陳 剛

(江蘇省蘇州市昆山經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)高級(jí)中學(xué) 215300)

一、新教材人教A版選修二中導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)

1.導(dǎo)數(shù)概念及其意義

(1)通過實(shí)例分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時(shí)變化率的過程，了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，知道導(dǎo)數(shù)是關(guān)于瞬時(shí)變化率的數(shù)學(xué)表達(dá)，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵與思想;

(2)體會(huì)極限思想;

(3)通過函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

2.導(dǎo)數(shù)運(yùn)算

(2)能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)(限于形如f(ax+b))的導(dǎo)數(shù);

(3)會(huì)使用導(dǎo)數(shù)公式表.

3.導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

(1)結(jié)合實(shí)例，借助幾何直觀了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；對(duì)于多項(xiàng)式函數(shù)，能求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)借助函數(shù)的圖象，了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；能利用導(dǎo)數(shù)求某些函數(shù)的極大值、極小值以及給定閉區(qū)間上不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的最大值、最小值，體會(huì)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、極值、最大(小)值的關(guān)系.

二、導(dǎo)數(shù)在高考中所考查的內(nèi)容和解題策略

1.導(dǎo)數(shù)考查內(nèi)容和題型的研究

從高考對(duì)導(dǎo)數(shù)的要求看，考查共分為三個(gè)層次，一是考查導(dǎo)數(shù)公式，求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的幾何意義；二是導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，包括求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值等；三是綜合考查，如研究函數(shù)零點(diǎn)、證明不等式、恒成立問題、求參數(shù)范圍、極值點(diǎn)偏移等.

高考導(dǎo)數(shù)在壓軸題和小題中都有考查，難度控制在中等以上.復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)特別注意將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容與傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān)不等式、數(shù)列、函數(shù)圖象及函數(shù)單調(diào)性有機(jī)結(jié)合，設(shè)計(jì)綜合題，考查學(xué)生靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力.

例1(2020年新高考全國(guó)Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna．

(1)當(dāng)a=e時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；

(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍．

(1)當(dāng)a=e時(shí)，f(x)=ex-lnx+1，f′(1)=e-1.

求得切線方程為y=(e-1)x+2．

(2)按01分類求解.

最終可得，a的取值范圍是[1,+∞)．

注：本題具體指向?qū)W生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理三大核心素養(yǎng)，第(1)問考查導(dǎo)數(shù)幾何意義，第(2)問利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，考查綜合分析求解能力，分類討論思想和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想.

面對(duì)高考中的導(dǎo)數(shù)題?？汲Ｐ拢覀兡軌蜃龅降木褪莻淇济婺軌蛉采w，如導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用、單調(diào)性問題、極(最)值問題、零點(diǎn)問題、不等式的證明、參數(shù)范圍的確定的等.

2.導(dǎo)數(shù)常規(guī)考點(diǎn)及復(fù)習(xí)建議或解題策略

考點(diǎn)1：函數(shù)單調(diào)性，極值，最值的直接應(yīng)用

(1)導(dǎo)數(shù)中不含參數(shù)：步驟求定義域，求導(dǎo)，求極值點(diǎn)，列表，求極(最)值.

復(fù)習(xí)建議：第一問一定要穩(wěn).導(dǎo)函數(shù)不能求錯(cuò)，否則整個(gè)題目會(huì)一并掛掉.要求求導(dǎo)時(shí)記牢導(dǎo)數(shù)公式不要圖快，小心謹(jǐn)慎.

(2)導(dǎo)數(shù)中含參數(shù)：涉及分類討論，明確分類討論的標(biāo)準(zhǔn).導(dǎo)數(shù)中含參數(shù)討論問題更多是與ex及l(fā)nx結(jié)合，含分子二次函數(shù)型(參考定義域)，因式分解型，二次求導(dǎo)型，單根單調(diào)型.

例2 已知函數(shù)f(x)=alnx+x2(a≠0)，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

①當(dāng)a>0時(shí)，f′(x)>0，f(x)在(0，+∞)上遞增．

復(fù)習(xí)建議：備考時(shí)我們應(yīng)該對(duì)含參數(shù)討論單調(diào)性求極值最值這樣的知識(shí)點(diǎn)練習(xí)到位，爭(zhēng)取在導(dǎo)數(shù)的第一問上拿到滿分.

考點(diǎn)2：不等式恒成立問題

這類問題一般都設(shè)置在導(dǎo)數(shù)題的第二問，屬于有一定難度的問題.需要學(xué)生有一定的綜合能力，不僅對(duì)導(dǎo)數(shù)要有較深刻的理解，而且對(duì)于不等式、函數(shù)等知識(shí)要有比較好的掌握.

解題策略(1)分離變量求最值——分離時(shí)要特別關(guān)注是否需要分類討論，分類要結(jié)合條件看，不能忽略大前提.要理解清楚分離后求函數(shù)的最大值還是最小值；

(2)構(gòu)造函數(shù)求最值——如f(x)>g(x)恒成立，就是將上述的函數(shù)轉(zhuǎn)化為了另一個(gè)函數(shù)，并沒有本質(zhì)的區(qū)別；

(3)試根法——有效點(diǎn)縮小參數(shù)范圍是關(guān)鍵點(diǎn).

例3 已知函數(shù)f(x)=alnx+x2(a≠0).

(1)當(dāng)b=2時(shí)，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

注：(1) 研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要根據(jù)參數(shù)對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類討論，如：開口方向、是否有解、解是否在定義域的取值范圍內(nèi)、解之間的大小等；

(2) 劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，還要確定導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)和函數(shù)的間斷點(diǎn)．

(3) 個(gè)別導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不影響所在區(qū)間的單調(diào)性.

考點(diǎn)3：交點(diǎn)與根的分布

類型1.函數(shù)f(x)與g(x)(或與x軸的交點(diǎn))——方程根的個(gè)數(shù)問題；兩個(gè)函數(shù)的圖象有交點(diǎn)也就是方程組有解，但是對(duì)于超越函數(shù)我們往往解不出，那么轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)，再利用圖象研究其極值和最值成為了一種思路；

類型2.切線的條數(shù)問題——以切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為未知數(shù)的方程的根的個(gè)數(shù)；

類型3.極值點(diǎn)個(gè)數(shù)問題——導(dǎo)函數(shù)為0時(shí)根的個(gè)數(shù)(注意表格檢驗(yàn));

考點(diǎn)4.已知函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍.

解題策略(1)導(dǎo)函數(shù)在給定區(qū)間上的恒成立問題，然后回歸基礎(chǔ)題型，可采用分離參數(shù)法、構(gòu)造函數(shù)法、分類討論等方法；

(2)子集思想，即所給區(qū)間是函數(shù)單調(diào)區(qū)間的子集.

考點(diǎn)5：不等式的證明

解題策略(1)構(gòu)造函數(shù)

(2)放縮法

第一部分：對(duì)數(shù)式放縮

放縮成一次函數(shù)：lnx≤x-1;lnx

放縮成二次函數(shù)：lnx≤x2-x；

放縮成反比例函數(shù)：lnx>1-1/x.

第二部分：指數(shù)式放縮

ex>x>lnx，ex≥x+1，ex≥ex.

第三部分：三角函數(shù)式放縮

sinx

三、導(dǎo)數(shù)在教學(xué)中建議

1.立足課標(biāo)，激活教材

課本是教學(xué)之本，重視教材上一些基礎(chǔ)知識(shí)的形成過程，加強(qiáng)對(duì)教材例、習(xí)題的研究與再創(chuàng)造；

2.注重能力，培養(yǎng)素養(yǎng)

理解導(dǎo)數(shù)的基本概念；加強(qiáng)對(duì)邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)；多滲透化歸與轉(zhuǎn)化思想；

3.關(guān)注題型，抓住特征

三角函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，多項(xiàng)式函數(shù)，分?jǐn)?shù)函數(shù)，以及幾種函數(shù)的相互融合；

4.關(guān)注熱點(diǎn)，明確趨勢(shì)

函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，函數(shù)的零點(diǎn)(隱形零點(diǎn))，極值偏移問題，證明函數(shù)不等式(幾何背景)，不等式的恒成立問題，比較大小，解決實(shí)際問題等等.