張河山，鄧兆祥，楊明磊，羅 杰，徐 進

(1. 重慶交通大學(xué)交通運輸學(xué)院，重慶 400074；2. 重慶大學(xué)汽車工程學(xué)院，重慶 400044；3. 同濟大學(xué)汽車學(xué)院，上海 200092)

前言

應(yīng)對全球能源危機和環(huán)境惡化的嚴(yán)峻挑戰(zhàn)，近年來各種形式的電動汽車成為世界各國汽車工業(yè)發(fā)展的熱點。其中，輪轂電機驅(qū)動的電動汽車成為一個新的研究方向[1－2]。在這種驅(qū)動方式下，驅(qū)動電機、傳動機構(gòu)以及制動系統(tǒng)最大化地集成在車輪輪轂內(nèi)，實現(xiàn)了四輪的獨立控制，取消了傳統(tǒng)燃油車的變速器和離合器等傳動部件，極大簡化了整車布置，提升了控制效率，有利于實現(xiàn)機電一體化[3－4]。

永磁電機具有效率高、功率密度高和壽命長等特點，廣泛應(yīng)用于電動汽車的驅(qū)動電機。直驅(qū)式輪轂電機通常采用外轉(zhuǎn)子永磁電機，為降低轉(zhuǎn)子質(zhì)量和體積，永磁體通常采用表貼式和表面嵌入式兩種安裝方式，后者相比于前者具有較多優(yōu)勢，例如表面嵌入式磁體結(jié)構(gòu)能夠提供磁阻轉(zhuǎn)矩，減小渦流損耗，擁有較好的弱磁能力以及較高的機械強度[5－6]。因此本文中的輪轂電機也采用外轉(zhuǎn)子表面嵌入式磁體結(jié)構(gòu)。由于輪轂電機定轉(zhuǎn)子鐵芯都為開槽結(jié)構(gòu)，且定子槽為半開口結(jié)構(gòu)，繞組為分?jǐn)?shù)槽集中式布線。建立準(zhǔn)確刻畫定轉(zhuǎn)子開槽效應(yīng)的磁場解析模型難度較大，特別是氣隙磁場的準(zhǔn)確性難以保證。

常用的分析方法有有限元法和解析法。有限元法作為一種常用的分析方法具有很多優(yōu)勢，例如可以構(gòu)建較復(fù)雜的幾何結(jié)構(gòu)，考慮鐵磁材料的非線性特性以及磁飽和效應(yīng)。但是在電機設(shè)計初期和性能優(yōu)化階段，電機的結(jié)構(gòu)和尺寸變化時須反復(fù)建模、設(shè)定邊界條件、劃分網(wǎng)格，建模過程復(fù)雜，計算耗時、耗資源。而解析法具有較高的靈活性，在改變設(shè)計參數(shù)時，無須反復(fù)建模，具有較高的效率，方便探討設(shè)計變量與性能參數(shù)的映射關(guān)系。常用的解析法有等效磁路/網(wǎng)絡(luò)、保角變換、子域分析技術(shù)。等效磁路/網(wǎng)絡(luò)法可以考慮鐵磁材料非線性特性以及磁飽和效應(yīng)，但只能粗略計算電機性能，不能處理復(fù)雜磁場問題，不能考慮齒槽效應(yīng)，計算誤差較大，通常用于初始設(shè)計階段[7]。將永磁體等效為面電流，通過保角變換將有槽的求解域轉(zhuǎn)化為無槽域，通過坐標(biāo)變換來考慮齒槽效應(yīng)[8]。但忽略了由于共形映射引起的磁體形狀和氣隙磁密積分路徑的變形，導(dǎo)致齒槽轉(zhuǎn)矩的計算誤差[9]?；诓此珊屠绽狗匠痰淖佑蚍治黾夹g(shù)具有很高的精度，因為它可以準(zhǔn)確刻畫復(fù)雜的幾何結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確計算定轉(zhuǎn)子開槽對氣隙磁場的影響[10－11]。因此，子域分析技術(shù)被廣泛應(yīng)用于各種類型的電機磁場分析。文獻[12]～文獻[15]中利用子域分析技術(shù)集中研究了定子無槽的表面嵌入式永磁電機，將電樞繞組假設(shè)為面電流，可以預(yù)測空載氣隙磁密、電樞反應(yīng)磁場、電磁轉(zhuǎn)矩和永磁體損耗等性能。文獻[16]中結(jié)合子域分析技術(shù)和保角變換，考慮了表面嵌入式永磁電機的轉(zhuǎn)子偏心和磁飽和效應(yīng)，但是定子鐵芯被假設(shè)為無槽結(jié)構(gòu)，導(dǎo)致不能精確計算齒槽轉(zhuǎn)矩和電磁轉(zhuǎn)矩。在此基礎(chǔ)上，文獻[17]～文獻[20]中又研究了表面嵌入式永磁電機定子開槽效應(yīng)，可以研究定子開槽對氣隙磁場的影響。其中，文獻[17]中利用矢量磁位和子域分析技術(shù)建立了內(nèi)轉(zhuǎn)子永磁電機的解析模型，預(yù)測了空載、電樞反應(yīng)和負(fù)載工況下的氣隙磁場分布，其缺點是將定子槽假設(shè)為開口槽(即槽開口寬度角與定子槽寬度角相等)，未考慮定子槽開口求解域，不能準(zhǔn)確計算齒槽轉(zhuǎn)矩。文獻[18]中利用子域分析技術(shù)研究了永磁無刷電機的定子開槽效應(yīng)，并增加了槽開口子域，解析模型更完善，可以預(yù)測空載和電樞反應(yīng)下的氣隙磁場分布。文獻[19]中又推導(dǎo)了轉(zhuǎn)矩的表達(dá)式，并計算了負(fù)載氣隙磁密、齒槽轉(zhuǎn)矩和電磁轉(zhuǎn)矩。文獻[20]中考慮了軸向磁通電機的定子開槽效應(yīng)，在直角坐標(biāo)系中計算了負(fù)載氣隙磁場分布。文獻[5]中增加了“轉(zhuǎn)子空氣槽”，將其應(yīng)用到高凸極率的內(nèi)轉(zhuǎn)子永磁電機的解析建模中，這種轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)可以提高電感凸極率，從而增大磁阻轉(zhuǎn)矩，同時獲得較寬的調(diào)速范圍。

上述解析計算模型有助于表面嵌入式永磁電機的性能分析和優(yōu)化設(shè)計，但不適用于本文中研究的車用輪轂電機，因其具有外轉(zhuǎn)子嵌入式永磁體、分?jǐn)?shù)槽集中式繞組、定子槽為半開口槽等復(fù)雜的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。因此本文中利用麥克斯韋方程和子域分析技術(shù)建立了車用輪轂電機的負(fù)載磁場解析模型，考慮了定子開槽效應(yīng)，特別是定子槽開口子域。為建立快速且精確的磁場計算模型，將整個磁場求解域劃分為4 類子域，即電樞定子槽、槽開口、氣隙和永磁體轉(zhuǎn)子槽。首先，根據(jù)激勵源的不同，在各子域建立矢量磁位的麥克斯韋方程，并利用分離變量法求解各子域的矢量磁位的通解。然后，利用相鄰子域間的邊界條件得到矢量磁位的諧波系數(shù)。最后，解析預(yù)測了輪轂電機的磁場分布、反電動勢、電感、齒槽轉(zhuǎn)矩以及輸出轉(zhuǎn)矩等性能，并對比了開口槽結(jié)構(gòu)的解析計算結(jié)果。利用有限元法和樣機試驗驗證了解析法的正確性。進一步研究了永磁體極弧系數(shù)和槽開口寬度對齒槽轉(zhuǎn)矩和輸出轉(zhuǎn)矩的影響規(guī)律。

1 磁場解析模型

1.1 電機幾何結(jié)構(gòu)與基本假設(shè)

圖1 為課題組自主研發(fā)的分布式驅(qū)動電動汽車驅(qū)動輪總成，輪內(nèi)集成了驅(qū)動電機、撓性傳動機構(gòu)、電機懸架以及電子機械制動等，驅(qū)動力直接由電機經(jīng)過撓性傳動機構(gòu)傳遞至車輪，整車布置更加靈活。本文中的研究重點是利用子域分析技術(shù)對輪轂電機進行解析建模與性能研究。為簡化解析建模，作如下假設(shè):

(1)忽略渦流效應(yīng)和端部效應(yīng)；

(2)定轉(zhuǎn)子鐵芯的磁導(dǎo)率為無窮大；

(3)矢量磁位和電流密度只有z軸方向的分量；

(4)永磁體材料為線性退磁特性；

(5)定轉(zhuǎn)子鐵芯和永磁體的電導(dǎo)率為零。

圖1 輪轂電機驅(qū)動的電動車輪總成

所研究的輪轂電機為48 槽16 對極，外轉(zhuǎn)子表面嵌入式磁體結(jié)構(gòu)。圖2 給出開口槽和半開口槽兩種結(jié)構(gòu)作對比分析。其中圖2(a)中沒有單獨劃分槽開口子域，即定子槽和槽開口寬度角相等，可參考文獻[21]中的定子槽形狀。將圖2(b)中的輪轂電機整個求解域劃分為4 類子域，分別為:定子繞組槽(子域Ⅰ)、槽開口(子域Ⅱ)、氣隙(子域Ⅲ)和永磁體轉(zhuǎn)子槽(子域Ⅳ)。定子槽和轉(zhuǎn)子槽的中心位置分別定義為

式中:Qs為定子槽數(shù)；p為轉(zhuǎn)子極對數(shù)；θ0為轉(zhuǎn)子初始位置。

1.2 激勵源

對于表面嵌入式磁體結(jié)構(gòu)，磁化強度呈非周期性分布。因此利用奇延拓將磁化強度補充為周期信號，如圖 3 所示。

圖2 輪轂電機子域模型

圖3 奇延拓后的磁化強度分布

根據(jù)式(3)，第j個轉(zhuǎn)子槽內(nèi)的永磁體磁化強度Mj可以表示為徑向和切向分量的矢量和。當(dāng)永磁體徑向充磁時，磁化強度的徑向和切向分量如式(4)和式(5)所示。當(dāng)然，也可以處理平行充磁和Halbach 充磁方式。

式中:υ為轉(zhuǎn)子槽寬度；υLp為永磁體極弧系數(shù)；Brm為永磁體剩磁；μ0為真空磁導(dǎo)率。

根據(jù)周期性，可以將其轉(zhuǎn)換為傅里葉級數(shù)形式:

其中:δ＝ (－1)j－1；τk＝kπ/υ

式(6)和式(7)的傅里葉系數(shù)分別為

輪轂電機為雙層繞組，根據(jù)周期性，第i個定子槽的電流密度可以表示為傅里葉級數(shù)形式:

式中:Ji1和Ji2為定子槽內(nèi)左右兩側(cè)繞組的電流密度；bsa為定子槽的寬度；d為單側(cè)繞組的寬度。諧波系數(shù)Jin可以由下式計算:

輪轂電機采用分?jǐn)?shù)槽集中式繞組，圖4 示出定子繞組的連接圖，對應(yīng)的繞組排列矩陣為

圖4 定子繞組連接圖

1.3 各子域的矢量磁位通解

根據(jù)激勵源的不同，各子域的磁場控制方程不一樣。子域Ⅰ(定子繞組槽)和子域Ⅳ(永磁體轉(zhuǎn)子槽)的矢量磁位滿足Poisson 方程，子域Ⅱ(槽開口)和子域Ⅲ(氣隙)的矢量磁位滿足Laplace 方程，如式(14)所示。

利用分離變量法，可以得到各子域的矢量磁位通解，其表達(dá)式具體如下。

(1)定子繞組槽(子域Ⅰ)

其中

式中Rt和Rsb分別為定子槽頂部和底部的半徑。

(2)槽開口(子域Ⅱ)

式中:Rs為定子鐵芯的外徑；boa為槽開口寬度。

(3)氣隙(子域Ⅲ)

式中Rm為永磁體的內(nèi)徑。

(4)永磁體轉(zhuǎn)子槽(子域Ⅳ)

其中

式中Rr為永磁體的外徑。

1.4 各子域的磁通密度

(1)定子繞組槽(子域Ⅰ)

(2)槽開口(子域Ⅱ)

(3)氣隙(子域Ⅲ)

其中:

(4)永磁體轉(zhuǎn)子槽(子域Ⅳ)

1.5 邊界條件

前文矢量磁位中的待求解系數(shù)可以通過相鄰子域間的邊界條件確定，其基本原理是根據(jù)磁場的連續(xù)性，即相鄰子域交界面的法向磁密和切向磁場強度相等，具體表達(dá)式如下。

聯(lián)合式(38)～式(43)可以組成多元矩陣方程，通過求解矩陣方程得到矢量磁位中的直流項系數(shù)(Q1i，D2，Q2i，Q4j) 和諧波系數(shù)(D1i，C2i，D2i，A3，B3，C3，D3，B4j)，進而得到各子域的矢量磁位通解。

2 解析計算與驗證

為驗證本文所提解析法的正確性，在MATLAB 軟件中建立輪轂電機的解析模型，利用ANSYS/Maxwell軟件建立輪轂電機二維有限元模型。表1 給出輪轂電機的主要設(shè)計參數(shù)。電機轉(zhuǎn)速為600 r/min，峰值相電流為45 A。為保證計算精度，有限元模型中的電樞繞組、永磁體、定轉(zhuǎn)子鐵芯等各部件網(wǎng)格剖分單元最大尺寸為1 mm，仿真步長為 6×10－5s。由于輪轂電機的齒槽轉(zhuǎn)矩和輸出轉(zhuǎn)矩均是通過氣隙磁場得到的，設(shè)置較大的氣隙子域諧波次數(shù)，獲得精確的氣隙磁場分布。為兼顧計算精度和效率，解析模型中各子域的最高諧波次數(shù)分別設(shè)置為:N1＝30，N2＝30，N3＝500，N4＝30。

表1 輪轂電機的主要參數(shù)

2.1 磁密分布

準(zhǔn)確計算氣隙磁場分布對預(yù)測輪轂電機齒槽轉(zhuǎn)矩、輸出轉(zhuǎn)矩等電磁性能至關(guān)重要。圖5 給出有限元法計算的負(fù)載工況下磁密云圖和磁力線分布情況。圖6～圖8 分別為空載、電樞反應(yīng)和負(fù)載工況下氣隙中間位置(r＝(Rs＋Rm)/2)的磁密分布。可以看出，解析計算結(jié)果與有限元結(jié)果吻合較好，證明本文所提解析模型具有較高精度。同時對比了開口槽結(jié)構(gòu)的計算結(jié)果，當(dāng)不考慮齒尖時，氣隙磁密曲線產(chǎn)生了較大的畸變。

圖5 負(fù)載工況的磁密云圖和磁力線圖

圖6 空載氣隙磁密

圖7 電樞反應(yīng)氣隙磁密

圖8 負(fù)載氣隙磁密

圖9 負(fù)載氣隙磁密諧波譜

為評估氣隙磁密曲線的正弦特性，定義諧波畸變率見式(44)。圖9 為負(fù)載氣隙磁密的諧波譜?？梢钥闯鼋馕瞿Ｐ陀嬎愕母麟A次幅值以及諧波畸變率均與有限元分析結(jié)果高度一致，進一步證明了解析模型的準(zhǔn)確性。開口槽結(jié)構(gòu)的氣隙磁密諧波畸變率較大。

圖10～圖12 分別為負(fù)載工況下，定子槽、槽開口和轉(zhuǎn)子槽內(nèi)的磁場分布情況?？梢钥闯鼋馕鼋馀c有限元結(jié)果吻合較好。而開口槽結(jié)構(gòu)忽略了齒尖的影響，其磁路將會發(fā)生變化，導(dǎo)致各子域中磁場分布也發(fā)生了改變，尤其從圖11 可以看出，忽略齒尖后的磁密曲線發(fā)生了巨大的變化。

圖10 定子槽內(nèi)的磁密分布(r ＝Rt－1 mm)

圖11 槽開口內(nèi)的磁密分布(r ＝Rs－1 mm)

圖12 轉(zhuǎn)子槽內(nèi)的磁密分布(r ＝Rm＋1 mm)

2.2 磁鏈、反電勢和電感

對于雙層繞組，左、右側(cè)線圈邊的磁鏈可以從定子槽(子域Ⅰ)的矢量磁位得到。

三相磁鏈可以按下式計算:

式中:La為鐵芯軸向長度；a1為并聯(lián)支路數(shù)。

圖13 示出兩種結(jié)構(gòu)的A相磁鏈對比。與半開口槽結(jié)構(gòu)相比，開口槽結(jié)構(gòu)的磁鏈幅值較低。

圖13 A 相磁鏈

三相反電動勢可以通過磁鏈對時間求導(dǎo)計算得到

由于輪轂電機為凸極轉(zhuǎn)子，因此電感隨轉(zhuǎn)子位置的變化而變化。令iA＝ 45 A，iB＝iC＝ 0，Brm＝ 0，A相自感和互感可通過式(49)計算。圖14 為隨轉(zhuǎn)子位置變化的三相繞組的電感，可見解析解與有限元結(jié)果相當(dāng)吻合，開口槽結(jié)構(gòu)的A相自感降低，A相與B相和C相的互感增大。

圖14 隨轉(zhuǎn)子位置變化的繞組電感

2.3 齒槽轉(zhuǎn)矩和輸出轉(zhuǎn)矩

利用氣隙磁密，根據(jù)Maxwell 張量法計算輪轂電機的轉(zhuǎn)矩，包括空載工況下的齒槽轉(zhuǎn)矩和負(fù)載工況的輸出轉(zhuǎn)矩，計算公式為

其中r＝ (Rm＋Rs)/2

圖15 和圖16 為齒槽轉(zhuǎn)矩和輸出轉(zhuǎn)矩對比圖。解析模型預(yù)測波形的幅值和相位與有限元結(jié)果一致，進一步證明了解析模型的正確性。同時對比開口槽結(jié)構(gòu)的計算結(jié)果可知，其較大的槽口寬度導(dǎo)致氣隙磁密產(chǎn)生嚴(yán)重的畸變，使齒槽轉(zhuǎn)矩和輸出轉(zhuǎn)矩脈動變大。氣隙面積增大，氣隙內(nèi)磁感應(yīng)強度降低，導(dǎo)致輸出轉(zhuǎn)矩平均值變小。

圖15 齒槽轉(zhuǎn)矩

圖16 輸出轉(zhuǎn)矩

為進一步驗證本文所提解析算法的正確性，對輪轂電機樣機進行加工制造，如圖17(a)所示，并搭建試驗臺架，如圖17(b)所示，圖17(c)為輪轂電機驅(qū)動的電動車輪總成。首先，對樣機進行開路試驗，利用測功機拖動樣機的方式，進行空載反電動勢的測量，將輪轂電機轉(zhuǎn)速拖動至600 r/min，測量相反電動勢。如圖 18 所示，解析計算結(jié)果、有限元結(jié)果和樣機實測結(jié)果的趨勢與峰值較吻合，但也存在一定誤差，其原因是解析法和有限元法對電機模型進行了一定的簡化處理；另外，試驗臺架的機械損耗、摩擦以及測量儀器的精度會產(chǎn)生誤差。

圖17 輪轂電機樣機與試驗臺架

圖18 空載反電動勢

此外，利用輪轂電機綜合性能試驗臺對樣機進行動態(tài)性能測試。圖19 為額定工況下輪轂電機輸出轉(zhuǎn)矩/功率與轉(zhuǎn)速的特性曲線。當(dāng)電機轉(zhuǎn)速小于等于600 r/min 時，在恒轉(zhuǎn)矩區(qū)輸出轉(zhuǎn)矩近似等于158 N·m，加速到基速后通過弱磁技術(shù)可獲得更高的轉(zhuǎn)速，讓電機工作于恒功率區(qū)?？梢钥闯鼋馕鼋Y(jié)果與實測值較吻合，證明本文所提出的解析算法具有較高的精度。

圖19 轉(zhuǎn)矩/功率與轉(zhuǎn)速的特性曲線

3 影響因素分析

解析法的優(yōu)點是在改變設(shè)計參數(shù)時，無須重復(fù)建模，便可對不同結(jié)構(gòu)尺寸的電機進行性能優(yōu)化，計算效率高。因此，利用解析模型進一步研究極弧系數(shù)和槽開口寬度對齒槽轉(zhuǎn)矩峰值、輸出轉(zhuǎn)矩平均值和輸出轉(zhuǎn)矩脈動的影響規(guī)律。其中，轉(zhuǎn)矩脈動Tvib可由輸出轉(zhuǎn)矩Tc計算:

圖20 為極弧系數(shù)υLp和槽開口寬度boa對齒槽轉(zhuǎn)矩的影響。從圖可以看出，極弧系數(shù)從0.6 增大至0.9，齒槽轉(zhuǎn)矩先減小后增大。齒槽轉(zhuǎn)矩隨槽開口寬度的增大，先增大后略微減小，總體呈增大的趨勢。另外，當(dāng)極弧系數(shù)確定時，齒槽轉(zhuǎn)矩基本上都是隨槽開口寬度的增大而增大。當(dāng)極弧系數(shù)為0.775，槽開口寬度為0.969°時，齒槽轉(zhuǎn)矩最小為1.912 N·m。

圖20 極弧系數(shù)和槽開口寬度對齒槽轉(zhuǎn)矩峰值的影響

圖21 為極弧系數(shù)和槽開口寬度對輸出轉(zhuǎn)矩平均值的影響。從圖可知，極弧系數(shù)越大、槽開口寬度越小時，輸出轉(zhuǎn)矩平均值越大。當(dāng)極弧系數(shù)為0.9，槽開口寬度為0.969°時，輸出轉(zhuǎn)矩平均值最大為177.65 N·m。

圖21 極弧系數(shù)和槽開口寬度對輸出轉(zhuǎn)矩平均值的影響

圖22 為極弧系數(shù)和槽開口寬度對輸出轉(zhuǎn)矩脈動的影響。從圖中可以看出，極弧系數(shù)和槽開口寬度對轉(zhuǎn)矩脈動和齒槽轉(zhuǎn)矩的影響趨勢較接近，當(dāng)極弧系數(shù)為0.825，槽開口寬度為2.169°時，輸出轉(zhuǎn)矩脈動最小為3.025%。

圖22 極弧系數(shù)和槽開口寬度對輸出轉(zhuǎn)矩脈動的影響

綜上，以較大的輸出轉(zhuǎn)矩平均值和較小的轉(zhuǎn)矩脈動為優(yōu)化目標(biāo)，當(dāng)該電機的極弧系數(shù)為0.825，槽開口寬度為2.169°時，輸出轉(zhuǎn)矩平均值從原樣機的160.75 提高到165.08 N·m，轉(zhuǎn)矩脈動從原樣機的8.8%降至3.025%。另外，這也解釋了前文開口槽結(jié)構(gòu)的齒槽轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)矩脈動較大、轉(zhuǎn)矩平均值較小的原因。

4 結(jié)論

利用子域分析技術(shù)建立了一臺48 槽16 對極的輪轂電機解析模型。在二維極坐標(biāo)系下，將電機求解域劃分為4 類子域，通過在各子域求解拉普拉斯方程或泊松方程，并利用邊界條件得到各子域的矢量磁位通解的解析表達(dá)式。計算了輪轂電機的氣隙、定子槽、槽開口以及轉(zhuǎn)子槽子域的磁場分布、電感、齒槽轉(zhuǎn)矩以及輸出轉(zhuǎn)矩。利用有限元分析和樣機試驗驗證了解析模型的準(zhǔn)確性，并對比分析了開口槽結(jié)構(gòu)的計算結(jié)果，發(fā)現(xiàn)齒尖結(jié)構(gòu)對電機的影響十分顯著，因此在構(gòu)建電機的解析模型時，考慮齒尖結(jié)構(gòu)是十分必要的。

進一步研究了極弧系數(shù)和槽開口寬度對齒槽轉(zhuǎn)矩、輸出轉(zhuǎn)矩平均值和轉(zhuǎn)矩脈動的影響，結(jié)果表明:當(dāng)該電機的極弧系數(shù)為0.825，槽開口寬度為2.169°時，輸出轉(zhuǎn)矩平均值從原樣機的160.75 提高到165.08 N·m，轉(zhuǎn)矩脈動從8.8%降至3.025%，在削弱轉(zhuǎn)矩脈動的同時獲得了較大的輸出轉(zhuǎn)矩平均值。

所提出的解析建模方法是根據(jù)激勵源和媒介的不同來劃分子求解域，同樣適用于直線電機、輪輻式電機和開關(guān)磁阻電機的解析建模，對于各類電機的性能分析具有較大的通用性。