謝根全 宋鑫朋

摘 要：應(yīng)用混合數(shù)值法研究電-磁-彈功能梯度材料板中的波動瞬態(tài)響應(yīng)。假設(shè)材料的彈性常數(shù)和電、磁常數(shù)沿板厚方向呈梯度變化，將電磁功能梯度材料板劃分為層單元，應(yīng)用能量變分原理建立單元的動力學(xué)微分方程;根據(jù)單元之間的連續(xù)條件將層單元控制方程裝配成系統(tǒng)的控制方程，應(yīng)用模態(tài)疊加法和傅里葉變換分別得到力激勵和電極激勵下波數(shù)域里的瞬態(tài)響應(yīng);應(yīng)用反傅里葉變換得到時空域內(nèi)的瞬態(tài)響應(yīng)，研究磁電參數(shù)對電磁彈板中的波動瞬態(tài)響應(yīng)的影響。

關(guān)鍵詞：電-磁-彈功能梯度材料板;混合數(shù)值法;波動瞬態(tài)響應(yīng);傅里葉變換;力激勵;電極激勵

中圖分類號：O342

文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A

磁電多場耦合的理論研究可追溯到上世紀(jì)50年代。至今，國內(nèi)外在壓電、壓磁等功能材料結(jié)構(gòu)的材料性能和力學(xué)性質(zhì)方面進(jìn)行了一系列的研究，尤其在理論研究方面取得了重要進(jìn)展。在電-磁-彈材料結(jié)構(gòu)的動力學(xué)性能研究方面：KALISKI[1]推導(dǎo)出熱-電-磁-彈的波動方程;文獻(xiàn)[2-12]對壓電-壓磁層合板或功能梯度材料板和殼中波的傳播特性（彌散特性、特征波面、相速度和群速度）進(jìn)行了研究。在波動瞬態(tài)響應(yīng)方面的研究：HOU等[13]，WANG等[14]推導(dǎo)并分析了多鐵空心圓柱在軸對稱平面應(yīng)變變形下的瞬態(tài)響應(yīng);DAGA等[15]應(yīng)用四節(jié)點(diǎn)Runge-Kutta法的半解析有限單元法研究了磁-電-彈三相材料組成的簡支層合圓柱殼的瞬態(tài)響應(yīng)，對彈性圓柱殼和電-磁-彈耦合的圓柱殼的計算結(jié)果進(jìn)行了比較;WANG等[16] 借助商業(yè)軟件Abaqus建立了多鐵復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的三維有限元模型，使用直接時間積分法對雙層多鐵復(fù)合材料中波動瞬態(tài)響應(yīng)進(jìn)行了計算。

求功能梯度材料中的波動響應(yīng)的混合數(shù)值法首先由LIU等[17]提出，并在板、殼結(jié)構(gòu)中的波動力學(xué)研究中得到各國廣泛應(yīng)用[18-20]?；旌蠑?shù)值法的基本思想是在材料梯度變化的方向劃分層單元，在垂直梯度方向應(yīng)用解析法。劃分單元的目的主要是對材料參數(shù)的變化進(jìn)行近似并不是對位移進(jìn)行近似，因此，其解具有很高的精度。磁電彈性功能梯度材料結(jié)構(gòu)不僅材料參數(shù)梯度變化，而且存在多場耦合。對于有些材料參數(shù)變化梯度的結(jié)構(gòu)，要獲得結(jié)構(gòu)中波動瞬態(tài)響應(yīng)的解析解很困難;混合數(shù)值法比有限元法求解具有高效性，因為其單元數(shù)遠(yuǎn)少于有限元法的單元數(shù)。對于反問題來說，因為要反復(fù)調(diào)用正問題，正問題求解的高效性顯得尤為重要，因此用混合數(shù)值法求解具有優(yōu)越性。

本文假設(shè)電-磁-彈（electric-magneto-elastic，EME）板材料參數(shù)在厚度方向呈二次梯度變化，應(yīng)用能量變分原理和層單元法建立板的動力學(xué)微分非常方程，用傅立葉變換、反傅立葉變換方法和模態(tài)疊加法獲得板在力激勵和電極激勵下的波動瞬態(tài)響應(yīng)，研究磁電參數(shù)對電磁彈板中的波動瞬態(tài)響應(yīng)的影響。

1 理論模型

1.1 基本方程

如圖1所示，板厚為h的無限大電磁功能梯度材料板，在厚度方向上劃分上、中、下三個節(jié)面。

參考文獻(xiàn)：

[1]KALISKI S. Wave equations of thermo-electro-magnetoelasticity[J]. Procvibration Problems， 1965， 6（3）： 231-265.

[2]LEE J S， ITS E N. Propagation of Rayleigh waves in magneto-elastic media[J]. AMSE， 1992， 59（4）： 812-818.

[3]CALAS H， OTERO J A， RODRIGUEZ-RAMOS R， et al. Dispersion relations for SH wave in magneto-electro-elastic hetero- structures[J]. International Journal of Solids and Structures， 2008， 45（20）： 5356-5367.

[4]WEI J P， SU X Y. Wave propagation in a magneto-electro-elastic plate[J]. Science in China Series G： Physics， Mechanics & Astronomy， 2008， 51（6）： 651-666.

[5]代海濤， 程偉， 李明志. Hamilton體系下的功能梯度電磁彈性固體內(nèi)的導(dǎo)波研究[J]. 振動與沖擊， 2007， 26（12）： 79-83.

[6]CHEN P， SHEN Y P， Propagation of axial shear magneto-electro-elastic waves in piezoelectric piezomagnetic composites with randomly distributed cylindrical inhomogeneities[J]. International Journal of Solids and Structures， 2007， 44： 1511-1532.

[7]聶國權(quán)， 安子軍， 劉金喜. 偏壓電場作用下磁電彈板中Lamb 波傳播[J]. 固體力學(xué)學(xué)報， 2009， 30（4）： 333-340.

[8]謝根全， 申中原， 胡邦南. 電磁功能梯度材料層合板中表面波的彌散特性[J]. 振動與沖擊， 2009， 28（4）： 97-102.

[9]謝根全， 張學(xué)軍， 田建輝， 等. 磁電彈功能梯度材料板中的波動特性[J]. 復(fù)合材料學(xué)報， 2011， 28 （3）： 36-45.

[10]焦鳳瑀. 壓電和壓電半導(dǎo)體層狀結(jié)構(gòu)中彈性波傳播研究[D]. 北京： 北京科技大學(xué)， 2018.

[11]GUO X， WEI P J， LI L. Dispersion relations of elastic waves in one-dimensional piezoelectric/piezomagnetic phononic crystal with functional graded layers [J]. Ultrasonics， 2016， 70： 158-171.

[12]李琳， 周振功， 吳林志. 壓電壓磁復(fù)合材料中裂紋對反平面簡諧彈性波的散射問題[J]. 應(yīng)用力學(xué)學(xué)報， 2006， 23（1）： 101-105.

[13]HOU P F， LEUNG A Y T. The transient responses of magneto-electro-elastic hollow cylinders[J]. Smart Materials and Structures， 2004， 13： 762-776.

[14]WANG H M， DING H J. Transient responses of a special non-homogeneous magneto-electro-elastic hollow cylinder for a fully coupled axisymmetric plane strain problem[J]. Acta Mechanica， 2006， 184： 137-157.

[15]DAGA A， GANESAN N， SHANKAR K. Transient response of magneto-electro-elastic simply supported cylinder using finite element[J]. Journal of Mechanics of Materials and Structures， 2008， 3（2）： 375-389.

[16]WANG R F， HAN Q K， PAN E N. Transient response of a bi-layered multiferroic composite plate[J]. Acta Mechanica Solida Sinica， 2011， 24（1）： 83-91.

[17]LIU G R， HAN X， LAM K Y. Stress waves in functionally gradient materials and its use for material characterization[J]. Composites Part B： Engineering， 1999， 30（4）： 383-390.

[18]LIU G R， XI Z C， LAM K Y. A strip element method for analyzing wave scattering by a crack in an immersed composite laminate[J]. Journal of Applied Mechanic， 1999， 66： 898-904.

[19]XI Z C， LIU G R， LAM K Y. Strip element method for analyzing wave scattering by a crack in an immersed laminate composite cylinder[J]. The Journal of the Acoustical Society of America， 2000， 108（1）： 175-183.

[20]WANG Y Y， LAM K Y， LIU G R. A strip elemennnnt method for the transient analysis of symmetric laminated plates[J]. Solid and Structures， 2001， 38（2）： 241-259.

[21]LIU G R， TANI J J. Surface waves in functionally gradient piezoelectric plates[J]. ASME J Vibration Acoustics， 1994， 116： 440-446.

（責(zé)任編輯：周曉南）