帶有線性記憶的波方程在Rn上的時間依賴吸引子

吳曉霞，馬巧珍

( 西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，甘肅 蘭州730070)

1.引言

我們考慮如下帶有線性記憶的波方程

時間依賴吸引子的存在性，其中u(x，t)是未知函數(shù)，h(·) ∈L2(Rn).η = ηt(x，s) := u(x，t)-u(x，t-s)，s ∈R+，ε(t)和f(u)分別滿足下面的條件:

(F1) ε是單調(diào)遞減的并滿足:

特別地，存在L ＞0使得

(F2) 非線性項f ∈C1(R)，f(0)=0并滿足

其中，當(dāng)n=1，2時，0 ≤p ＜∞; 當(dāng)n ≥3時，0 ≤p(n-2)≤2.

如文[1-3]，對ηt(x，s) = u(x，t)-u(x，t-s)兩邊分別關(guān)于t和s求導(dǎo)，計算后可將(1.1)化為下面的系統(tǒng):

相應(yīng)的初始條件為

其中

記憶核μ(·)滿足以下條件:

其中ρ是正常數(shù).

方程(1.1)可以用來描述具有衰減記憶的粘彈性固體，其中耗散性由固體周圍的介質(zhì)，混合材料，相場以及波現(xiàn)象所體現(xiàn)，見文[4-6].

μ恒等于零時，方程(1.1)為阻尼波方程，這類問題已經(jīng)被許多作者研究過.例如，當(dāng)ε為常數(shù)時，文[7-12]在半群的框架下，利用全局吸引子的概念研究了解的長時間行為.而當(dāng)ε依賴于時間且為正遞減函數(shù)時，我們知道即使外力項不依賴于時間，系統(tǒng)(1.1)仍然為非自治的，其吸引子仍在非自治的框架下理解，見文[13-18].作者在文[19-20]中研究了有界域上帶有非線性阻尼和線性記憶的波方程時間依賴吸引子的存在性，文[21-23]考慮了無界域上波方程解的長時間行為.無界域上plate方程時間依賴吸引子的存在性在文[24]中被研究.然而，時間依賴全空間Rn上帶有線性記憶的波方程時間依賴吸引子的存在性目前還沒有任何結(jié)果，因此我們在本文研究這一問題解的長時間行為.

2.準(zhǔn)備知識

不失一般性，記H =L2(Rn)，內(nèi)積和范數(shù)分別為〈·，·〉和‖·‖.對于s ∈R+，記Hs=Hs(Rn)=并賦予以下內(nèi)積和范數(shù):

特別地，

對于t ∈R，s ∈R+，有下面的時間依賴空間=Hs+1×Hs×(R+;Hs+1).

當(dāng)s = 0時，記時間依賴空間為: Ht= H1×H ×(R+;H1)，對應(yīng)的范數(shù)為:=

對?t ∈R，設(shè)Xt是一族賦范線性空間，下面介紹Xt的R-球:

兩集合(非空) B，C ?Xt的Hausdorff半距離表示為:

對于任意給定?＞0，集合B ?Xt的?-領(lǐng)域定義為

下面給出基本概念和抽象結(jié)果，詳見文[13，18，24].

定義2.1設(shè){Xt}t∈R是一族賦范線性空間.稱雙參數(shù)算子族{U(t，τ):Xτ→Xt，t ≥τ，τ ∈R}是一過程，如果它滿足:

i) U(τ，τ)=Id是Xτ上的恒等映射，?τ ∈R;

ii) U(t，s)U(s，τ)=U(t，τ)，?t ≥s ≥τ.

定義2.2設(shè)有界集Ct?Xt，我們說集合族C = {Ct}t∈R是一致有界的，如果存在常數(shù)R ＞0，使得Ct?Bt(R)，?t ∈R.

定義2.3一致有界集族B = {Bt}t∈R是過程U(t，τ)的時間依賴吸收集，如果對任意的R ＞0，存在常數(shù)t0，使得τ ≤t-t0?U(t，τ)Bτ(R)?Bt.

定義2.4一致有界族K={Kt}t∈R是拉回吸引的，若對所有?＞0，族{(Kt)}t∈R是拉回吸收的.

定義2.5過程U(t，τ)的時間依賴吸引子是滿足以下性質(zhì)的最小的族U={At}t∈R:

i) 任意的At在Xt中是緊的;

ii) U是拉回吸引的，即對任意一致有界族C={Ct}t∈R，成立:

定理2.6[24]設(shè){Xt}t∈R為一族Banach空間且C = {Ct}t∈R為{Xt}t∈R中的一致有界子集族.稱定義在{Xt}t∈R×{Xt}t∈R上的函數(shù)，(·，·)為Ct×Ct上的漸近壓縮函數(shù)是指:對任意t ∈R與任意序列?Ct，存在一個子序列使得:

其中τ ≤t.我們用C(Ct)表示{Ct}t∈R×{Ct}t∈R上的漸近壓縮函數(shù)全體.

定理2.7[24]設(shè)U(·，·)為{Xt}t∈R中的一族過程且對任意?＞0，存在τ ＜T(?) ≤t，∈C(CT)，使得對任意固定t ∈R，

則U(·，·)是漸近壓縮過程.

定理2.8[24]若過程U(·，·)是漸近壓縮的，則它是拉回漸近緊的.

定理2.9[24]設(shè)U(·，·)是Banach空間族{Xt}t∈R中的過程，則{Xt}t∈R中U(·，·)有一個時間依賴全局吸引子U*={t∈R如果它滿足下面的條件:

i) U(·，·)有拉回吸收族B={Bt}t∈R;

ii) U(·，·)是Bt上的拉回漸近壓縮過程.

引理2.10[3]令F(u) =f(y)dy.根據(jù)(1.7)，取0 ＜ν = min{1，λ}，則存在?(ν) ＞0，ci(ν)＞0(i=1，2)，使得

引理2.11[3]設(shè)ψ，r1，r2是非負(fù)局部可積函數(shù)，對δ ＞0，滿足下面的微分不等式:

同時設(shè)定

則

3.適定性和時間依賴吸收集

定理3.1[25-26]設(shè)(1.2)-(1.5)成立，則對任意初值zτ= (u0，u1，η0) ∈Hτ，在Ht中存在問題(1.1)的唯一解z(t)=(u(t)，ut(t)，ηt(s))，且對任意τ ∈R，t ≥τ，滿足

此外，設(shè)zi(τ) ∈Hτ是滿足‖zi(τ)‖Hτ≤R(i = 1，2) 的兩個初值，且zi(t)是(1.1)的解.則存在在C =C(R)＞0，使得

因此，系統(tǒng)(1.6)-(1.7)生成一個強(qiáng)連續(xù)過程U(t，τ)，其中U(t，τ) : Hτ→Ht，即U(t，τ)z(τ) ={u(t)，ut(t)，ηt(s)}.

引理3.2假設(shè)(1.2)-(1.5)成立，當(dāng)初值z(τ)∈Hτ，存在C ＞0，使得

證設(shè)δ ＞0，取j =0，1定義

選取足夠大的常數(shù)Λ ＞0，使得對任意t，Ej(t)≥0.此外，定義

用v =ut+δu與(1.6)在L2(Rn)中做內(nèi)積，得到

先用jηt與(1.6)2在(R+，H)上做內(nèi)積，再用ηt與(1.6)2在R+，H1)上做內(nèi)積后相加得到

根據(jù)(1.10)有

由(1.2)且將(3.3)和(3.4)加起來，并利用(3.5)有

根據(jù)Young不等式，(1.9)和(3.2)則有

其中C2=2m0/ρC1且

利用(2.2)，有

其中C3=2δc1.

現(xiàn)在設(shè)j =0，1，利用引理2.11，得

其中M :R+→R+是依賴于C4，C5，δ的遞增函數(shù).結(jié)合(3.12)有

其中ψ(y)=4C2ye-δy(當(dāng)y →∞，ψ(y)→0).由于E0(τ)≤E1(τ)，從(3.14)-(3.15)得到

因此，根據(jù)Young不等式及嵌入H1L4(Rn)，存在正常數(shù)C6，使得

從而，對z(τ)∈Hτ，存在C ＞0以及兩個有界遞增函數(shù)C1i: R+→R+，i =1，2，以及(3.16)中的函數(shù)ψ，根據(jù)(3.16)和(3.17)可得

從引理3.2，我們可以得下面的結(jié)果:

引理3.3設(shè)條件(1.2)-(1.5)成立，對于引理3.2中的C ＞0，B = {Bt(C)} 為問題(1.1)生成過程{U(t，τ)}的時間依賴吸收集，且對R ≥C，有

證結(jié)合(3.11)，且δ =0，得到

在[τ，t]上積分，當(dāng)t →∞時，(3.18)就得到了證明.

對于非線性項f，為了得到無界域上過程的漸近緊性，我們還需要下面的條件:

其中l(wèi) ＞0.

4.尾部估計

引理4.1設(shè)條件(1.2)-(1.5)成立，則對任意的?＞0，存在T1= T1(?)，使得當(dāng)t ≥T1且k =k(?)＞0，成立

證選擇合適的光滑函數(shù)θ，使得對任意的s ∈R+，有0 ≤θ(s) ≤1.具體地，當(dāng)0 ≤s ≤1時，有θ(s)=0; 當(dāng)s ≥2 時，有θ(s)=1，且存在一正常數(shù)使得max{|θ′(s)|，θ′′(s)|}≤

先給(1.6)2乘以并在Rn上做積分，然后用ηt與(1.6)2在(R+，H) 上做內(nèi)積，最后用ηt與(1.6)2在(R+，H1)上做內(nèi)積，記算后相加得

根據(jù)(1.10)有

將(4.1)和(4.2)加起來，并利用(4.3)有

根據(jù)Young不等式，(1.9)和(3.2)則有

接下來，我們處理上述方程中的每一項，首先我們有

此外有

結(jié)合上面的估計得到

設(shè)k1(?)＞0，且?0 ＜?＜1，使得k ≥k1(?)，則

同理，設(shè)k2(?)＞0，且?0 ＜?＜1，使得k ≥k2(?)，則

此外，存在k3(?)＞0，當(dāng)k ≥k3(?)，使得

選取k0=max{k1(?)，k2(?)，k3(?)}，當(dāng)k ≥k0時，有

在[τ，t]上應(yīng)用Growall引理，并結(jié)合引理3.3，得到

對給定?＞0，設(shè)K =K(?)，存在T1=T1(?)，當(dāng)t ≥T，且k ≥K(?)，有

則得到

5.時間依賴全局吸引子的存在性

定理5.1設(shè)條件(1.2)-(1.5)成立，問題(1.6)生成的過程U(t，τ) : Hτ→Ht在H1(Rn)×L2(Rn)×(R+;H1(Rn))中存在一個不變的時間依賴全局吸引子U={At}t∈R.

接下來，我們利用漸近壓縮函數(shù)方法得到系統(tǒng)(1.6)時間依賴吸引子的存在性.

引理5.2設(shè)條件(1.2)-(1.5)成立，h ∈L2(Rn)，問題(1.6)的解(un，unt，(s))對應(yīng)的初值∈BT.則對任意k ＞0 及T(?)＞0，令Ωk={x ∈Rn:|x|＜k}，成立:

在L∞(T，t;L2(Ωk))中，unt→ut弱*收斂.

在L∞(T，t;(Ωk))中，un→u弱*收斂.

在L2(T，t;(Ωk))中，un(t)→u(t)強(qiáng)收斂.

在L2中，un(T)→u(T)和un(t)→u(t)強(qiáng)收斂.

先驗估計設(shè)(ui(t)，uit(t)，(s))為(1.6)的解，對應(yīng)的初值為(∈{Bτ}τ∈R，且

則ω(t)滿足

定義

用ωt與(5.1)在L2(Rn)上作內(nèi)積，有

用ζt與在(R+，H)上做內(nèi)積得到

將(5.3)與(5.4)相加得

根據(jù)(1.10)，則有

結(jié)合(5，5)-(5.7)有

對(5.8)在[s，t]上作內(nèi)積，有

其中T ≤s ≤t，L ＜α，根據(jù)(1.3)式，得到

用ω與(5.1)式在Rn×[T，t]上作積分，得到

根據(jù)(1.10)式有

結(jié)合上式得

結(jié)合(5.11)(5.12)式，可得

給(5.9)式在[T，t]上作積分，有

根據(jù)(5.13)和(5.14)有

設(shè)

且

則有

定理5.3設(shè)條件(1.2)-(1.5)成立，則過程{U(t，τ)}是漸近壓縮的，即，對任意固定t ∈R，有界序列且任意當(dāng)n →∞時，τn→-∞，序列在H1(Rn)×L2(Rn)×(R+;H1(Rn))中是準(zhǔn)緊的.

證設(shè)

且

同樣地當(dāng)m，n足夠大，我們可以得到

因此我們可以得到

接下來，對任意固定?＞0，令T ＜t使得t-T足夠大，則

因此，根據(jù)定義2.6，2.7，對任意固定T，我們只需要證明(5.23)中是壓縮函數(shù).

現(xiàn)在，我們將處理(5.18)中的每一項.

首先，從引理3.2和引理5.2中，得到

定理5.1的證明由引理3.2可知，U(t，τ)存在一致有界的時間依賴吸收集{Bt}t∈R.由引理4.1和引理5.3，可知U(t，τ)是漸近緊的，從而得到了H1(Rn)×L2(Rn)×(R+;H1(Rn))中時間依賴吸引子U={At}t∈R的存在性.