孫士平，楊 威，胡 政

(南昌航空大學 航空制造工程學院，江西 南昌 330063)

0 引言

金屬板料拉深成形存在起皺、破裂、回彈等質(zhì)量缺陷，借助有限元模擬和優(yōu)化技術(shù)進行基于代理模型的成形工藝優(yōu)化能有效提高板料成形質(zhì)量，避免傳統(tǒng)工藝設計的反復試錯[1-2]。但是，構(gòu)造滿足精度要求的代理模型通常要選取較多的樣本并計算樣本響應，而板料成形過程的非線性響應分析又較為耗時，這將導致構(gòu)造代理模型的過程要耗費較高的計算成本，從而降低了成形工藝優(yōu)化的效率。鑒于一次選取樣本構(gòu)造代理模型(靜態(tài)代理模型)存在全局精度低和樣本量過大等問題，采用更少的樣本量動態(tài)構(gòu)造滿足精度要求的代理模型成為提高板料成形優(yōu)化效率的一種有效途徑，如Wang[3]采用多項式響應面模型代理板料成形過程，通過在迭代中更新優(yōu)化解鄰域樣本實現(xiàn)了代理模型預測精度的逐漸提高，完成了汽車前板成形工藝優(yōu)化；陳國棟等[4]構(gòu)造出一種自適應徑向基函數(shù)(Radial Basis Function, RBF)模型，通過動態(tài)更新當前優(yōu)化解鄰域的樣本，提高了代理模型在該區(qū)域的預測精度，實現(xiàn)了薄板沖壓成形優(yōu)化；Hamdaoui[5]則通過動態(tài)增加優(yōu)化解鄰域和預測誤差最大區(qū)域的樣本數(shù)，逐漸提高了Kriging代理模型的預測精度，實現(xiàn)了板料成形工藝優(yōu)化。上述研究多通過在迭代過程動態(tài)增添優(yōu)化解鄰域的樣本來逐漸提高代理模型的局部預測精度，而板料成形優(yōu)化常需要綜合評估多個質(zhì)量目標，各目標間的相互制約關(guān)系會使得多目標協(xié)調(diào)解位于單目標最優(yōu)區(qū)域之外，僅提高動態(tài)代理模型優(yōu)化解區(qū)域的局部精度不能有效地促進多目標優(yōu)化收斂到非劣解解集。因此，如何從全局精度和局部精度兩方面同時提高動態(tài)代理模型的預測準確性成為有效開展板料成形優(yōu)化的關(guān)鍵。

自鄧聚龍教授[6]首次提出灰色系統(tǒng)理論并給出灰色關(guān)聯(lián)度構(gòu)造案例后，多種灰色關(guān)聯(lián)度計算式相繼被提出并在應用中驗證了其有效性[7-9]。張軍鋒等[10]采用灰色關(guān)聯(lián)分析開展了復雜曲面拋光參數(shù)優(yōu)化，而韋保磊等[11]則研究給出了灰色關(guān)聯(lián)接近性公理的數(shù)學定義和灰色關(guān)聯(lián)度的統(tǒng)一表述形式，為構(gòu)造新型灰色關(guān)聯(lián)度提供了理論指導。在板料成形多目標優(yōu)化方面，謝延敏等[12]、趙茂俞等[13]、Baruah等[14]利用灰色關(guān)聯(lián)分析結(jié)合實驗設計方法將多目標優(yōu)化轉(zhuǎn)化為基于關(guān)聯(lián)度的方案優(yōu)選，通過關(guān)聯(lián)分析從樣本中篩選出一組最佳的工藝參數(shù)。但這些研究并沒有采用優(yōu)化方法獲得板料成形多目標優(yōu)化問題的新的優(yōu)化解[15]，因此，如何基于灰色關(guān)聯(lián)度定義構(gòu)造多目標問題的迭代尋優(yōu)算式還需要進一步研究。

綜上所述，結(jié)合板料成形有限元模擬，本文提出一種逐步增補樣本動態(tài)構(gòu)造遺傳BP神經(jīng)網(wǎng)絡(Genetic Algorithm optimization Back Propagation neural network, GABP)代理模型的建模方法，實現(xiàn)動態(tài)GABP模型預測精度的逐步提高；通過推導適于優(yōu)化迭代的灰色關(guān)聯(lián)度計算格式，結(jié)合動態(tài)GABP模型建立優(yōu)化問題求解流程，并應用于NUMISHEET 93方盒件的拉深成形優(yōu)化，實現(xiàn)板料成形優(yōu)化效率的提高和成形質(zhì)量的改進。

1 動態(tài)GABP建模

1.1 遺傳BP神經(jīng)網(wǎng)絡

三層前饋(Back Propogation, BP)神經(jīng)網(wǎng)絡能以任意精度逼近任意連續(xù)函數(shù)[16]，具有強大的非線性映射能力，而采用遺傳算法(Genetic Algorithm，GA)優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡的權(quán)值和閾值可減少網(wǎng)絡訓練時間和避免陷入局部極值，能有效提高神經(jīng)網(wǎng)絡的泛化能力。由于板料成形是一個多工藝參數(shù)輸入與多成形質(zhì)量指標輸出的高度非線性映射過程，需要采用適合近似高階非線性問題的RBF、Kriging和神經(jīng)網(wǎng)絡等模型來構(gòu)造成形過程的代理模型，鑒于Kriging模型構(gòu)造復雜計算大，而RBF模型的近似精度受形狀參數(shù)影響且不易選取[17]，因此，這里選取GABP神經(jīng)網(wǎng)絡來構(gòu)造板料成形的代理模型。

常用的三層BP神經(jīng)網(wǎng)絡如圖1所示，包括輸入層、隱含層和輸出層，層層之間通過權(quán)值連接，各層分別包含M、N和K個神經(jīng)元。取隱含層和輸出層的激勵函數(shù)分別為tansig函數(shù)和purelin函數(shù)，則有BP神經(jīng)網(wǎng)絡的映射表達式為：

k=1,2,…,K。

(1)

(2)

1.2 樣本動態(tài)增補方法

代理模型預測精度依賴于樣本的數(shù)目與分布，更多的樣本在提高模型準確性的同時也增大了實驗仿真成本，因此，如何用盡可能少的樣本建立滿足精度要求的代理模型成為構(gòu)造代理模型的主要挑戰(zhàn)。采用拉丁超方實驗方法能獲得空間均布的樣本集合，但建立滿足精度要求的GABP模型需要采集多少樣本卻沒有定量化描述。為此，本文提出一種逐步增加樣本的動態(tài)樣本增補方法來實現(xiàn)以較少的樣本建立滿足精度要求的GABP模型。

首先，參考文獻[18]取初始樣本m=M×N，使用拉丁超方實驗方法采集初始樣本m和檢驗樣本p，建立GABP模型；其次，進行模型精度驗證，若不滿足收斂要求，則按一定的判據(jù)增補樣本，重新構(gòu)造GABP模型，直到模型精度滿足要求。

樣本動態(tài)增補按模型精度分兩步處理。當模型全局精度不收斂時，則在設計域內(nèi)按最大最小距離準則[19]均勻增加Δm個樣本，以提高模型的全局預測精度；當模型全局精度收斂而局部精度不收斂時，則將當前優(yōu)化解增補為樣本，以改善模型局部最優(yōu)區(qū)域的預測精度。樣本增補示意如圖2所示。

1.3 構(gòu)造動態(tài)GABP模型

構(gòu)造動態(tài)GABP模型的主要步驟如下：

(1)設定初始樣本m、檢驗樣本p以及增補樣本Δm?；诶〕綄嶒灧椒ㄔO計樣本，通過實驗仿真獲得各樣本的響應值。

(2)建立設計變量與目標響應的GABP模型。

(3)GABP模型全局收斂性判定。按式(3)用復判定系數(shù)R2對模型的訓練精度和檢驗精度進行收斂判斷，若不收斂，則添加Δm個樣本，轉(zhuǎn)步驟(2)。

(3)

(4)GABP模型局部收斂判定。按式(4)用優(yōu)化解的相對誤差對模型局部精度進行收斂判定，若不收斂，則將當前優(yōu)化解x*添加為樣本，轉(zhuǎn)步驟(2)；若收斂，則保持GABP模型并輸出優(yōu)化結(jié)果。

(4)

2 多目標處理的灰色關(guān)聯(lián)分析

通常將多目標優(yōu)化問題數(shù)學描述為：

miny(x)=(y1(x),y2(x),…,yK(x))T;

s.t.

xL≤x≤xU

x=(x1,x2,…,xM)T。

(5)

求解多目標問題式(5)可以獲得一組非劣解，但這些非劣解卻無法直接使用，仍需從非劣解集中尋找一個滿意的協(xié)調(diào)解。為此，通過將多目標問題轉(zhuǎn)化為單目標問題進行求解，成為獲取滿意協(xié)調(diào)解的一種簡單有效的選擇。本文結(jié)合灰色系統(tǒng)理論[6]，通過關(guān)聯(lián)度來定量描述目標向量與Pareto解集的相似程度，將多目標問題轉(zhuǎn)為最大化關(guān)聯(lián)度的單目標問題進行求解。

2.1 灰色關(guān)聯(lián)度迭代格式

i=1,2,…,K。

(6)

式中ρ∈[0,1]為分辨系數(shù)，用于調(diào)整比較環(huán)境大小，本文取ρ=0.5。進一步將關(guān)聯(lián)系數(shù)進行平均化處理，得到比較序列yk與特征序列yo的關(guān)聯(lián)度：

(7)

式中rk越接近1，說明兩者的相關(guān)性越好，比較序列yk越接近特征序列yo。上述式(6)中的比較序列和特征序列均進行了歸一化處理，式(7)中對各目標選取相同權(quán)重。

(8)

則多目標優(yōu)化問題式(5)可以轉(zhuǎn)換為最大化灰色關(guān)聯(lián)度的單目標優(yōu)化問題：

s.t.

xL≤x≤xU,

x=(x1,x2,…,xM)T。

(9)

2.2 基于動態(tài)GABP和關(guān)聯(lián)度的優(yōu)化流程

采用GA優(yōu)化動態(tài)GABP代理模型，建立如圖3所示的基于動態(tài)GABP模型和灰色關(guān)聯(lián)度的優(yōu)化流程。該流程中GA的種群數(shù)目為80，交叉概率取0.9，變異概率取0.04，最大進化代數(shù)100代。

2.3 函數(shù)測試

選取3個典型數(shù)學函數(shù)來測試動態(tài)GABP模型的預測精度、收斂性和優(yōu)化效率。收斂精度取ε1=10-3，ε2=0.05。

Sphere函數(shù)f1(x)的全局最小值為0，表達式為：

(10)

Six-hump camel-back函數(shù)f2(x)有6個局部極小值，其中2個為全局最小值-1.031 6，表達式為：

(x1,x2)∈[-2,2]2。

(11)

Brain函數(shù)f3(x)有3個局部極小值，其中1個為全局最小值0.398，表達式為：

cosx1+10,

x1∈[-5,10],x2∈[3.5,15]。

(12)

按圖3的優(yōu)化流程對3個函數(shù)進行優(yōu)化，取m=20，p=10和Δm=10。為進行比較，另外采用靜態(tài)GABP模型和直接選用GA對函數(shù)進行優(yōu)化。重復進行10次獨立優(yōu)化的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表1和表2所示。表1列出了優(yōu)化解的中位數(shù)，表2給出了函數(shù)調(diào)用總次數(shù)的中位數(shù)，其中一次函數(shù)調(diào)用對應一個樣本，總樣本數(shù)包含檢驗樣本p。靜態(tài)GABP模型的樣本數(shù)取為該模型連續(xù)10次成功獲得優(yōu)化解所耗費樣本總數(shù)的平均值。

表1 不同方法獲得的測試函數(shù)優(yōu)化解

表2 不同方法耗費的函數(shù)調(diào)用總次數(shù)

由表1可知，3個函數(shù)的GA優(yōu)化結(jié)果最接近全局最小值，靜態(tài)GABP模型獲得的優(yōu)化解也較接近全局最小值，而動態(tài)GABP模型的計算結(jié)果明顯好于靜態(tài)GABP模型，但比GA優(yōu)化結(jié)果稍差；比較表2數(shù)據(jù)，GA耗費的函數(shù)調(diào)用次數(shù)是動態(tài)GABP模型的30倍以上，而動態(tài)GABP模型耗費的總樣本數(shù)僅為靜態(tài)GABP模型的80%左右。結(jié)合表1和表2數(shù)據(jù)說明，動態(tài)GABP模型用比靜態(tài)GABP模型更少的總樣本數(shù)獲得了更接近于全局最優(yōu)解的優(yōu)化結(jié)果，表現(xiàn)出明顯好于靜態(tài)GABP模型的收斂性和優(yōu)化效率。

以f1(x)為例，圖4給出了動態(tài)建模精度收斂過程，圖5給出了優(yōu)化迭代收斂曲線。從圖4看到，總樣本數(shù)為30時，模型訓練精度大于ε1=10-3不滿足要求，增補Δm=10個樣本，總樣本數(shù)達到40時，訓練精度和檢驗精度均小于ε1滿足要求，但優(yōu)化解的局部精度大于ε2=0.05不滿足要求，將該優(yōu)化解增補為樣本，在總樣本數(shù)為41時模型訓練精度和檢驗精度均滿足要求，但局部精度仍不滿足要求，繼續(xù)將當前優(yōu)化解增補為樣本，在總樣本數(shù)為42時，獲得全局和局部精度都滿足要求的動態(tài)GABP模型及優(yōu)化結(jié)果。從圖5可以看到優(yōu)化過程平穩(wěn)收斂到較大的灰色關(guān)聯(lián)度。圖4和圖5說明基于動態(tài)GABP模型和關(guān)聯(lián)度的優(yōu)化流程是可行有效的。

以f2(x)為例分析m和Δm對動態(tài)GABP模型所需總樣本數(shù)的影響。表3給出了優(yōu)化f2(x)函數(shù)耗費的總樣本數(shù)均值，為20次獨立優(yōu)化統(tǒng)計結(jié)果。

表3 不同m和Δm時優(yōu)化f2(x)耗費的總樣本數(shù)

表3數(shù)據(jù)顯示，優(yōu)化函數(shù)所需總樣本數(shù)隨m或Δm的增大而增加，但Δm增大對總樣本數(shù)的影響要強于m。采用較小的m和Δm組合能降低總樣本數(shù)需求，但會增加構(gòu)造GABP模型的成本，建議采取偏小的m與偏大的Δm組合來平衡所需總樣本數(shù)與動態(tài)構(gòu)造GABP模型的次數(shù)，如表3中m=30與Δm=5、m=40與Δm=2組合。

考慮式(13)所示f4(x)、f5(x)函數(shù)構(gòu)成的兩目標優(yōu)化問題，取m=20，p=10，Δm=2，按圖3流程優(yōu)化獲得優(yōu)化解x*=(1.53,1.432 1)T和相應的目標響應值(7.867 4,2.527 6)T，耗費總樣本數(shù)為44。動態(tài)GABP模型的精度迭代收斂過程如圖6所示?？梢钥吹剑S著樣本總數(shù)的增加，模型的精度不斷提高，在總樣本達到44個時模型全局精度和局部精度同步收斂。圖7為灰色關(guān)聯(lián)度的迭代收斂曲線，目標函數(shù)在優(yōu)化過程中逐漸收斂到最大值。圖8給出了優(yōu)化目標在Pareto解集中的位置。

0.25x1+20,

(13)

采用44個總樣本構(gòu)建靜態(tài)GABP模型并進行10次獨立優(yōu)化，中位數(shù)的優(yōu)化解為x*=(1.436 8,1.392 7)T，相應的目標值(8.247 7,2.218 7)T在Pareto解集中的位置如圖8所示。該靜態(tài)GABP模型的訓練精度0.001 3、檢驗精度0.006 9和局部精度0.050 1均不滿足收斂精度要求，明顯差于動態(tài)GABP模型，說明相同樣本量下動態(tài)GABP模型的預測精度更高，而動態(tài)GABP模型結(jié)合灰色關(guān)聯(lián)度的多目標優(yōu)化流程能獲得Pareto解集的協(xié)調(diào)解，優(yōu)化過程平穩(wěn)。

3 方盒件成形多目標優(yōu)化

將基于動態(tài)GABP模型和灰色關(guān)聯(lián)的多目標優(yōu)化設計應用到板料成形優(yōu)化中，以NUMISHEET 93標準題庫中的方盒件成形為例進行研究。該實例包含模具尺寸和板料性能參數(shù)，初始設計方案如表4所示[20]。應用DYNAFORM軟件建立如圖9所示的方盒件成形有限元模型，基于仿真數(shù)據(jù)構(gòu)建動態(tài)GABP模型并開展方盒件成形的多目標優(yōu)化。板料為DP600低碳鋼，本構(gòu)關(guān)系為σ=565.32(0.007 117+εp)0.258 9，單元類型選BT殼單元，拉深速度為5 100 mm/s，行程為40 mm。仿真計算獲得板料在對稱軸和對角線方向(如圖10)成形前后的邊界變化量DX，DY，DD1如表5所示，與文獻[20]的實驗數(shù)據(jù)相比，相對誤差小于3.5%，說明有限元模擬的結(jié)果足夠準確，能有效替代板料成形實驗。

表4 板料性能與模具工藝參數(shù)

表5 方盒件拉深成形仿真數(shù)據(jù)與實驗結(jié)果比較

3.1 方盒件成形優(yōu)化建模

方盒件成形質(zhì)量受較多因素影響[1]，其中以壓邊力、凸模圓角半徑、板料與凹模間摩擦系數(shù)的影響最為顯著[21]，本文以這3個因素為設計變量x=(x1,x2,x3)T開展優(yōu)化，各設計變量取值如表6所示。

表6 變量取值范圍

方盒件成形存在起皺、破裂及不均勻減薄等質(zhì)量問題，鑒于控制不均勻減薄能預防破裂[20]，本文基于有限元模型選取方盒件成形的減薄和起皺指標作為成形質(zhì)量優(yōu)化的目標函數(shù)。

減薄指標函數(shù)f1是板料厚度的減薄率，

(14)

式中：t0、te分別為單元初始厚度和成形后厚度；N為成形后單元總數(shù)。

起皺指標函數(shù)f2是成形后板料起皺的單元數(shù)與總單元數(shù)之比，參考成形極限圖[22](如圖11)，有：

(15)

顯然，指標f1和f2均為成形工藝參數(shù)的隱式函數(shù)，且為非負，值越小說明成形厚度越均勻、起皺單元數(shù)越少，表明成形質(zhì)量越好。本文采用有限元分析計算指標f1和f2。則減薄和起皺指標最小化的方盒件成形優(yōu)化模型為：

minf(x)=(f1(x),f2(x))T。

s.t.

x=(x1,x2,x3)T。

(16)

3.2 方盒件成形優(yōu)化計算

取參數(shù)m=30，p=10，Δm=5，ε1=10-2，ε2=0.05。結(jié)合圖3優(yōu)化流程進行優(yōu)化求解，在總樣本數(shù)增加到65時動態(tài)GABP模型精度滿足收斂要求，獲得優(yōu)化解x*=(41.813 9,8.918 0,0.162 7)T和對應目標響應值(0.823 6,0.375 3)T，模型局部精度為0.001 8。圖12給出了灰色關(guān)聯(lián)度迭代收斂曲線，可看到優(yōu)化過程穩(wěn)定收斂到一個較大的關(guān)聯(lián)度值。圖13為方盒件優(yōu)化設計方案與初始設計方案的拉深成形仿真結(jié)果，其中，初始設計方案x0=(19.6,8,0.144)T對應的目標響應值為(0.987 8,0.409 1)T。與初始方案相比，優(yōu)化的方盒件完全消除了初始方案在底部區(qū)域存在的不均勻減薄現(xiàn)象，減薄指標降低了16.62%，縮減了嚴重起皺區(qū)域并將其控制在需裁剪區(qū)，起皺指標降低了8.26%，有效地改善了成形質(zhì)量。

以65個總樣本建立靜態(tài)GABP模型優(yōu)化獲得協(xié)調(diào)解x*=(44.660 1,8.997 0,0.158 3)T和對應目標值(0.818 7,0.376 1)T。該模型的訓練精度0.027 9和檢驗精度0.047 7均不滿足要求精度ε1=0.01，局部精度0.008 7也低于動態(tài)GABP模型的0.001 8，說明動態(tài)GABP模型能以相對較少的樣本獲得比靜態(tài)GABP模型高的預測精度，避免超量選取樣本造成的計算浪費，提高了計算效率。

4 結(jié)束語

本文采用逐步增補樣本的方法建立了預測精度逐漸提高的動態(tài)GABP代理模型，樣本使用量僅為靜態(tài)GABP模型的80%，提高了計算效率；結(jié)合灰色關(guān)聯(lián)度迭代計算式，建立了動態(tài)GABP模型和GA聯(lián)合的優(yōu)化求解流程，開展了方盒件成形優(yōu)化。計算結(jié)果表明，關(guān)聯(lián)度迭代新格式能實現(xiàn)優(yōu)化過程平穩(wěn)收斂，方盒件成形優(yōu)化方案的減薄和起皺指標分別降低了16.62%和8.26%，成形質(zhì)量明顯改善。下一步將開展方盒件成形實驗，驗證成形質(zhì)量改進效果。