扁擔(dān)挑物的動力學(xué)分析

劉榮梅

(南京航空航天大學(xué)航空學(xué)院，南京210016)

扁擔(dān)，作為一種傳統(tǒng)而簡單的搬運(yùn)貨物的工具，即使在今天，仍然在許多農(nóng)村和交通不便的地方，特別是田間地頭，發(fā)揮著重要的作用。一根看似簡單的扁擔(dān)，包含了懸臂梁、等強(qiáng)度梁、固有頻率、強(qiáng)迫振動、振動耦合等若干力學(xué)概念。張義同等[1]通過對扁擔(dān)的力學(xué)行為的研究，揭示了扁擔(dān)優(yōu)良的傳遞載荷的性能。尤明慶[2]研究了人行走時肩部垂直激勵和水平激勵引起的重物振動，當(dāng)扁擔(dān)-重物系統(tǒng)的固有頻率大于人行走的頻率時，可以使移步時肩部載荷小于重物。邱信明[3]從扁擔(dān)負(fù)重的靜力學(xué)特點(diǎn)、挑擔(dān)行走過程的受迫振動以及扁擔(dān)的結(jié)構(gòu)形狀和材料等方面分析了扁擔(dān)是否省力的問題。許宇寧等[4]建立了具有軀干的扁擔(dān)負(fù)重模型，分析了相關(guān)參數(shù)對負(fù)重行走腰部力矩的影響。人挑擔(dān)行走時，肩部承受的鉛垂載荷由靜載荷(即重物重力)和鉛垂附加動載荷組成，扁擔(dān)的主要作用就是產(chǎn)生周期性變化的鉛垂附加動載荷，當(dāng)鉛垂附加動載荷的峰谷處于移步階段、峰頂處于雙腿支撐階段且鉛垂附加動載荷達(dá)到一定值時，有利于人的行走，反之則不利于人的行走。

本文首先建立了扁擔(dān)挑物的動力學(xué)模型，得到了扁擔(dān)挑物的動力學(xué)方程，分析了人挑擔(dān)行走時肩部的運(yùn)動。通過數(shù)值計算，給出了重物類似于單擺的振動頻率、挑運(yùn)者的步行頻率和扁擔(dān)-重物系統(tǒng)鉛垂方向的振動頻率三者之間的協(xié)調(diào)關(guān)系，即當(dāng)人步行的頻率為扁擔(dān)-重物系統(tǒng)鉛垂方向固有頻率的 70%～80%時，肩部鉛垂附加動反力為重物重力的30%左右且與肩部鉛垂運(yùn)動同相，當(dāng)重物類似于單擺的振動頻率為人步行頻率的 25%～30%時，重物的擺角和肩部受到的水平附加動反力均較小，這些都有利于人挑擔(dān)行走。

1 扁擔(dān)挑物的動力學(xué)模型

扁擔(dān)挑物時，扁擔(dān)的中部擱置在人的肩部O點(diǎn)上，人在挑擔(dān)行走時肩部既有前后的運(yùn)動x0，也有上下的運(yùn)動y0，如圖1所示。如果不考慮扁擔(dān)繞肩部O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動，可以只對其中的一半(如右半部分)進(jìn)行研究，這時扁擔(dān)可以簡化為根部既有前后運(yùn)動x0、也有上下運(yùn)動y0的懸臂梁。由于扁擔(dān)彎曲變形，扁擔(dān)的端點(diǎn)相對肩部有上下的振動，同時重物還會繞扁擔(dān)的端點(diǎn)擺動。

圖1 扁擔(dān)－重物系統(tǒng)

考慮扁擔(dān)的等效剛度系數(shù)為k，等效黏性阻尼系數(shù)為c，則扁擔(dān)挑物的力學(xué)模型如圖2所示，其中A點(diǎn)相對于O點(diǎn)只有鉛垂方向的運(yùn)動，沒有水平方向的運(yùn)動。

圖2 扁擔(dān)挑物的力學(xué)模型

以整個系統(tǒng)的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，A點(diǎn)鉛垂方向的位移y和重物B繞A點(diǎn)的轉(zhuǎn)角θ為廣義坐標(biāo)，根據(jù)理論力學(xué)[5]可以得到系統(tǒng)的動力學(xué)方程為

式中，m為重物的質(zhì)量，l為重物質(zhì)心C到A點(diǎn)的距離 (即懸繩長度)，JC為重物繞質(zhì)心C軸的轉(zhuǎn)動慣量，c′為重物繞A點(diǎn)擺動的等效黏性阻尼系數(shù)。

人行走時肩部鉛垂方向的運(yùn)動可寫為[2]

式中，δ為肩部上下運(yùn)動的幅度，ω為人步行的圓頻率，人挑擔(dān)時步行的頻率f約為 1.5～2 Hz，由ω=2πf知人步行的圓頻率約為9～13 rad/s。人步行時雙腿輪流支撐和擺動，雙腿支撐時肩部處于較低位置，而移步時肩部處于較高位置。

根據(jù)文獻(xiàn)[2]，人行走時由于雙腳交替向前，肩部水平方向的運(yùn)動可表示為

式中，v0為人前進(jìn)的平均速度，η為肩部前后運(yùn)動的振幅，ωP為人步行圓頻率的一半，即ωP=ω/2。

人挑擔(dān)時肩部承受的附加動反力的水平分量和鉛垂分量分別為

如果考慮到前后兩個重物的話，肩部實(shí)際承受的附加動反力是上述結(jié)果的2倍。

2 扁擔(dān)挑物的動力學(xué)數(shù)值計算

設(shè)扁擔(dān)的長度為 2L=1.5 m，制作扁擔(dān)木材的彈性模量E=10 GPa，扁擔(dān)中部的橫截面寬度b0=80 mm、厚度h0=30 mm。假設(shè)扁擔(dān)的寬度保持不變，厚度按等強(qiáng)度梁設(shè)計，根據(jù)材料力學(xué)[6]可以算得其端部在單位載荷作用下的撓度為(恰好等于等截面時的2倍)，因此其剛度系數(shù)為

再假設(shè)m=30 kg，JC=0.8 kg·m2，l=0.8 m，c=40 N·s/m，c′=10 N·m·rad/s，δ=0.01 m，η=0.01 m，分析肩部受到的附加動反力如下。

圖3 肩部受到的鉛垂附加動反力Fy和垂向運(yùn)動y0

2.1 肩部鉛垂附加動反力

設(shè)人步行的頻率分別為1.8 Hz，2.1 Hz，2.5 Hz和 2.8 Hz，數(shù)值求解方程(1)，(2)和 (6)，得到穩(wěn)定時肩部承受的鉛垂附加動反力Fy，如圖3中的實(shí)線所示，圖3中的虛線表示肩部鉛垂方向的運(yùn)動y0。

肩部實(shí)際承受的鉛垂壓力為mg-Fy。由圖3(a)可見，肩部鉛垂附加動反力Fy約為重物重力的30%，并與肩部鉛垂運(yùn)動y0同相，因此移步時肩部承受的鉛垂壓力最小，約為重物重力的70%，而雙腿支撐時肩部承受的鉛垂壓力最大，約為重物重力的130%，這是有利于人挑擔(dān)行走的[2]。圖 3(d)正好與此相反，肩部鉛垂附加動反力Fy和肩部鉛垂運(yùn)動y0反相，移步時肩部承受的鉛垂壓力最大，約為重物重力的140%，因而不利于人挑擔(dān)行走。圖3(b)和圖3(c)中肩部鉛垂附加動反力Fy和肩部鉛垂運(yùn)動y0的相位差在 π/2附近，同樣不利于人挑擔(dān)行走。此外，圖 3(b)和圖 3(c)中附加動反力達(dá)到了重物重力的70%以上，肩部承受的最大鉛垂壓力過大(約為重物重力的170%)，人體負(fù)重過大，容易造成損傷。

若只考慮扁擔(dān)-重物系統(tǒng)鉛垂方向振動，其固有圓頻率固有頻率f=0ω0/(2π)=2.3 Hz。進(jìn)一步計算發(fā)現(xiàn)，當(dāng)人步行的頻率為該固有頻率的 70%～80%時，肩部鉛垂附加動反力與肩部鉛垂運(yùn)動同相且大小適中，對人挑擔(dān)行走比較有利，圖3(a)即屬于這種情況。反過來，如果人行走的頻率不變，在重物重量增加時，應(yīng)適當(dāng)提高扁擔(dān)的剛度k(根據(jù)式(7)，可以增加扁擔(dān)橫截面的寬度和高度，或者減小扁擔(dān)的長度)。文獻(xiàn)[1]認(rèn)為挑夫步行的頻率大約為扁擔(dān)-重物系統(tǒng)固有頻率的2倍時，挑夫可以走得既快又省力。這個結(jié)論值得探討，因?yàn)檫@時肩部鉛垂附加動反力和肩部鉛垂運(yùn)動反相，應(yīng)該不利于挑夫行走。

2.2 肩部水平附加動反力

為了研究肩部承受的水平附加動反力，設(shè)定人步行的頻率為1.8 Hz，改變懸繩長度，使得重物質(zhì)心C到A點(diǎn)的距離分別為l=0.4 m，0.8 m，1.2 m和1.6 m，數(shù)值求解方程(1)，(2)和(5)，得到穩(wěn)定時重物擺動角位移θ和肩部承受的水平附加動反力Fx，如圖4和圖5所示。

由圖4和圖5可以看出，懸繩越長，重物擺動角位移θ越小，因而肩部承受的水平附加動反力Fx也就越小，因此懸繩應(yīng)盡可能長，但懸繩長度超過1.2 m后，重物擺動角位移和肩部承受的水平附加動反力的減小不顯著。

圖4 重物擺動角位移θ

圖5 肩部受到的水平附加動反力Fx

3 結(jié)論

扁擔(dān)挑物的過程中存在三種頻率，即重物類似于單擺的振動頻率、挑運(yùn)者的步行頻率和扁擔(dān)-重物系統(tǒng)鉛垂方向的振動頻率，考慮挑擔(dān)的實(shí)際情況，為了獲得較好的挑擔(dān)行走體驗(yàn)，三種頻率之間需要相互協(xié)調(diào)。

(1)當(dāng)人步行的頻率為扁擔(dān)-重物系統(tǒng)鉛垂方向振動的固有頻率的70%～80%時，肩部受到的鉛垂附加動反力與肩部的鉛垂運(yùn)動同相且鉛垂附加動反力適中。

(2)當(dāng)重物類似于單擺的振動頻率為人步行頻率的25%～30%時，重物的擺角和肩部受到的水平附加動反力均較小。