劉宗曉，張永平，于 蓉

（1.濟(jì)南市水文局，山東 濟(jì)南250014；2.山東省水利勘測(cè)設(shè)計(jì)院，山東 濟(jì)南250014）

在山東省水利水電工程設(shè)計(jì)洪水計(jì)算實(shí)踐中，對(duì)于無(wú)實(shí)測(cè)流量資料的流域，采用實(shí)測(cè)暴雨資料，以山東省綜合瞬時(shí)單位線法推求設(shè)計(jì)洪水應(yīng)用較為普遍。該方法是山東省水利部門1979年編制《山東省山丘區(qū)暴雨徑流查算圖》時(shí)，采用96 個(gè)實(shí)測(cè)站209 場(chǎng)次洪水資料綜合分析而得。瞬時(shí)單位線的優(yōu)點(diǎn)是采用數(shù)學(xué)方程表達(dá)，易于采用計(jì)算機(jī)編程計(jì)算，并且便于對(duì)參數(shù)進(jìn)行分析和地區(qū)綜合，適用于中小流域地面徑流的匯流計(jì)算。瞬時(shí)單位線應(yīng)用時(shí)，僅根據(jù)2 個(gè)參數(shù)，即可轉(zhuǎn)換為時(shí)段單位線，再根據(jù)相應(yīng)時(shí)段的設(shè)計(jì)雨型，即可推求設(shè)計(jì)洪水流量過程。

《山東省山丘區(qū)暴雨徑流查算圖》中所列計(jì)算方法較為傳統(tǒng)，需先計(jì)算參數(shù)m1，然后反復(fù)查手冊(cè)所附的m1與時(shí)段單位線工具表計(jì)算洪水過程線，較為繁瑣且計(jì)算效率偏低，不利于程序化。近年來，隨著計(jì)算機(jī)面向?qū)ο缶幊陶Z(yǔ)言的興起，部分大型勘測(cè)設(shè)計(jì)單位研究不完全Γ 函數(shù)數(shù)值解法，以提高設(shè)計(jì)洪水電算化的精度和速度，但這些解法多較為復(fù)雜，不易被中小型勘測(cè)設(shè)計(jì)單位掌握，山東部分市、縣勘測(cè)設(shè)計(jì)單位，依然采用《山東省山丘區(qū)暴雨徑流查算圖》中的查表法計(jì)算瞬時(shí)單位線。Excel 軟件提供了300 多個(gè)內(nèi)置函數(shù)，其中統(tǒng)計(jì)類函數(shù)包含有水文學(xué)科中常用的均方差、協(xié)方差、Г 分布、正態(tài)分布、指數(shù)分布等，熟練使用這些函數(shù)可以極大地簡(jiǎn)化水文分析計(jì)算過程，提高工作效率和質(zhì)量。使用該統(tǒng)計(jì)函數(shù)可以用于瞬時(shí)單位線計(jì)算，該方法快捷、準(zhǔn)確，并滿足標(biāo)準(zhǔn)化和規(guī)范化的要求。

1 瞬時(shí)單位線概念

瞬時(shí)單位線是指在無(wú)窮小歷時(shí)的瞬間，輸入總水量為1 且在流域上分布均勻的單位凈雨所形成的流域出口流量過程線，以數(shù)學(xué)方程u（0，t）來表示。根據(jù)水量平衡原理，輸出的水量為1，則瞬時(shí)單位線和時(shí)間軸所包圍的面積應(yīng)等于1，即：

納希（J.E.Nash）在1957 年提出一個(gè)假設(shè)，即流域?qū)Φ孛鎯粲甑恼{(diào)蓄作用，可用n 個(gè)串聯(lián)的線性水庫(kù)的調(diào)節(jié)作用來模擬，由此推導(dǎo)出納希瞬時(shí)單位線的數(shù)學(xué)方程式。

式中：n 為反映流域調(diào)蓄能力的參數(shù)，相當(dāng)于線性水庫(kù)的個(gè)數(shù)或水庫(kù)的調(diào)節(jié)次數(shù)；K 為線性水庫(kù)的蓄泄系數(shù)，反映流域匯流時(shí)間的參數(shù)；u（0，t）為t 時(shí)刻瞬時(shí)單位線縱高；Г（n）為n 的伽瑪函數(shù)。

在實(shí)際應(yīng)用中，納希瞬時(shí)單位線的n 和K 并非是原有的物理含義，而是起著匯流參數(shù)的作用，n 的取值也可以是非整數(shù)。n、K 對(duì)瞬時(shí)單位線形狀的影響是相似的，當(dāng)n、K 減小時(shí)，u（0，t）的峰值增高，峰現(xiàn)時(shí)間提前；而當(dāng)n、K 增大時(shí)，u（0，t）的峰值降低，峰現(xiàn)時(shí)間推后。

2 參數(shù)推導(dǎo)

瞬時(shí)單位線參數(shù)只有n、K 兩個(gè)參數(shù)。n、K 確定了便可確定瞬時(shí)單位線。n、K 可用實(shí)測(cè)凈雨過程i（t）與出流過程Q（t）的矩建立關(guān)系來確定。

式中：u1、u2分別為瞬時(shí)單位線一階原點(diǎn)矩、二階中心矩；Q1、Q2分別為出流過程一階原點(diǎn)矩、二階中心矩；I1、I2分別為凈雨過程一階原點(diǎn)矩、二階中心矩。

令u1=m1，u2/（u1）2=m2

由此得：n=1/m2，K=m1/n

《山東省山丘區(qū)暴雨徑流查算圖》中已經(jīng)反復(fù)試算綜合出一般山丘區(qū)的m1、m2計(jì)算公式，將參數(shù)m1、m2和洪水主要影響因素流域面積、河道干流比降、凈雨歷時(shí)、凈雨深等建立關(guān)系。山東省一般山丘區(qū)m1、m2參數(shù)計(jì)算公式如下：

式中：m1、m2為瞬時(shí)單位線參數(shù)；F 為流域面積，km2；J 為河道干流比降；R 為凈雨量，mm；tc為凈雨歷時(shí)，h；k 為一般山丘區(qū)瞬時(shí)單位線系數(shù)。

3 時(shí)段轉(zhuǎn)換

實(shí)用中需將瞬時(shí)單位線轉(zhuǎn)換為時(shí)段單位線才能使用，時(shí)段轉(zhuǎn)換采用S 曲線法。

由S 曲線可以轉(zhuǎn)換得出任意時(shí)段長(zhǎng)度的單位線。

式中：S（tk）為第k 個(gè)時(shí)段末S 曲線的縱坐標(biāo)u（Δt，tk）為第k 個(gè)時(shí)段末單位線的縱坐標(biāo)。

按式（10）轉(zhuǎn)換得出時(shí)段單位線的縱坐標(biāo)為無(wú)因次值，稱之為無(wú)因次單位線，無(wú)因次單位線和時(shí)間軸所包圍的面積等于1△t，且有：

無(wú)因次單位線等價(jià)于單位時(shí)段內(nèi)輸入1△t（h）總水量的單位凈雨所形成的出流過程線，而10 mm 單位線為單位時(shí)段內(nèi)輸入10F（mm·km2）總水量的單位凈雨所形成的出流過程線。根據(jù)單位線的倍比假定，10 mm 單位線與無(wú)因次單位線之間的關(guān)系為：

4 瞬時(shí)單位線計(jì)算

Excel 中的GAMMA.DIST 函數(shù)可以用于計(jì)算瞬時(shí)單位線的S 曲線，GAMMA.DIST（X，Alpha，Beta，Cumulative）需要以下幾個(gè)參數(shù)。其中：X 為用來計(jì)算分布的值，此處為洪水時(shí)間，h；Alpha 為分布參數(shù)，對(duì)應(yīng)瞬時(shí)單位線的n 值，n=1/m2；Beta為分布參數(shù)，對(duì)應(yīng)瞬時(shí)單位線的k 值，k=m1/n；Cumulative 為決定函數(shù)形式的邏輯值。

如果Cumulative 為TRUE，函數(shù)GAMMA.DIST 返回累積分布函數(shù)；如果為FALSE，則返回概率密度函數(shù)，計(jì)算S 曲線時(shí)取值為TRUE。

進(jìn)行瞬時(shí)單位線計(jì)算時(shí)，先根據(jù)公式（7）和公式（8）計(jì)算瞬時(shí)單位線參數(shù)m1、m2，再由GAMMA.DIST 函數(shù)計(jì)算得到S 曲線，利用公式（10）得到無(wú)因次的時(shí)段單位線，再根據(jù)公式（12）得到10 mm時(shí)段單位線，然后即可計(jì)算設(shè)計(jì)洪水過程線。

經(jīng)校驗(yàn)，函數(shù)GAMMA.DIST 計(jì)算的各種m1、m2的瞬時(shí)單位線S 曲線縱坐標(biāo)與《山東省山丘區(qū)暴雨徑流查算圖》中納希瞬時(shí)單位線S 曲線查算表的結(jié)果完全一致。

5 結(jié) 語(yǔ)

山東省綜合瞬時(shí)單位線在計(jì)算無(wú)實(shí)測(cè)流量資料的流域設(shè)計(jì)洪水中應(yīng)用較為廣泛，采用本文所述方法無(wú)需編程，即可利用Excel 計(jì)算不完全Γ 函數(shù)，進(jìn)而計(jì)算設(shè)計(jì)洪水。針對(duì)某個(gè)水庫(kù)或河道工程編制的表格亦可簡(jiǎn)單修改參數(shù)重用，大大減小瞬時(shí)單位線計(jì)算洪水的工作量。亦可采用Excel 內(nèi)置宏語(yǔ)言Visual Basic for Applications（VBA）編程后實(shí)現(xiàn)批量處理計(jì)算多組設(shè)計(jì)洪水，大大提高水利水電工程設(shè)計(jì)洪水計(jì)算效率。