徜徉在『數(shù)學(xué)經(jīng)驗課堂』的探尋路上

楊國華（特級教師）

讀者朋友，如果您曾讀過本刊2019年第9 期的卷首語《讓“經(jīng)驗課堂”成為一種美好樣態(tài)》一文，想必對“數(shù)學(xué)經(jīng)驗課堂”已經(jīng)有了初步的感性認(rèn)知。今天，我將結(jié)合王扣蘭老師的《延展度量工具共性 提升經(jīng)驗遷移能力——〈角的度量〉教學(xué)實踐與思考（一）》［以下簡稱課例（一）］和王笑老師的《基于經(jīng)驗視角 引之嘗試“自漁”——〈角的度量〉教學(xué)實踐與思考（二）》［以下簡稱課例（二）］這兩個課例再次為大家解讀“數(shù)學(xué)經(jīng)驗課堂”的理性認(rèn)識與實踐思考，以便大家對“數(shù)學(xué)經(jīng)驗課堂”有更好的認(rèn)知，亦企盼各位讀者能與我們共同攜手，構(gòu)建更臻完善的“數(shù)學(xué)經(jīng)驗課堂”體系，以不斷提升當(dāng)前的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效益。

自2011年《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》首次提出“幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗”這一課程目標(biāo)以來，我們用八年多的時間持續(xù)做了兩個江蘇省教育科學(xué)規(guī)劃課題，主題都是圍繞“幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗”而開展研究的。我們從最初的懵懂到現(xiàn)在的逐步厘清，主要遵循了三個研究的原則。一是“體系化”的研究視角。小學(xué)階段應(yīng)該幫助學(xué)生積累哪些基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，這些數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗在不同年級是如何上升的。二是“過程性”教學(xué)目標(biāo)的思考。學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗積累的重點在于“經(jīng)歷”與“體驗”，建立怎樣的一種教學(xué)模型才能促進(jìn)教師在常態(tài)課教學(xué)中也能自覺讓學(xué)生充分經(jīng)歷知識的發(fā)生、發(fā)展過程。三是“課程建設(shè)”視角的審視。課程標(biāo)準(zhǔn)基本理念第四條指出：學(xué)習(xí)評價的主要目的是為了全面了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程和結(jié)果，激勵學(xué)生學(xué)習(xí)和改進(jìn)教師教學(xué)。從課程建設(shè)視角來看，我們應(yīng)當(dāng)建立目標(biāo)多元、方法多樣的評價體系。

一、基點與架構(gòu)

根據(jù)史寧中、孔凡哲等教授學(xué)者的觀點，也是為了便于研究，我們從以下四個緯度開展了如何幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的相關(guān)研究：行為操作活動的經(jīng)驗、數(shù)學(xué)探究活動的經(jīng)驗、數(shù)學(xué)思維活動的經(jīng)驗和數(shù)學(xué)問題解決的經(jīng)驗。其中，行為操作活動的經(jīng)驗是指來自于外顯行為操作活動中感覺、知覺的經(jīng)驗，屬于直接經(jīng)驗。數(shù)學(xué)探究活動的經(jīng)驗既有外顯行為的操作活動，也有思維層面的操作活動，是融行為操作與思維操作于一體，并不完全脫離行為操作的數(shù)學(xué)活動，探究活動的經(jīng)驗一般是直接經(jīng)驗。數(shù)學(xué)思維活動的經(jīng)驗一般是指不借助外在的實在物體而依據(jù)思維材料進(jìn)行數(shù)學(xué)操作活動獲得的經(jīng)驗，主要包括歸納、類比、聯(lián)想、猜想、特殊與一般化等思維活動。數(shù)學(xué)問題解決的經(jīng)驗是指運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行問題解決的經(jīng)驗（包括發(fā)現(xiàn)問題和提出問題、分析問題和解決問題的經(jīng)驗等）。

學(xué)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的水平是螺旋上升的，其上升的過程一定是依附于特定的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的開展而逐步遞進(jìn)的。如為幫助學(xué)生較好積累數(shù)學(xué)問題解決的經(jīng)驗，當(dāng)前蘇教版教材從三年級起就專門安排了《解決問題的策略》單元，應(yīng)該說這是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材的一大特色和亮點。但事實上，對于學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決的經(jīng)驗積累，并非一、二年級或其他教材中就沒有，故我們從一年級起對教材進(jìn)行重新梳理，一共列出了24 個諸如“求被減數(shù)的實際問題”“簡單的兩步計算實際問題”等典型題材，并進(jìn)行系統(tǒng)設(shè)計與教學(xué)實踐，注重滲透，逐步積累與提升學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決的經(jīng)驗水平。

美國組織行為學(xué)教授庫伯曾提出：知識是經(jīng)驗的構(gòu)成與再構(gòu)成，學(xué)習(xí)是“始于經(jīng)驗、然后回歸于經(jīng)驗”“改造或者轉(zhuǎn)化經(jīng)驗、創(chuàng)造知識”的過程。按照這一理論觀點，隨著研究的不斷深入，我們明確提出了“經(jīng)驗課堂”的新觀點。其指向是讓學(xué)生真實經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的發(fā)生和發(fā)展過程，以讓學(xué)生對數(shù)學(xué)多一份體驗、感悟，不斷積累豐富的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)?！敖?jīng)驗課堂”有其操作模型：基于經(jīng)驗——喚醒經(jīng)驗——積累經(jīng)驗——提升經(jīng)驗——應(yīng)用經(jīng)驗。這五個步驟層層遞進(jìn)，但并不是每一節(jié)數(shù)學(xué)課都需要面面俱到，可以是其中的三四個環(huán)節(jié)，這從我們提供的兩個課例中可窺一斑。這個模型把學(xué)習(xí)內(nèi)容、經(jīng)驗積累與數(shù)學(xué)活動有機(jī)結(jié)合，既體現(xiàn)了在課堂教學(xué)中幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的基本路徑，又是指導(dǎo)我們進(jìn)行數(shù)學(xué)活動設(shè)計和課堂教學(xué)實施的基本依據(jù)。從這一角度而言，與其說它是一種教學(xué)模型，毋寧說它是一種教學(xué)思想。

二、設(shè)計與實踐

“數(shù)學(xué)經(jīng)驗課堂”的設(shè)計思維是讓學(xué)生站在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的正中央。這意味著我們教師始終應(yīng)當(dāng)保持兒童視角，要站在學(xué)生的角度設(shè)計教學(xué)。奧蘇貝爾曾說過：影響學(xué)生學(xué)習(xí)新知的唯一最重要的因素，就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么。從經(jīng)驗課堂設(shè)計的角度而言，也就是要基于學(xué)生的已有經(jīng)驗引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入數(shù)學(xué)的探究之旅。在《角的度量》這兩個不同的教學(xué)課例中，應(yīng)該說都遵循了這一立場。課例（二）從比較角的大小開始，而后在多種工具測量的過程中產(chǎn)生認(rèn)知沖突，激發(fā)統(tǒng)一測量工具的內(nèi)需。當(dāng)教師將折疊的∠3 打開后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這就是一個量角器時，他們驚訝于自己的發(fā)現(xiàn)：原來量角器就是由若干個角組成的，量角器中存有許許多多個大小不同的角。如此，學(xué)生在真正進(jìn)行角的度量時，就不再感到困難與陌生，他們自然就會認(rèn)識到量角無非就是在量角器中找到不同的角而已。我們知道，不管是測量長度還是角度，皆是在量（liáng）中產(chǎn)生了不同的量（liàng）。課例（一）即是基于學(xué)生對測量長度的已有認(rèn)知，從工具視角打通量角器與直尺之間的共性，不能不說是一種創(chuàng)新的思維，更是一種基于學(xué)生已有認(rèn)知經(jīng)驗的設(shè)計，從直尺測量長度的經(jīng)驗中讓學(xué)生感悟并自然而然將方法遷移到用量角器測量角度中去，設(shè)計可謂新穎有效。仔細(xì)推敲，兩種測量方法還真有異曲同工之妙。

“數(shù)學(xué)經(jīng)驗課堂”的重要特質(zhì)就是強(qiáng)調(diào)“學(xué)法五動”。即在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中，為了更好地讓學(xué)生積累豐富的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，我們要盡可能多地創(chuàng)造機(jī)會讓學(xué)生動手操作、動眼觀察、動腦思考、動口說理、動耳傾聽。在這兩個課例中，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)行為操作經(jīng)驗的要求是顯而易見的，學(xué)生只有在動手操作中才能較好地感悟到量角的技巧，形成真正的量角技能。但課例中的動手又并非是一種機(jī)械操作，它需要學(xué)生在操作中嘗試、探究、體悟，從而積累量角的豐富經(jīng)驗。在這一過程中，需要學(xué)生進(jìn)行觀察、思考，更需要他們將自己的心得體悟表達(dá)出來。細(xì)細(xì)品味，我們發(fā)現(xiàn)兩位教師都能抓住這一實踐要點，創(chuàng)設(shè)一切機(jī)會讓學(xué)生到臺前來表達(dá)數(shù)學(xué)想法，這是難能可貴的。這也是“數(shù)學(xué)經(jīng)驗課堂”一直倡導(dǎo)的，不管是哪一節(jié)課，我們的學(xué)生都需要到臺前表達(dá)他們的數(shù)學(xué)思維。我們堅持認(rèn)為，學(xué)生站在座位前講述與到臺前表達(dá)的心理機(jī)制、思維邏輯水平等都是不一樣的，一位學(xué)生能在臺前將自己的內(nèi)隱思維外顯化，這不僅是一種數(shù)學(xué)教學(xué)，更是一種數(shù)學(xué)教育。關(guān)于“動耳傾聽”亦如此，學(xué)生不僅要會思考、會表達(dá)，更要會傾聽，要能傾聽教師的分析，更要能傾聽同伴的講解，要在傾聽中學(xué)會思考、學(xué)會表達(dá)、學(xué)會成長。

“數(shù)學(xué)經(jīng)驗課堂”還注重學(xué)生反思意識的培養(yǎng)，即元認(rèn)知水平的提升。課例（一）中的最后一個環(huán)節(jié)，當(dāng)學(xué)生在交流分析“下面用量角器量角的方法是否正確”的最后一題時，學(xué)生主動與原先所學(xué)的知識進(jìn)行建構(gòu)聯(lián)系，認(rèn)為用量角器量角時沒有從0°刻度量起，這與用直尺量長度時沒有從0°刻度量起是一樣的，雖然不是最好的方法，但談不上是一個錯誤的方法。僅從這一點而言，學(xué)生的反思意識在明顯增強(qiáng)，他們不僅學(xué)會了學(xué)習(xí)，更學(xué)會了反思，并主動讓所學(xué)知識建立內(nèi)在關(guān)聯(lián)性。在課例（二）的課尾讓學(xué)生說說這一節(jié)課是怎樣探究“角的度量”過程，以及要求學(xué)生為量角器寫一份使用說明書，這些都是提升學(xué)生元認(rèn)知水平的最好表征方式。

三、順應(yīng)與統(tǒng)整

在“數(shù)學(xué)經(jīng)驗課堂”的探尋路上，我們提出了一個重要的理論觀點“思維的起點是經(jīng)驗，經(jīng)驗的發(fā)展是思維?！边@一觀點的提出順應(yīng)了學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升的內(nèi)在規(guī)律性。這里的順應(yīng)并非指迎合學(xué)生，而是教師在教學(xué)中能正視學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的已有經(jīng)驗與認(rèn)知發(fā)展水平，不斷地調(diào)整自己的教學(xué)預(yù)案，從而為學(xué)生的發(fā)展提供適切的學(xué)習(xí)時空。

我們知道“角的度量”，其本質(zhì)是將一個待測量的角與一個標(biāo)準(zhǔn)量（1°角）進(jìn)行比較，“1°角”的個數(shù)就是度量的結(jié)果。在課例（二）中，教師在學(xué)生認(rèn)識到量角器中存有若干個角后（將∠3 展開后即為量角器的模型），隨即組織學(xué)生自學(xué)課本，在交流環(huán)節(jié)學(xué)生自我發(fā)現(xiàn)“量角器中有180 個1°角”，這對學(xué)生來說應(yīng)該是一個重要的發(fā)現(xiàn)，他們模糊感覺到任何角都是由許許多多個1°角組成的。由此，教師順勢利導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生測量60°的∠A 時，學(xué)生很自然地指出∠A 里有6 個10°的角。這個10°角其實也是一個較大的單位量，只不過它里面包含了10 個1°角而已。至此，應(yīng)該說更進(jìn)一步加深了學(xué)生對量角器構(gòu)造的認(rèn)識，即量角器中確實存有若干個不同的角，量角器就是由180 個1°角組成的。在這個教學(xué)過程中，教師本來在預(yù)設(shè)時是要明確講解角的度量就是要看其中有多少個1°角的，但教師根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)不斷調(diào)整教學(xué)預(yù)案，完全將學(xué)生推到了數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)的正中央，讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)、操作、交流，順應(yīng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)在需求。當(dāng)再次讓學(xué)生測量45°角時，學(xué)生已經(jīng)能夠明確感受到其中就是包含了45 個1°角。這個教學(xué)過程完全順應(yīng)了學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，學(xué)生在操作活動中對角的度量經(jīng)驗不斷豐富，思維也在不斷提升。

“數(shù)學(xué)經(jīng)驗課堂”還強(qiáng)調(diào)統(tǒng)整性思想。這里的“統(tǒng)整”可以指不同學(xué)科間的橫向統(tǒng)整，即重視同一知識在不同學(xué)科領(lǐng)域的分布，以及學(xué)生在不同學(xué)科學(xué)習(xí)時已經(jīng)獲得的經(jīng)歷與體驗。同時，我們以為“統(tǒng)整”更表現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部縱向間——具有內(nèi)在關(guān)聯(lián)性知識之間的一種學(xué)習(xí)經(jīng)驗的積累。我們經(jīng)常說，所謂數(shù)學(xué)探究，就是學(xué)生將未知的、亟待解決的生活與數(shù)學(xué)問題嘗試轉(zhuǎn)化成用已有的知識與經(jīng)驗去獲得問題解決的過程。而這一表述其實就是要求數(shù)學(xué)教學(xué)需要具有統(tǒng)整思維，要能夠主動幫助學(xué)生建立知識之間的內(nèi)在聯(lián)系。如課例（一）中，教師從測量工具的共性視角出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究，借助直尺量長度的經(jīng)驗，很快明晰與理解了角的度量本質(zhì)。此后，讓學(xué)生在測量90°、135°、45°這三個角時，首先讓學(xué)生進(jìn)行估計分別是多少度的角，而后再進(jìn)行測量。再如，兩節(jié)課中都有將不同資源進(jìn)行整體呈現(xiàn)比較的過程。如此，通過多種活動方式、多元的資源呈現(xiàn)方式及幫助學(xué)生主動構(gòu)建知識的前后聯(lián)系等，這些都是“經(jīng)驗課堂”背景下統(tǒng)整思維的一種具體的外在行為表現(xiàn)，目的都是豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗，幫助學(xué)生積累與提升數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

徜徉在“數(shù)學(xué)經(jīng)驗課堂”的探尋路上，我們也一直努力試圖將學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗水平給予評價，當(dāng)然主要是質(zhì)性評價范疇的探究。即將每一種數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的發(fā)展分為三個水平：水平一為“模仿”階段；水平二為“在教師啟發(fā)下主動進(jìn)行數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建與問題的解決”；水平三為“能自主建立數(shù)學(xué)模型，主動進(jìn)行操作探究等，尋求問題的解決路徑”。在兩節(jié)課例中，顯然學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗水平都已處于水平二的層級上。限于篇幅，對于學(xué)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗水平的闡述將擇機(jī)再與同行們細(xì)細(xì)分享。