線性代數(shù)課程矩陣初等變換應(yīng)用的幾點探究

[摘 要]矩陣初等變換是線性代數(shù)課程的基礎(chǔ)性內(nèi)容，文章通過對初等變換的內(nèi)涵進行解析，分別從矩陣運算、向量組運算和方程組求解三個方面探究矩陣初等變換的應(yīng)用，并結(jié)合實例對其應(yīng)用過程進行分析。

[關(guān)鍵詞]初等變換;矩陣;向量組;線性方程組

[基金項目]2018年安徽三聯(lián)學院質(zhì)量工程項目大規(guī)模在線開放課程（MOOC）—線性代數(shù)（18zlgc042）;2019年安徽省高等學校自然科學研究重點項目“區(qū)間二型模糊行為決策方法及其在商務(wù)智能推薦中的應(yīng)用”（KJ2019A0887）;2019年安徽三聯(lián)學院自然科學研究重點項目：“二型模糊群決策方法及其在商務(wù)智能推薦中的應(yīng)用”（KJZD2019008）;2019年安徽三聯(lián)學院星級教師工作坊項目“大學數(shù)學教學研究”（XJJS201902）;2018年安徽省質(zhì)量工程高校繼續(xù)教育教學改革項目“應(yīng)用型本科高校繼續(xù)教育課程遠程化教學模式改革探析—以高等數(shù)學課程為例”（2018jxjygg004）

[作者簡介]王翠翠（1989—），女，安徽宿州人，碩士，講師，主要從事大學數(shù)學教學方法研究。

[中圖分類號] O241.6[文獻標識碼] A[文章編號] 1674-9324（2020）47-0-03[收稿日期] 2020-08-27

一、引言

矩陣初等變換是線性代數(shù)課程中矩陣的一種重要且基礎(chǔ)的運算法則，它是研究矩陣、向量組線性相關(guān)性、線性方程組的解、二次型以及線性空間等內(nèi)容不可替代的工具。在實際教學中，學生過分關(guān)注矩陣初等變換的形式，而對其內(nèi)涵的理解不夠深入，尤其是對其應(yīng)用范圍缺乏全面系統(tǒng)的認識。下面結(jié)合具體實例，對矩陣初等變換的應(yīng)用范圍進行總結(jié)和探究。

二、矩陣的初等變換

定義1：矩陣的下列三種變換稱為矩陣的初等行變換：

（1）交換矩陣的兩行（交換i，j兩行，記作ri?rj）;

（2）以一個非零的數(shù)k乘矩陣的某一行（第i乘數(shù)k，記作kri）;

（3）把矩陣的某一行的k倍加到另一行（第j行乘以數(shù)k加到第i行，記作ri+krj）。

把定義中的“行”換成“列”，即得到矩陣的初等列變換的定義（相應(yīng)記號中把r換成c），初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換。同時矩陣的初等變換逆變換仍是初等變換，且矩陣A經(jīng)過有限次的初等變換變成矩陣B，則稱矩陣A與B等價，記為A～B。

根據(jù)以上內(nèi)容可以看出，矩陣的三種初等變換方式與行列式的性質(zhì)有類似，但在使用行列式性質(zhì)化簡計算行列式時，每一步都是可以進行相等的變換。而對于矩陣而言，每進行一次初等變換得到的矩陣與原矩陣之間不是相等的關(guān)系，而是等價的關(guān)系，因此每一次的初等變換不能用“=”進行連接，而是“→”。這地方的不同在教學中一定要多次向?qū)W生強調(diào)，學生在書寫時經(jīng)常犯錯誤。

三、矩陣初等變換的應(yīng)用

（一）矩陣運算中的應(yīng)用

1.求解矩陣標準形。任意非零矩陣行階梯形矩陣行最簡形矩陣等價標準形

其中，行階梯形矩陣特征是元素全為零的行均位于矩陣的下方，且各非零行的首非零元的列標隨著行標的增大而嚴格增大;行最簡形矩陣的特征是各非零行的首非零元都是1，且每個首非零元所在列的其余元素都是0;等價標準形矩陣的特征是分塊后，它的左上角是一個單位矩陣，其余元素全為0。值得注意的是，行階梯形矩陣和行最簡形矩陣的化簡只進行初等行變換即可，而最后一步等價標準形的處理根據(jù)題目特征，有的只需要初等行變換即可，有的既需要初等行變換，也需要初等列變換才可以。

2.求解逆矩陣。在求方陣A的逆矩陣時，將同階數(shù)的單位矩陣E一起構(gòu)建一個新的矩陣，對其進行初等行變換，當矩陣A變成單位矩陣E時，與此同時，對應(yīng)的單位矩陣變成的矩陣即為方陣A的逆矩陣，即

從以上可以發(fā)現(xiàn)，在構(gòu)造矩陣（A E），對其施行初等行變換化成行階梯形矩陣（A1 B）時，若矩陣A1中有零行，則A1是不可逆的，否則A1是可逆矩陣。進一步將（A1 B）化成行最簡形矩陣，進而給出矩陣A的逆矩陣表達式。

在實際應(yīng)用中，同學們已經(jīng)學習了伴隨矩陣法求矩陣的逆矩陣，但在方陣的階數(shù)較大時，求對應(yīng)方陣行列式的代數(shù)余子式計算量較大，初等變換法判斷矩陣是否可逆以及求逆矩陣就是最優(yōu)的方案了。

4.求矩陣的秩。

定理1：若矩陣A→B，則r（A）=r（B）

此定理表明初等變換并不改變矩陣的秩，因此用初等行變換把矩陣變成行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是該矩陣的秩。

對矩陣的秩求解使用k階子式，對于較復(fù)雜的矩陣，直接尋找非零r階子式相對也較困難，計算量也較大，因此矩陣的初等變換是不二之選。

（二）向量組運算中的應(yīng)用

在學習時，我們知道線性代數(shù)中的向量組與矩陣是一一對應(yīng)的，每一列向量組或行向量組都可以用一個矩陣的形式進行表示，因此研究向量組的許多問題，比如向量組的線性表示，向量組的線性相關(guān)性，向量組的秩等都可以構(gòu)建矩陣，對矩陣進行初等行變換來解決。

1.判定向量組線性表示及線性相關(guān)性問題。

定理2：設(shè)同維數(shù)列向量β，α1，α2，…αn，則向量β能由向量組α1，α2，…αn線性表示的充要條件是矩陣A=（α1，α2，…αn）組與=（α1，α2，…αn，β）的秩相等。

定理3：設(shè)有n維列向量α1，α2，…αs，向量組α1，α2，…αs線性相關(guān)（無關(guān)）的充要條件是矩陣A=（α1，α2，…αs）的秩小于（等于）向量的個數(shù)s。

由定理2和定理3可知，判定某向量能否由一向量組線性表示及判定向量組的線性相關(guān)性均轉(zhuǎn)化為相應(yīng)矩陣初等行變換求秩之后比較大小的問題即可。

2.求解向量組的秩與極大線性無關(guān)組。由于矩陣與向量組之間有一一對應(yīng)關(guān)系，任一向量組均可用對應(yīng)矩陣表示，所以向量組的秩求解可轉(zhuǎn)化為對應(yīng)矩陣進行初等行變換求秩。同時，在對矩陣進行初等行變換化為行階梯形矩陣時，首非零元所在列的向量是線性無關(guān)的，且任一向量也可由此線性無關(guān)的向量組線性表示。于是，線性無關(guān)的向量構(gòu)成的向量組可以為該向量組的極大線性無關(guān)組，再次說明初等變換在這里起著非常關(guān)鍵的作用。

例題2：已知列向量，，，，求向量組：α1，α2，α3，α4的秩及一個極大線性無關(guān)組。

解：令A(yù)=（α1 α2 α3 α4），對矩陣A作初等行變換，化成行最簡形矩陣得，

A=（α1 α2 α3 α4）=（5）

由上述矩陣可知，r（A）=3，且非零行所在的列是第1，2，3列，因此向量組α1，α2，α3，α4的秩為3，且一個極大線性無關(guān)組是α1，α2，α3。

在實際教學中，引導學生使用矩陣的初等變換解決向量組的諸多問題時，為避免學生對初等行變換與初等列變換之間混亂，統(tǒng)一成“列向量，行變換”，行向量組的諸多問題全部轉(zhuǎn)化為列向量問題進行解決。

（三）線性方程組中的應(yīng)用

1.求解齊次線性方程組。齊次線性方程組對應(yīng)的矩陣方程形式為AX=O，首先將系數(shù)矩陣化為行階梯形矩陣，便可直接判斷出是否有非零解，若有非零解，繼續(xù)進行初等行變換，化成行最簡形矩陣，便可寫出其全部解。

2.求解非齊次線性方程組。非齊次線性方程組對應(yīng)的矩陣方程形式為AX=B，若矩陣A為方陣且可逆，則可轉(zhuǎn)化利用逆矩陣方式求解。而一般情形下，常用方法是將增廣矩陣化為行階梯形矩陣，便可直接判斷出是否有解，若有解，繼續(xù)進行初等行變換，化成行最簡形矩陣，便可寫出其全部解。

在講解矩陣的初等變換法求線性方程組問題時，先易后難，先認識線性方程組的同解變換，再通過簡單的線性方程組實例給出解的形式，有的可以使用克萊姆法則判定，有的不可以，進而給出一般情形下的線性方程組解的討論。從多個角度來探討線性方程組的解與系數(shù)矩陣、增廣矩陣的秩之間的關(guān)系，解決線性方程組是否有解，有多少個解，解是什么。使學生深刻理解線性方程組解的結(jié)構(gòu)特征以及初等變換法對一般情形下的線性方程組求解的優(yōu)勢。

矩陣初等變換除了可以應(yīng)用于上述問題外，在求解方陣的特征值和特征向量、二次型和多項式等方面也有所應(yīng)用。在實際教學中，學生比較偏向于使用行與行之間的變換，缺乏對列變換的練習。因此，為避免學生發(fā)生混淆，導致對矩陣化簡和變換錯誤，可引導學生熟練掌握初等行變換各種類型的應(yīng)用。尤其是在變換行階梯形矩陣、行最簡形矩陣，求逆矩陣和線性方程組解時只需進行初等行變換，而在求解向量組的線性表示和線性相關(guān)性問題時，可引導學生“列向量，行變換;行向量，量轉(zhuǎn)化，行變換”的方法加以解決。

四、結(jié)束語

矩陣初等變換貫穿于整個線性代數(shù)課程的教學過程，因此，在教學工作中，教師如何講解矩陣的初等變換，使學生理解初等變換的內(nèi)涵及其應(yīng)用范圍尤為重要。教師一定要因材施教，根據(jù)學生理解的不同程度，分層布置作業(yè)，加強學生對此知識的理解和掌握，進而為后續(xù)知識和相關(guān)專業(yè)課程的學習，奠定堅實的基礎(chǔ)。

參考文獻

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[2]戴斌祥.《線性代數(shù)》（第2版）[M].北京：北京郵電大學出版社， 2013.

[3]吳英柱.矩陣的初等變換在線性代數(shù)中的若干應(yīng)用與探討[J].廣東石油化工學院學報，2017，27（1）：71-75+94.

[4]張麗娟.等價關(guān)系在代數(shù)教學中的簡化作用[J].教育教學論壇，2020（15）：281-283.

Abstract： Matrix elementary transformation is the basic content of the Linear Algebra course. By analyzing the connotation of elementary transformation， the paper explores the application of matrix elementary transformation from the three aspects of matrix operation， vector group operation and equation group solution， and analyzes its application process with examples.

Key words： elementary transformation; matrix; vector group; linear equation group