張 毅

(蘇州科技大學(xué)土木工程學(xué)院，江蘇蘇州 215011)

引言

在自然界和工程技術(shù)領(lǐng)域存在大量的非線性問題，它們通常需要用非線性微分方程來描述.守恒量或第一積分在微分方程求解、約化以及定性分析方面發(fā)揮重要作用[1-3].利用對(duì)稱性尋找守恒量是一個(gè)有效方法，如Lie 理論[4-7]、Noether 定理[8-13]和Mei 對(duì)稱性[14-17].Lie 對(duì)稱性是微分方程的不變性，因而在以微分方程表示的數(shù)學(xué)模型中Lie 對(duì)稱性方法得到普遍應(yīng)用[18-22].Noether 對(duì)稱性依賴于作用量泛函，由于非線性微分方程一般不具有Lagrange 結(jié)構(gòu)，因此通過Noether 對(duì)稱性尋找微分方程的守恒量遇到了很大的困難.1998 年，Govinder 及其合作者基于Lie 點(diǎn)變換提出了近似Noether 對(duì)稱性[23].近年來，近似對(duì)稱性方法和近似守恒量研究取得不少成果[24-31].本文研究弱非線性動(dòng)力學(xué)方程的Noether 準(zhǔn)對(duì)稱性，將Noether 對(duì)稱性方法應(yīng)用于具有小參數(shù)的非線性微分方程系統(tǒng)，分別基于Lagrange 框架，Hamilton 框架和Birkhoff 框架，證明了近似Noether 守恒量定理.文末以著名的van der Pol 方程，Duffing 方程，以及兩自由度的弱非線性耦合振子為例，說明結(jié)果的應(yīng)用.

1 Lagrange 框架下的近似Noether 守恒量

設(shè)在Lagrange 框架下，弱非線性動(dòng)力學(xué)方程可化為一般完整系統(tǒng)的Lagrange 方程，有

其中，L=L(t,q,˙q) 為L(zhǎng)agrange 函數(shù)，Qs=Qs(t,q,˙q,ε)為非勢(shì)廣義力，ε 為小參數(shù)(ε1).取無限小變換

這里τ 和ξs是生成函數(shù)，υ 是無限小參數(shù).如果成立

其中，?G=υG，而G=G(t,q,)稱為規(guī)范函數(shù)，則這種不變性稱為系統(tǒng)(1)的Noether 準(zhǔn)對(duì)稱性.由式(3)可導(dǎo)出廣義Noether 等式

不失一般性，設(shè)廣義力為

相應(yīng)地，設(shè)生成函數(shù)τ，ξs，以及規(guī)范函數(shù)G為

則廣義Noether 等式(4)成為

定義1對(duì)于弱非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)(1)，如果沿著方程(1)的所有解曲線，有

其中I=I0+εI1，則稱I為系統(tǒng)(1)的近似守恒量.于是有

定理1對(duì)于弱非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)(1)，如果廣義Noether 等式(8)和(9)有解，則系統(tǒng)存在近似Noether 守恒量

將式(8)和式(9)代入式(13)，并利用方程(1)，可得

因此，式(12)是系統(tǒng)(1)的近似Noether 守恒量.證畢.

2 Hamilton 框架下的近似Noether 守恒量

設(shè)在Hamilton 框架下，弱非線性動(dòng)力學(xué)方程可化為相空間中一般完整系統(tǒng)的Hamilton 方程，有

這里τ，ξs和ηs是生成函數(shù)，υ 是無限小參數(shù).如果成立

其中?G=υG，G=G(t,q,p)為規(guī)范函數(shù)，則這種不變性稱為系統(tǒng)(15)的Noether 準(zhǔn)對(duì)稱性.由式(17)可導(dǎo)出廣義Noether 等式為

設(shè)廣義力為

相應(yīng)地，生成函數(shù)為

則廣義Noether 等式(18)成為

定義2對(duì)于弱非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)(15)，如果沿著方程(15)的所有解曲線，有

其中I=I0+εI1，則稱I為系統(tǒng)(15)的近似守恒量.于是有定理2.

定理2對(duì)于弱非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)(15)，如果廣義Noether 等式(22)和式(23)有解，則系統(tǒng)存在近似Noether 守恒量

證明由于

因此，式(26)是系統(tǒng)(15)的近似Noether 守恒量.證畢.

3 Birkhoff 框架下的近似Noether 守恒量

設(shè)在Birkhoff 框架下，弱非線性動(dòng)力學(xué)方程可化為廣義Birkhoff 方程，有

其中，Rμ=Rμ(t,a)是Birkhoff 函數(shù)組，B=B(t,a)是Birkhoff 函數(shù)，Λμ=Λμ(t,a,ε)稱為附加項(xiàng)，ε 為小參數(shù)(ε1).

取無限小變換

這里τ 和ξμ是生成函數(shù)，υ 是無限小參數(shù).如果成立

其中?G=υG，G=G(t,a)為規(guī)范函數(shù)，則這種不變性稱為系統(tǒng)(28)的Noether 準(zhǔn)對(duì)稱性.由式(30)可導(dǎo)出廣義Noether 等式為

設(shè)附加項(xiàng)Λμ為

相應(yīng)地，生成函數(shù)為

則廣義Noether 等式(31)成為

定義3對(duì)于弱非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)(28)，如果沿著方程(28)的所有解曲線，有

其中I=I0+εI1，則稱I為系統(tǒng)(28)的近似守恒量.于是有

定理3對(duì)于弱非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)(28)，如果廣義Noether 等式(35)和(36)有解，則系統(tǒng)存在近似Noether 守恒量

證明由于

因此，式(39)是系統(tǒng)(28)的近似Noether 守恒量.

4 討論

首先，Hamilton 框架是Birkhoff 框架的特例.

實(shí)際上，若取

則Birkhoff 框架下的廣義Birkhoff 方程(28)，廣義Noether 等式(35)和(36)，近似Noether 守恒量(39)退化為Hamilton 框架下的Hamilton 方程(15)，廣義Noether 等式(22)和(23)，近似Noether 守恒量(26).

其次，Lagrange 框架與Hamilton 框架等價(jià).

實(shí)際上，令

則容易驗(yàn)證Lagrange 框架下的Lagrange 方程(1)，廣義Noether 等式(8)和(9)，近似Noether 守恒量(12)等價(jià)于Hamilton 框架下的Hamilton 方程(15)，廣義Noether 等式(22)和(23)，近似Noether 守恒量(26).

5 算例

5.1 van der Pol 方程的近似守恒量

著名的van der Pol 方程為[32]

試研究此系統(tǒng)的近似Noether 守恒量.

方程(43)可化為一般完整系統(tǒng)的Lagrange 方程，有

廣義Noether 等式(8)和(9)給出

聯(lián)立方程(45)和(46)，有如下解

生成函數(shù)(47)～(49)相應(yīng)于van der Pol 方程(43)的Noether 準(zhǔn)對(duì)稱性，由定理1，可以得到

式(50)～式(52)是van der Pol 方程(43)的近似Noether 守恒量.

方程(43)也可化為其他形式的一般完整系統(tǒng).例如

此時(shí)，廣義Noether 等式為

則有近似Noether 守恒量

則有近似Noether 守恒量

結(jié)果表明，同一弱非線性動(dòng)力學(xué)方程可以化為不同的完整非保守系統(tǒng)，同一近似Noether 守恒量可以相應(yīng)于不同的Noether 準(zhǔn)對(duì)稱性.因此，利用Noether 準(zhǔn)對(duì)稱性方法求近似守恒量具有較大的靈活性.

此外，也可以在Hamilton 框架和Birkhoff 框架下計(jì)算van der Pol 方程的近似Noether 守恒量.

在Hamilton 框架下，方程(43)可化為相空間中一般完整系統(tǒng).例如，取Hamilton 函數(shù)和廣義力為

則廣義Noether 等式為

方程(61)和(62)有解

由定理2，得到

這是van der Pol 方程(43)在相空間中的近似Noether守恒量.

在Birkhoff 框架下，方程(43)可化為廣義Birkhoff 系統(tǒng).例如，取

則廣義Noether 等式為

方程(70)和(71)有解

由定理3，得

這是van der Pol 方程(43)在Birkhoff 框架下的近似Noether 守恒量.

顯然，在3 種不同框架下可以得到van der Pol 方程相同的近似Noether 守恒量.

5.2 Duffing 方程的近似守恒量

著名的Duffing 方程為[32]

試研究其近似Noether 守恒量.

方程(78)可化為相空間中一般完整系統(tǒng)的Hamilton 方程，有

方程(80)和(81)有解

由定理2，可得到

式(84)和式(85)是Duffing 振子(78)的近似Noether守恒量.

5.3 弱非線性耦合振子的近似守恒量

兩自由度的弱非線性耦合振子方程為[33]

試研究其近似Noether 守恒量.

令

方程(86)可化為廣義Birkhoff 方程，有

廣義Noether 等式(35)和(36)給出

方程(89)和(90)有解

生成函數(shù)(91)～(93)相應(yīng)于振子方程(86)的Noether 準(zhǔn)對(duì)稱性，由定理3，可得到

式(94)～式(96)是弱非線性耦合振子系統(tǒng)(86)的近似Noether 守恒量.

6 結(jié)論

用分析力學(xué)的方法研究非線性微分方程的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)具有重要的理論和實(shí)際意義.通常尋找微分方程的守恒量可采用Lie 對(duì)稱性方法.實(shí)際上，也可以利用Noether 對(duì)稱性方法.文章通過分析Noether 準(zhǔn)對(duì)稱性來探尋弱非線性動(dòng)力學(xué)方程的近似Noether 守恒量.分別基于Lagrange 框架、Hamilton 框架和Birkhoff 框架，建立了Noether 準(zhǔn)對(duì)稱性的定義和廣義Noether 等式，證明了近似Noether 守恒量定理，并通過三個(gè)經(jīng)典問題，即van der Pol 方程、Duffing 方程和弱非線性耦合振子方程，展示了弱非線性動(dòng)力學(xué)方程的Noether 準(zhǔn)對(duì)稱性與近似Noether 守恒量的計(jì)算.研究表明：Hamilton 框架下的近似Noether 守恒量是Birkhoff 框架下的近似Noether 守恒量的特例，而Lagrange 框架下的近似Noether 守恒量等價(jià)于Hamilton 框架下的近似Noether 守恒量.此外，由于將弱非線性動(dòng)力學(xué)方程化為一般完整系統(tǒng)的Lagrange 方程(1)或Hamilton 方程(15)或廣義Birkhoff 方程(28)時(shí),其動(dòng)力學(xué)函數(shù)的選取是不唯一的，因此利用Noether 對(duì)稱性方法尋找弱非線性動(dòng)力學(xué)方程的近似守恒量不僅方便有效，而且具有較大的靈活性.本文方法和結(jié)果可進(jìn)一步推廣應(yīng)用于含有兩個(gè)或更多小參數(shù)的或含有多個(gè)獨(dú)立變量的非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng).