒng)的穩(wěn)定性.針對(duì)矩陣方程(9),去掉非線性項(xiàng)后,得到的線性矩陣方程可以寫成如下形式

通過Galerkin 前四階模態(tài)截?cái)?ML,CL,KL無量綱形式可以表示為

從上式中可以明顯看出集中質(zhì)量對(duì)ML和KL矩陣帶來的影響.其中φ 為懸臂輸流管的模態(tài)函數(shù),可以表示為

其中i=1,2,3,4;即φ 為4 乘1 的向量.φTφ 則為4乘4 的矩陣,所以ML,CL,KL也分別為4 乘4 的矩陣.可以定義以下矩陣和向量

則矩陣方程(10)可化為

令Z=Aeλit=Aeiωit,λi=iωi.則矩陣方程(17)轉(zhuǎn)化為特征值問題

在計(jì)算過程中,如上節(jié)所述,取系統(tǒng)參數(shù)值β=0.313,γ=51.69,μ=0.437.圖3 給出的當(dāng)集中質(zhì)量被安裝在輸流管不同位置時(shí),管道系統(tǒng)的前四階復(fù)頻率隨流速變化的Argand 圖.橫坐標(biāo)是復(fù)頻率的實(shí)部,代表的輸流管結(jié)構(gòu)的固有頻率.縱坐標(biāo)是復(fù)頻率的虛部,代表的是結(jié)構(gòu)的阻尼.隨著內(nèi)流速的增大,實(shí)部和虛部值會(huì)發(fā)生變化,當(dāng)虛部由正值變?yōu)樨?fù)值時(shí),系統(tǒng)發(fā)生失穩(wěn).此時(shí)內(nèi)流速為系統(tǒng)的臨界流速.選取的位置為ξj=0,0.25,0.75 和0.95 處.顯然,當(dāng)ξj=0 時(shí)相當(dāng)于輸流管不含有集中質(zhì)量.從圖3 的計(jì)算結(jié)果可以看出,隨著集中質(zhì)量所處位置的變化,管道系統(tǒng)的臨界流速以及對(duì)應(yīng)失穩(wěn)模態(tài)也發(fā)生了較大的變化.比如,當(dāng)ξj=0 時(shí),即,輸流管不含有集中質(zhì)量,此時(shí)輸流管結(jié)構(gòu)的臨界流速為10.33,且發(fā)生的是二階模態(tài)失穩(wěn).當(dāng)ξj=0.25 時(shí),由于集中質(zhì)量的影響,輸流管結(jié)構(gòu)的臨界流速增大到10.48,且對(duì)應(yīng)的失穩(wěn)模態(tài)階數(shù)為三階.這說明引入集中質(zhì)量可以增大臨界流速從而提高輸流管系統(tǒng)的穩(wěn)定性.比較有趣的是,當(dāng)集中質(zhì)量位于0.75 處時(shí),輸流管系統(tǒng)的臨界流速有所降低,變?yōu)?.76,失穩(wěn)模態(tài)變?yōu)槎A.當(dāng)集中質(zhì)量在0.95 處時(shí),此時(shí)臨界流速又增大到10.2,且對(duì)應(yīng)的失穩(wěn)模態(tài)轉(zhuǎn)遷為三階.這說明,當(dāng)集中質(zhì)量的安裝位置從輸流管固定端變化到自由端時(shí),管道系統(tǒng)的臨界流速呈現(xiàn)出復(fù)雜的非線性變化趨勢(shì),這與失穩(wěn)模態(tài)的轉(zhuǎn)遷有很大的關(guān)系.

圖3 集中質(zhì)量處于不同位置時(shí),管道系統(tǒng)的前四階復(fù)頻率隨流速變化的Argand 圖Fig.3 Argand diagram of the first four order complex frequencies varying with the flow velocity of the pipe system when the lumped mass is at different positions

為了進(jìn)一步了解集中質(zhì)量位置對(duì)輸流管系統(tǒng)臨界流速的影響規(guī)律,圖4 給出了臨界流速隨位置變化關(guān)系曲線.藍(lán)色的線是理論計(jì)算的結(jié)果,可以看出,當(dāng)集中質(zhì)量位置從固定端(ξj=0)調(diào)節(jié)到自由端(ξj=1)時(shí),臨界流速大小呈現(xiàn)出先增大后減小,再增大再減小的趨勢(shì).比如,當(dāng)集中質(zhì)量位置在ξj=0.5之前時(shí),系統(tǒng)的臨界流速隨ξj增大表現(xiàn)出小幅增加趨勢(shì).當(dāng)ξj從0.5 增大到0.75 時(shí),臨界流速開始逐漸降低,大約在ξj=0.75 處,臨界流速降到低谷.隨后,當(dāng)ξj從0.75 增大到0.9 時(shí),臨界流速反而表現(xiàn)出增大的趨勢(shì).最后,隨著位置越來越靠近自由端,輸流管系統(tǒng)的臨界流速再次逐漸下降并降到最低.

圖4 管道系統(tǒng)失穩(wěn)臨界流速隨集中質(zhì)量位置變化曲線Fig.4 curve graph of the critical velocity of the pipe system instability varying with the lumped mass position

將理論計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測(cè)試進(jìn)行了對(duì)比,紅色圓圈代表實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果.在實(shí)驗(yàn)中,隨著流速的增大,當(dāng)輸流管將要或剛發(fā)生振動(dòng)時(shí),記錄此時(shí)的流速為臨界流速.從實(shí)驗(yàn)可以看出,當(dāng)集中質(zhì)量位于ξj=0.5之前時(shí),臨界流速基本不發(fā)生變化.當(dāng)集中質(zhì)量的位置大于ξj=0.5 時(shí),實(shí)驗(yàn)測(cè)得的臨界流速同樣表現(xiàn)出先減小后增大,然后再次減小的趨勢(shì).這與理論預(yù)測(cè)結(jié)果是一致的,且從對(duì)比中可以看出,臨界流速值大小相差不大.需要指出的是,在靠近自由端時(shí),理論與實(shí)驗(yàn)得到的臨界流速大小有所差異,這是因?yàn)?一是集中質(zhì)量在輸流管上占據(jù)了一定的體積,導(dǎo)致在自由端位置的測(cè)試不夠準(zhǔn)確; 二是集中質(zhì)量靠近自由端時(shí),輸流管可能發(fā)生非平面等復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為,與本文采用的平面振動(dòng)假設(shè)理論有一定偏差.因此,從理論上預(yù)測(cè)臨界流速時(shí)與實(shí)驗(yàn)測(cè)試存在一定的誤差.

圖5 集中質(zhì)量置于不同位置時(shí),管道系統(tǒng)失穩(wěn)臨界流速隨集中質(zhì)量比變化曲線Fig.5 curve graph of the critical velocity of the pipe system instability varying with the lumped mass ratio at different lumped mass position

圖5 給出的是集中質(zhì)量的質(zhì)量比對(duì)輸流管系統(tǒng)臨界流速的影響,質(zhì)量比表示的是集中質(zhì)量與管道系統(tǒng)的質(zhì)量之比.可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)集中質(zhì)量處于不同位置時(shí),其質(zhì)量比對(duì)臨界流速影響的變化趨勢(shì)也不盡相同.比如,當(dāng)安裝位置ξj從0.1 變化到0.5 時(shí),如圖5(a)和圖5(b)所示,隨著質(zhì)量比μ從0 增大到1,臨界流速先減小后增大.當(dāng)質(zhì)量比μ < 0.2 時(shí),集中質(zhì)量所處的位置(ξj)對(duì)臨界流速幾乎沒有影響;質(zhì)量比μ>0.2 時(shí),可以看到,ξj越大,臨界流速也越大.然而,當(dāng)安裝位置ξj從0.5 增大到0.8 時(shí),雖然隨著質(zhì)量比μ從0 增大到1,臨界流速也表現(xiàn)出先減小后增大的趨勢(shì),但是ξj越大,臨界流速卻越小,這與安裝位置在0.1 到0.5 之間的臨界流速變化情況有所不同.隨著安裝位置ξj的進(jìn)一步增大(越靠近自由端),從圖4(c)可以得到,臨界流速隨質(zhì)量比增大表現(xiàn)出的變化趨勢(shì)越來越復(fù)雜.具體表現(xiàn)為,隨著質(zhì)量比從0 增大到1,臨界流速先減小再增大;然后存在一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn),此時(shí)臨界流速值急劇下降,最后逐漸增大.當(dāng)集中質(zhì)量離自由端越來越近(ξj越來越大),這個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)會(huì)逐漸左移.且隨著ξj從0.9 增大到1,輸流管系統(tǒng)的臨界流速是逐漸降低的.這種臨界流速的變化與振動(dòng)模態(tài)的轉(zhuǎn)遷有很大的關(guān)系,也說明集中質(zhì)量的安裝位置(ξj) 和質(zhì)量比(μ) 對(duì)輸流管系統(tǒng)的振動(dòng)模態(tài)有很大的影響.

4 非線性振動(dòng)特征分析

通過前面的分析可知,引入集中質(zhì)量可以改變輸流管系統(tǒng)的臨界流速和失穩(wěn)模態(tài),從而影響系統(tǒng)的非線性振動(dòng)行為.因此,本節(jié)研究了集中質(zhì)量對(duì)輸流管系統(tǒng)非線性振動(dòng)特性的影響規(guī)律.主要分析了集中質(zhì)量位置對(duì)輸流管振動(dòng)模態(tài)和振動(dòng)幅值的影響,并將理論計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測(cè)試進(jìn)行了對(duì)比.取集中質(zhì)量安裝在0.25,0.75 和0.95 位置處,無量綱內(nèi)流速取11.03.根據(jù)圖6 可知,當(dāng)集中質(zhì)量在0.25 位置處時(shí),輸流管結(jié)構(gòu)發(fā)生了二階模態(tài)的顫振行為.圖6(a)和圖6(b)分別代表理論計(jì)算出的不同時(shí)刻輸流管振動(dòng)構(gòu)型,圖6(c) 表示理論計(jì)算得到的輸流管的振動(dòng)軌跡,圖6(d) 為實(shí)驗(yàn)中觀測(cè)的輸流管振動(dòng)構(gòu)型.可知,對(duì)輸流管振動(dòng)模態(tài)的研究,理論預(yù)測(cè)與實(shí)驗(yàn)觀察具有一致性.同樣,當(dāng)ξj=0.75 時(shí),理論計(jì)算輸流管結(jié)構(gòu)發(fā)生的是二階模態(tài)顫振,實(shí)驗(yàn)中輸流管振動(dòng)也表現(xiàn)為很明顯的二階模態(tài)振動(dòng)行為,如圖7 所示.而當(dāng)ξj=0.95 時(shí),輸流管的振動(dòng)模態(tài)由二階轉(zhuǎn)遷為三階,理論和實(shí)驗(yàn)對(duì)比結(jié)果如圖8 所示.在同一流速下,對(duì)比圖6 ～圖8 可以看出,無論是理論計(jì)算還是實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果,輸流管自由端部(ξ=1)的振動(dòng)幅值隨著安裝位置(ξj)的不同發(fā)生了較大的變化.當(dāng)ξj=0.75時(shí),輸流管振動(dòng)幅值明顯要高于在0.25 和0.95 處時(shí)的振幅.

圖6 集中質(zhì)量處于0.25 位置時(shí),輸流管結(jié)構(gòu)的振動(dòng)行為Fig.6 The vibration behavior of the fluid-conveying pipe structure at the lumped position 0.25

圖7 集中質(zhì)量處于0.75 位置,輸流管結(jié)構(gòu)的振動(dòng)行為Fig.7 The vibration behavior of the fluid-conveying pipe structure at the lumped position 0.75

圖8 集中質(zhì)量處于0.95 位置,輸流管結(jié)構(gòu)振動(dòng)行為Fig.8 The vibration behavior of the fluid-conveying pipe structure at the lumped position 0.95

為了進(jìn)一步研究集中質(zhì)量位置對(duì)輸流管振動(dòng)幅值的影響規(guī)律,取ξj=0,0.35,0.55,0.75 和0.95 五種情況,理論計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行了對(duì)比,如表1 所示.由于實(shí)驗(yàn)中所用水泵的流速范圍較窄,只選取了兩種流速分別為u=11.03 和11.61 進(jìn)行實(shí)驗(yàn).實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,當(dāng)集中質(zhì)量位置從0 增大到0.95 時(shí),對(duì)于給定的流速,輸流管振動(dòng)幅值會(huì)先增大后減小.在ξj=0.75 處時(shí),輸流管振幅有最大值.隨著流速從11.03 增大到11.61,輸流管的振動(dòng)幅值也有所增大.從表1 中得出,理論計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測(cè)試數(shù)據(jù)的誤差大多都在10%左右,由此證明理論模型的準(zhǔn)確性.根據(jù)計(jì)算結(jié)果和實(shí)驗(yàn)測(cè)試數(shù)據(jù)可知,當(dāng)集中質(zhì)量安裝在0 到0.75 位置范圍內(nèi)時(shí),輸流管振動(dòng)主要表現(xiàn)出二階模態(tài)顫振行為,且隨著ξj的增大,振幅越來越大.當(dāng)集中質(zhì)量位置越靠近自由端時(shí)(比如ξj>0.75),輸流管振動(dòng)模態(tài)由二階轉(zhuǎn)遷為三階,振幅會(huì)有所下降.圖9 給出了當(dāng)ξj=0.75 時(shí),輸流管道自由端的振動(dòng)幅值隨流速變化的分岔圖,理論計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行了對(duì)比.可知,當(dāng)流速超過臨界值時(shí),隨著流速的增大,輸流管振動(dòng)幅值逐漸增大.圖10 給出的是當(dāng)流速分別為9.87 和11.03 時(shí)輸流管振動(dòng)的時(shí)間歷程曲線.

表1 不同集中質(zhì)量位置下輸流管結(jié)構(gòu)振動(dòng)幅值Table 1 Vibration amplitude of the fluid-conveying pipe__structure at different concentrated mass locations

5 結(jié)論

圖9 當(dāng)ξj=0.75 時(shí),輸流管自由端的位移隨流速變化分岔圖Fig.9 Bifurcation diagram of the tip displacement of the fluid-conveying pipe varying with the velocity when the model at ξj=0.75

本文基于哈密頓原理對(duì)附加集中質(zhì)量的懸臂輸流管系統(tǒng)進(jìn)行了數(shù)學(xué)建模,推導(dǎo)出了附加集中質(zhì)量懸臂輸流管系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)方程.通過數(shù)值求解以及實(shí)驗(yàn)的方法對(duì)該理論模型進(jìn)行驗(yàn)證,并對(duì)附加集中質(zhì)量的懸臂輸流管系統(tǒng)的穩(wěn)定性與非線性動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了研究.揭示了附加集中質(zhì)量對(duì)懸臂輸流管系統(tǒng)所帶來的動(dòng)力學(xué)影響.可以得到如下結(jié)論:

(1)附加集中質(zhì)量會(huì)導(dǎo)致懸臂輸流管結(jié)構(gòu)失穩(wěn)臨界流速的降低,以及振幅的增大.

(2)集中質(zhì)量的放置位置與質(zhì)量比是影響懸臂輸流管系統(tǒng)穩(wěn)定性以及非線性響應(yīng)的重要因素.懸臂輸流管結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)臨界流速隨集中質(zhì)量的放置位置與質(zhì)量比的變化而變化.同時(shí),集中質(zhì)量的位置對(duì)懸臂輸流管結(jié)構(gòu)的振動(dòng)幅值也有較大影響.當(dāng)ξj=0.75時(shí),懸臂輸流管系統(tǒng)的失穩(wěn)臨界流速最低,且振動(dòng)幅值最大.

(3)當(dāng)集中質(zhì)量接近自由端時(shí),懸臂輸流管結(jié)構(gòu)的振動(dòng)模態(tài)會(huì)發(fā)生轉(zhuǎn)遷; 質(zhì)量比足夠大時(shí)也會(huì)導(dǎo)致懸臂輸流管結(jié)構(gòu)的振動(dòng)模態(tài)轉(zhuǎn)遷.當(dāng)集中質(zhì)量位于ξj=0.95 時(shí),懸臂輸流管結(jié)構(gòu)的振動(dòng)模態(tài)由二階轉(zhuǎn)變?yōu)槿A,其失穩(wěn)臨界流速進(jìn)一步降低,振動(dòng)幅值反而減小.由此推斷振動(dòng)模態(tài)的變化導(dǎo)致了失穩(wěn)臨界流速與振幅的減小.當(dāng)ξj=1,即集中質(zhì)量位于自由端時(shí),懸臂輸流管結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)臨界流速達(dá)到最低.

圖10 ξj=0.75,(a)和(b)無量綱內(nèi)流速為9.87,(c)和(d)無量綱內(nèi)流速為11.03 時(shí)輸流管結(jié)構(gòu)振動(dòng)的時(shí)間歷程曲線;(a)和(c)理論預(yù)測(cè)結(jié)果曲線;(b)和(d)實(shí)驗(yàn)測(cè)得結(jié)果曲線Fig.10 Time history curves of the fluid-conveying pipe structure vibration with a dimensionless velocity of(a),(b)9.87;(c),(d)11.03 at ξ j=0.75;(a)and(c)are the resulting curves of theoretical predictions;(b)and(d)are experimental results