關(guān)于一道函數(shù)零點例題的引申

劉曉生

【摘 要】 函數(shù)零點問題一直是歷年高考中的重點，其覆蓋知識面廣，題型變化多端，極大地鍛煉了學(xué)生思維的靈活度和深刻度，有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。針對教材中的一道函數(shù)零點例題，本文進行了推廣和引申，旨在幫助學(xué)生系統(tǒng)地掌握函數(shù)零點知識，促進學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】 零點個數(shù);參數(shù)取值范圍;根的分布

在教材《函數(shù)的應(yīng)用》章節(jié)中有這樣一道例題：已知函數(shù)f（x）=ln x+2x-6，求該函數(shù)的零點個數(shù)。接下來，筆者就談一談如何站在學(xué)生的角度解決函數(shù)零點問題。

一、求函數(shù)零點的個數(shù)

由教材中的例題可知，函數(shù)零點的基本考查類型就是求函數(shù)零點的個數(shù)，也就是求函數(shù)有幾個零點的問題。首先，我們應(yīng)該掌握最基本也非常重要的解題思路，即函數(shù)y=f（x）的零點與方程f（x）=0的根是等價的。鑒于學(xué)生從小學(xué)階段就開始接觸方程問題，所以我們在研究函數(shù)的零點問題時，都可以引導(dǎo)學(xué)生將其轉(zhuǎn)化為熟悉的方程問題來解決。

針對如何求解函數(shù)零點個數(shù)的問題，主要有三種方法：

2.定理法

也就是根據(jù)零點存在性定理來判斷零點的個數(shù)，即函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]內(nèi)連續(xù)，且f（a）×f（b）<0，則函數(shù)在（a，b）內(nèi)存在零點。

3.數(shù)形結(jié)合法

將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)，分別畫出兩個函數(shù)的圖像，由交點個數(shù)判斷函數(shù)零點的個數(shù)，有幾個交點，就有幾個零點。

仍以課本例題為例，將函數(shù)f（x）=ln x+2x-6盡可能地轉(zhuǎn)化為兩個簡單的函數(shù)，如y=ln x和y=-2x+6，分別畫出二者的圖像，可知只有一個交點，所以函數(shù)只有一個零點。

二、由函數(shù)零點特征求解參數(shù)取值范圍

函數(shù)零點問題的另一大考題類型就是根據(jù)零點特征確定參數(shù)的取值范圍，這類問題相對復(fù)雜，通常需要借助多個知識來綜合解決，如函數(shù)零點存在性定理、不等式知識、二次方程知識等，需要學(xué)生的思路十分明確和清晰，能夠迅速調(diào)動大腦內(nèi)的多種知識，將其聯(lián)系鏈接，進而找到問題的突破口。

三、二次方程根的分布

因為函數(shù)的零點等于方程的根，所以二次函數(shù)的零點問題就與二次方程根的分布產(chǎn)生了千絲萬縷的聯(lián)系，尤其是變相考查二次方程根的分布問題，受到了高考命題人的偏愛。根的分布問題主要涉及對稱軸的位置、兩根之和、兩根之積等的判斷，學(xué)生在解題時應(yīng)該充分利用二次方程的圖像，幫助自己找到解題思路，同時應(yīng)該熟練掌握有關(guān)結(jié)論，以求提高解題速度和解題正確率。

總之，函數(shù)的零點問題是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在學(xué)生的高考中扮演著非同小可的角色。作為高中數(shù)學(xué)教師，我們在平常的教學(xué)中，應(yīng)該結(jié)合課本例題或者試卷中遇到的問題進行恰當(dāng)?shù)囊旰屯卣?，幫助學(xué)生系統(tǒng)科學(xué)地掌握相關(guān)知識，力求觸類旁通，舉一反三，進而為學(xué)生開啟高考的綠色通道。

【參考文獻】

[1]唐俊濤.函數(shù)零點問題解答分析與思考[J].中學(xué)教學(xué)參考，2019（08）：4-6.

[2]張自鶴.函數(shù)零點問題的題型歸類及解題策略[J].教學(xué)考試，2018（11）：35-37.

[3]張心安.透析零點問題，提升數(shù)學(xué)覺悟——求參數(shù)范圍的函數(shù)零點問題為例[J].數(shù)理化解題研究，2018（16）：53-54.