一道課本習題的變式與探究

江蘇省海門中學(226100) 徐巧石

教材是學生學習的根本,是教師的教學依據(jù).在平常的教學中,教師要善于引導學生對課本例習題進行探究,挖掘題目背后的作用.筆者通過對課本中的一道習題的變式拓展、延伸發(fā)散,試圖說明如何對教材中的習題進行探究.

1 問題提出

蘇教版普通高中課程標準實驗教科書必修四第50 頁有一道題: 一鐵棒欲通過如圖1 所示的直角走廊,試回答下列問題: (1)證明棒長L(θ) =; (2)求L(θ)的最小值(用計算器或計算機);(3)解釋(2)中所求得的L是能通過這個直角走廊的鐵棒長度的最大值.

圖1

2 問題一般化

一根長為l米的鐵棒(厚度忽略不計)欲通過如圖2 所示的直角走廊, 其中, 走廊兩個走向的寬度分別為a米和b米.如圖2, 設(shè)點A,B在走廊的壁上,AB經(jīng)過走廊角頂點C,AB與走廊一壁的夾角為θ,則AC=AB=鐵棒要通過走廊需滿足l≤AB對0＜θ ＜恒成立,令f(θ)=

情形1: 若a=b, 即走廊兩個走向的寬度相等時,f(θ) =令t= sinθ+ cosθ,則令當且僅當時取等號,所以f(θ)min=所以所以鐵棒欲通過直角走廊的最大長度為米.

情形2: 若a／=b,即走廊兩個走向的寬度不相等時,由

3 問題的探究

思考方向一保持走廊形狀不變,改變鐵棒的形狀.

探究1將直的鐵棒變?yōu)閺澋蔫F棒情況如何?

如圖3.1.1 彎形鐵棒A′B′C′D′(厚度忽略不計) , 其中A′B′=C′D′= 1,B′C′=l,∠A′B′C′= ∠B′C′D′=現(xiàn)彎形鐵棒欲通過如圖所示的直角走廊,走廊兩個走向的寬度分別為a米和b米.

情形1: 按圖3.1.2 所示方式通過, 設(shè)點A,D在走廊的壁上,AB=CD= 1, ∠ABC= ∠BCD=,BC經(jīng)過走廊的直角頂點H, 延長BC交走廊兩壁分別于E,F, 設(shè)∠GEF=θ, 則EF=在ΔAEB中, 由正弦定理得, 所以BE=同理在ΔFCD中可得FC=所以BC+－,BC=取a=b時,f(θ) =令t=sinθ+cosθ,則t=sinθcosθ=,令令

當且僅當m=時取等號, 所以BCmin=所以此時鐵棒欲通過直角走廊的BC最大長度為

情形2: 按圖3.1.3 所示方式通過, 在ΔAEB中, 由正弦定理得所 以BE=同理在ΔCDF中所 以所以令f(θ) =,θ ∈取a=b時,f(θ) =令t= sinθ+ cosθ, 則sinθcosθ=,f(θ) =令m=2at－1∈(2a－1,－1],令

當且僅當m=時取等號, 所以所以所以此時鐵棒欲通過直角走廊的BC最大長度為米.

綜上所述,彎形鐵棒通過直角走廊按圖3.1.2 所示方式通過l的最大長度為

圖3.1.1

圖3.1.2

圖3.1.3

探究2將鐵棒變?yōu)閷挾葹? 的矩形平板小車,通過直角走廊的最大長度為多少?

如圖3.2.1 一轉(zhuǎn)動靈活的平板車, 其平板面為矩形A′B′C′D′, 其寬A′B′= 1 米, 長B′C′=l米.現(xiàn)平板車欲通過直角走廊, 走廊兩個走向的寬度分別為a米和b米.如圖3.2.2 矩形ABCD的頂點A,D在走廊的壁上,AB=CD= 1 米,BC經(jīng)過走廊的頂點H, 延長BC分別交走廊的兩壁于E,F, 設(shè)∠AEF=θ, 則在ΔABE中,在ΔDCF中,所 以所以令特別地, 取a=b時, 令t= sinθ+ cosθ, 則t=sin(θ+)∈(1,sinθcosθ=令m= 2at －1∈令

當且僅當m=時取等號, 所以BCmin=所以所以平板小車欲通過直角走廊的最大長度為米.

圖3.2.1

圖3.2.2

圖3.3.1

圖3.3.2

探究3若平板小車變?yōu)槿鐖D3.3.1 兩端為半圓形的小車,通過直角走廊的最大長度為多少?

如圖3.3.1 一轉(zhuǎn)動靈活的平板車, 其平板面為矩形A′B′C′D′與兩個半圓弧組成,半圓直徑A′B′=C′D′= 1米, 長B′C′=l米.現(xiàn)平板車欲通過直角走廊, 走廊兩個走向的寬度分別為a米和b米.如圖3.3.2 半圓O,O′分別于直角走廊壁切于點G,T,AB=CD= 1 米,BC經(jīng)過走廊的頂點H, 延長BC分別交走廊的兩壁于E,F, 設(shè)∠GEF=θ, 則在ΔOBE中,BE=在ΔO′CF中,CF=因為EF=所以BC+所以BC=,取a=b時,BC=同理探究2 可得BC的最小值為當且僅當時取等號.所以所以平板小車欲通過直角走廊的最大長度為米.

思索方向二: 改變走廊形狀

探究4將直角走廊變?yōu)榉侵苯亲呃?通過直角走廊的最大長度為多少?

一根長為l米的鐵棒(厚度忽略不計) 欲通過如圖3.4所示的走廊, 其中, 走廊轉(zhuǎn)角處的角度為α(0＜α ＜π),走廊兩個走向的寬度分別為a米和b米.如圖, 設(shè)點A,B在走廊的壁上,AB經(jīng)過走廊角頂點C,AB與走廊一壁的夾角為θ, 則AC=鐵棒要通過走廊需滿足l≤AB對0＜θ ＜π － α恒成立, 令當a=b時,

圖3.4

令t=所以BC=當t= 1, 即時,BC有最小值所以鐵棒欲通過直角走廊的最大長度為米.當a ／=b時,可利用導數(shù)求相應(yīng)的最小值.

探究5將直角走廊變?yōu)閳A角走廊,通過走廊的鐵棒的最大長度為多少?

一根長為l米的鐵棒(厚度忽略不計)欲通過如圖3.5.1所示的走廊, 其中, 走廊轉(zhuǎn)角處的內(nèi)壁與外壁均為半徑為R的圓弧, 走廊兩個走向的寬度分別為a米和b米.如圖3.5.2, 設(shè)點A,B在走廊的壁上, 經(jīng)AB與走廊內(nèi)壁圓弧切于點H,AB與走廊一壁的夾角為θ, 延長OQ交走廊壁與點T, 交AB于S, 過點A作PO的平行線交QO的延長線于點M, 則TS=OT－OS=a+R－,在RtΔBTS中,BS=所以

鐵棒要通過走廊需滿足l≤AB對0＜θ ＜恒成立, 令特別地當a=b時,令則BC=令則所以

圖3.5.1

圖3.5.2

思索方向三改變設(shè)問方式

探究6(1)已知鐵棒的長度l,求等寬走廊的寬至少為多少,鐵棒能夠通過走廊?

由2 問題的一般化可知, 當a=b, 即走廊兩個走向的寬度相等時,令t=sinθ+cosθ,則則l≤對恒成立, 令g(t) =, 在上單調(diào)遞增, 所以所以a≥所以等寬走廊的寬至少為米時,鐵棒能夠通過走廊.

(2)已知鐵棒的長度l與走廊一邊的寬度b(l ＞b),當鐵棒能夠通過走廊時,求另一邊寬a的最小值.

由2 問題的一般化可知l≤令h(θ) =lcosθ－則

令h′(θ) = 0,則sinθ=設(shè)sinθ0=當θ ∈(0,θ0)時,sinθ ＜所以h(θ)在(0,θ0)上單調(diào)遞增, 當時, sinθ ＞,h′(θ)＜0, 所以h(θ) 在上單調(diào)遞減, 所以h(θ)max=lcosθ0－所以a≥h(θ0).即鐵棒能通過直角走廊時,走廊另一走向的寬度的最小值為h(θ0)米.

4 結(jié)語

教師的教學根本是教材,在教學過程中教師應(yīng)該深度挖掘例習題的作用與編者的用意.通過對習題的探究,培養(yǎng)學生的探究意識,養(yǎng)成探究的習慣,引導學生從數(shù)學的角度觀察問題、提出問題、用數(shù)學的語言表達問題,用數(shù)學的思維解決問題,真正的提高學生的數(shù)學核心素養(yǎng).