基于不等波長模型的II型軌道板上拱穩(wěn)定性公式

楊俊斌，張光明，楊榮山，劉學毅

（西南交通大學高速鐵路線路工程教育部重點實驗室，四川成都，610031）

近年來，每逢夏季高溫天氣，II型無砟軌道結(jié)構(gòu)總會出現(xiàn)軌道板上拱傷損。軌道板上拱的表現(xiàn)形式均為上拱處兩側(cè)軌道板向中間破損處的位移，嚴重時，上拱區(qū)域兩側(cè)一定長度范圍內(nèi)的扣件與鋼軌也發(fā)生相對位移，越靠近破損的板間接縫處，位移越大。根據(jù)上述上拱傷損的發(fā)生時間和表現(xiàn)形式，結(jié)合II型軌道板的縱連結(jié)構(gòu)特征，即可知軌道板的上拱傷損為板體內(nèi)溫度壓力所致。當溫度壓力足夠大時，軌道板最終會在上拱方向產(chǎn)生明顯的結(jié)構(gòu)變形或破壞。軌道板的上拱傷損對線路結(jié)構(gòu)的整體性及平順性均會造成較大破壞，而且出現(xiàn)頻率高，無法事先預測，因此，上拱傷損會嚴重威脅高速列車行車安全。

目前，國外的縱連無砟軌道未出現(xiàn)軌道板上拱，因此，并未對軌道板上拱進行過相關研究。國內(nèi)針對軌道板上拱的研究集中于上拱對軌道結(jié)構(gòu)層受力及形變的影響[1-10]以及上拱形成機理[11-16]這2方面。前者主要集中于其對高速列車的行車安全性的影響。后者的研究中，由于軌道板在上拱方向產(chǎn)生明顯的結(jié)構(gòu)變形或破壞時即可認為軌道板喪失穩(wěn)定，因此，曾毅等[15-16]認為軌道板上拱現(xiàn)象的理論研究屬于結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性研究范疇，并基于能量準則采用“等波長模型”推導了軌道板上拱穩(wěn)定性公式，而且采用該公式初步分析了軌道板的上拱穩(wěn)定性，但是上拱穩(wěn)定性解析研究方法中仍然存在2個問題需解決：1）在推導軌道板上拱穩(wěn)定性公式時，采用等波長模型，即假定軌道板上拱變形波長兩端鉸支，但由于軌道板橫截面具有較大的抗彎剛度，而且軌道板的上拱矢度為較小的豎向位移，上拱邊緣的實際邊界條件是介于鉸支與固結(jié)這2 種狀態(tài)之間，更接近于固結(jié)的狀態(tài)，因此，采用該模型推導的軌道板上拱穩(wěn)定性公式的計算結(jié)果可能會存在較大誤差；2）除了軌道結(jié)構(gòu)所用材料的物理力學影響因素外，軌道板上拱臨界力還受變形波長、彈性初始彎曲、塑性初始彎曲、允許變形矢度這4個參數(shù)的影響，目前對這些關鍵參數(shù)的合理取值的研究較少。由無縫線路穩(wěn)定性的相關研究可知，采用能量準則研究結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性時存在“等波長模型”及“不等波長模型”這2種模型[17-18]。“等波長模型”假設初始波長與變形后波長相等，該假設等同于將變形波長兩端視為鉸支，而“不等波長模型”假設初始波長與變形后波長不相等，變形后波長小于初始波長。采用“等波長模型”對軌道板上拱穩(wěn)定性研究時，存在上拱變形波長兩端鉸支的假定條件與上拱邊緣實際邊界條件不符合的問題。為此，本文基于能量準則，采用“不等波長模型”研究II型軌道板上拱穩(wěn)定性公式及公式中的關鍵參數(shù)的合理取值這2個問題。

1 II型軌道板上拱穩(wěn)定性理論

1.1 基本假設

1）軌道板縱向連接后，長度可以百千米計，軌道板橫截面的高度與寬度相對于結(jié)構(gòu)長度而言非常小，因此，在溫度和壓力作用下，軌道板可視為置于連續(xù)支承上的細長壓桿。

2）軌道板上“V”型假縫僅為軌道板細部結(jié)構(gòu)，忽略假縫對板體抗彎剛度的影響，將軌道板視為等厚板。

3）砂漿層與軌道板間的黏結(jié)狀態(tài)在線路運營后將極大減弱甚至消失，在公式推導中不考慮砂漿層黏結(jié)強度。

4）鋼軌及扣件系統(tǒng)的截面慣性矩相對于軌道板的截面慣性矩要小的多，忽略其在軌道板上拱中的抗彎能力。

1.2 變形曲線的線型確定

采用不等波長模型推導軌道板上拱穩(wěn)定性公式時運用勢能駐值原理。勢能駐值原理中形變能是由變形曲線的二次泛函表示。軌道板上拱穩(wěn)定性研究中形變能主要由板體上拱變形及作為板體上拱變形誘因的軌道板初始彎曲共同產(chǎn)生，因此，必須分別確定出軌道板上拱變形及其初始彎曲的線形。

軌道板上拱變形及其初始彎曲的真正變形曲線無法用初等函數(shù)或其有限項的組合來表達，通常近似變形曲線用的函數(shù)項數(shù)越多，其解的精確度越高，但變形曲線的選取不但涉及精度問題，而且影響計算的繁簡程度，一般用三角函數(shù)較為方便。本文采用三角函數(shù)分別確定軌道板上拱變形及其初始彎曲的線型。

軌道板在溫度壓力作用下的豎向變形方向受板下結(jié)構(gòu)層的限制，只能產(chǎn)生如圖1所示的上拱變形。由圖1可知：上拱區(qū)域的變形總體特征為中間高，兩邊低，即變形曲線的曲率是由兩端向中間逐漸增加，該變形特征與無縫線路穩(wěn)定性問題中鋼軌變形特征相似。

由于無縫線路直線和曲線軌道的鋼軌變形曲線均非常接近正弦曲線，同時正弦曲線計算比較簡單，故無縫線路穩(wěn)定性分析中將正弦曲線作為鋼軌變形曲線。按照變形曲線線形既要表現(xiàn)出結(jié)構(gòu)實際的主要變形特征（滿足撓度、轉(zhuǎn)角以及彎矩條件），又要滿足線形連續(xù)及簡便易用（變形曲線的表達式必須便于積分運算）的原則，軌道板的上拱變形曲線也采用半波正弦曲線表示。當上拱變形矢度為f，變形后波長為l，變形曲線y1可寫為

軌道板的初始彎曲由彈性及塑性2 個部分構(gòu)成。軌道板的彈性初始彎曲、塑性初始彎曲與板體上拱變形方向一致，參考文獻[17]，本文將彈性初始彎曲和塑性初始彎曲均采用正弦平方曲線表示。當初始波長為l0，彈性初始彎曲矢度和塑性初始彎曲矢度分別為foe及fop時，對應于圖2所示不等波長模型中初始彎曲及變形波長間的關系示意圖，軌道板彈性初始彎曲yoe和塑性初始彎曲yop可分別寫為

此時，考慮彈性初始彎曲變形和塑性初始彎曲變形時，軌道板在無溫度壓力作用時的變形曲線ys和有溫度壓力作用下的變形曲線yk可分別寫為

圖2 初始彎曲及變形波長關系示意圖Fig.2 Schematic diagram of relationship between initial bending and deformation wavelength

圖1 II型軌道板上拱傷損形成示意圖Fig.1 Schematic representation of the upper arch formation on the II type track slab

1.3 軌道結(jié)構(gòu)形變能

在1.1節(jié)假設條件下，不考慮外力做功，在溫度壓力作用下，軌道板保持上拱穩(wěn)定性的總能量由軌道板壓縮形變能、彎曲形變能和重力勢能這3個部分構(gòu)成。

1.3.1 軌道板壓縮形變能

溫度壓力作用下，軌道板由于壓縮變形而產(chǎn)生壓縮形變能。當溫度壓力為P，初始狀態(tài)與變形后的單位弧長差為dlΔ，軌道板單位壓縮形變能dA1可寫為

軌道板上拱變形前后的單位弧長差dlΔ可由計算軌道板上拱變形后的單位弧長dlk與軌道板初始狀態(tài)的單位弧長dls的差值獲得。若設變形波長l中任一微小弧長dx 對應的變形前后的弧長分別為dls與dlk，則dls和dlk與軌道板上拱變形前后的曲線ys與yk的相互關系如圖3所示。

圖3 弧長差示意圖Fig.3 Schematic diagram of arc length difference

根據(jù)圖3中所示各參數(shù)的相互關系，再結(jié)合二項式定理，可將dls，dlk與dlΔ分別寫為

將式（4）、（5）及（9）代入式（6），并對式（6）求其關于變形波長全長范圍的積分，則軌道板的壓縮形變能A1可寫為

1.3.2 軌道板彎曲形變能

當軌道板在溫度壓力作用下產(chǎn)生上拱變形時，軌道板彎曲形變能包括由軌道板上拱變形的彎矩和由彈性初始彎曲的彎矩這2個部分共同產(chǎn)生的形變能。

若軌道板彈性模量為E，橫截面慣性矩為I，截面轉(zhuǎn)角為θ，軌道板上拱形成的彎矩為M，軌道板彈性初始彎曲的彎矩為Moe，由材料力學彎曲理論可知：dθ = y1″dx，M = EIy1″，Moe=EIyoe"。由這2個部分共同產(chǎn)生的彎曲形變能A2可寫為

1.3.3 軌道板重力勢能

將軌道板重力簡化為沿板長度方向的均布荷載，若軌道板密度為ρ，軌道板橫截面積為A，重力加速度為g，則軌道板上拱變形時增加的重力勢能A3可寫為

1.4 臨界溫度力計算公式

將式（10），（11）和（12）相加，即可得軌道板總勢能A的表達式為

按照勢能駐值原理，對式（13）求關于變形矢度f的偏導，即則軌道板上拱變形時的臨界溫度力P的表達式可寫為

式（14）的意義是當初始彎曲（foe，fop，l0，l）一定，且在溫度壓力作用下軌道板產(chǎn)生變形時，若要使II 型軌道板上拱變形時保持結(jié)構(gòu)穩(wěn)定，則溫度壓力不應大于P。

2 關鍵參數(shù)取值

由式（14）可知，軌道板上拱臨界力的影響因素眾多，除去軌道結(jié)構(gòu)所用材料的物理力學影響因素外，還受變形波長、允許變形矢度、彈性及塑性初始彎曲這4個參數(shù)的影響。因此，為保證推導的穩(wěn)定性公式的正常使用，仍需確定上述4個參數(shù)的取值。

2.1 允許變形矢度

軌道板一旦上拱，上拱區(qū)域就會形成軌道結(jié)構(gòu)的靜態(tài)不平順，這種靜態(tài)不平順會對軌道幾何形位中的高低指標產(chǎn)生直接影響，高速鐵路關于靜態(tài)容許偏差管理值如表1所示[19]。運營期的高鐵線路容許偏差以經(jīng)常保養(yǎng)模式為準，軌道板由于上拱增加的幅度會導致線路的維修管理模式由經(jīng)常保養(yǎng)升級為臨時補修，甚至達到限速，由于線路的維修管理模式達到限速意味高速列車行車安全性已受到極大影響，因此，軌道板上拱后增加的幅度應以不致使線路維修管理模式升級為限速模式為原則，即軌道板上拱后增加的幅度應使線路維修管理模式保持在臨時補修模式內(nèi)。由表1可知：高鐵線路維修管理模式由經(jīng)常保養(yǎng)模式達到并保持在臨時補修模式內(nèi)時，允許最大增量為3 mm，所以，軌道板上拱允許矢度也不能超過3 mm，考慮到還會有其他因素造成高低的增加，本文建議將軌道板的允許上拱矢度定為2 mm。

表1 高速鐵路無砟軌道靜態(tài)允許偏差管理值（高低）Table 1 Management values of static tolerance of ballastless track of high-speed railway（longitudinal level of track）

2.2 初始彎曲

軌道板的塑性初始彎曲在軌道板生產(chǎn)、鋪設和使用中均有可能產(chǎn)生。

由于初始彎曲方向與軌道板上拱方向相同，軌道板上拱方向又與其厚度方向一致，因此，軌道板在生產(chǎn)中的塑性初始彎曲可參照軌道板的厚度誤差來確定。軌道板外形尺寸偏差要求如表2所示[20]。軌道板厚度誤差主要采用表2中的厚度及平整度2項指標進行控制，再通過表2中其余指標的輔助控制，軌道板在生產(chǎn)階段的厚度誤差為2 mm，因此，軌道板在生產(chǎn)中產(chǎn)生的塑性初始彎曲可能為2 mm。

表2 軌道板外形尺寸偏差的要求Table 2 Requirements for size deviation of track slab profile

按照現(xiàn)行施工技術(shù)標準，軌道板在安裝就位時，各個結(jié)構(gòu)層的施工誤差最終累計到軌道板層時，誤差為0.2 mm 以內(nèi)[21]，因此，軌道板在鋪設階段產(chǎn)生的塑性初始彎曲在0.2 mm 以內(nèi)，該值較小，本文對其忽略不計。

軌道板在使用階段產(chǎn)生的塑性初始彎曲由使軌道板產(chǎn)生向上變形的各種因素造成，高速鐵路中橋梁結(jié)構(gòu)占比很大，橋梁多為預制箱梁簡支結(jié)構(gòu)，當梁端發(fā)生轉(zhuǎn)角或者梁體產(chǎn)生徐變上拱時，縱連軌道板均有可能產(chǎn)生向上的彎曲變形。但實際上，梁端轉(zhuǎn)角及梁體徐變上拱產(chǎn)生的向上變形主要會被軌道板下的底座板及CA（cement asphalt）砂漿層分別抵消，導致軌道板產(chǎn)生的向上變形會很小。梁端轉(zhuǎn)角及梁體徐變上拱使軌道板可能產(chǎn)生的向上變形量均很小，因此，本文對軌道板在使用階段產(chǎn)生的塑性初始彎曲忽略不計。

綜上所述，本文以軌道板在生產(chǎn)過程中造成的厚度誤差作為確定塑性初始彎曲的依據(jù)，由該依據(jù)確定的軌道板塑性初始彎曲為2 mm。

軌道板彈性初始彎曲的形成可認為與軌道板的離縫傷損密切相關。圖4所示為軌道板彈性初始彎曲形成示意圖。從圖4可知，一段長度軌道板兩端出現(xiàn)了板底與CA砂漿層間的離縫傷損，列車通過時，離縫區(qū)域軌道板要比非離縫區(qū)域軌道板的豎向下沉位移大，列車荷載長期作用下，離縫區(qū)域軌道板的變形會由彈性變形變?yōu)閺椝苄宰冃危匆徊糠重Q向下沉位移成為永久變形，軌道板在該位置形成向下彎曲，軌道板兩端形成向下彎曲的同時，其中部會出現(xiàn)新的離縫區(qū)域，該離縫由軌道板向上變形產(chǎn)生，此時軌道板產(chǎn)生兩端低、中間高的變形，該變形即成為了軌道板彈性初始彎曲。

圖4 軌道板彈性初始彎曲形成示意圖Fig.4 Schematic diagram of elastic initial bending of track slab

目前，軌道板在離縫區(qū)域的塑性變形尚無成熟的研究成果可借鑒，由于軌道板的彈性初始彎曲與軌道板離縫傷損密切相關，因此，本文以文獻[19]為參考，確定彈性初始彎曲取值?？紤]到離縫是II型軌道結(jié)構(gòu)的常見傷損，離縫傷損出現(xiàn)時還伴有CA砂漿材料的缺損及剝落等現(xiàn)象，達到III級傷損標準的離縫數(shù)量較多，因此，軌道板的彈性初始彎曲建議應以III 級離縫傷損中的離縫高度1.5 mm 為取值參考，為便于對該值的記憶及計算使用，同時考慮到1.5 mm 僅為III 級傷損最小值，本文將1.5 mm取整為2.0 mm，將2.0 mm作為II型軌道板的彈性初始彎曲。

2.3 最不利波長

由文獻[16]可知，當允許變形矢度保持一定時，必然有一個變形波長能使臨界力為最小。在不等波長模型中，使臨界力為最小時的變形波長由初始波長和變形后波長共同組成，在該初始波長及變形后波長條件下，軌道板保持上拱穩(wěn)定性的能力最弱，因此，初始波長及變形后波長這2個條件的組合即代表了采用式（14）對II型軌道板上拱穩(wěn)定性進行研究時的最不利波長。

已有的上拱傷損統(tǒng)計資料表明，當軌道板上拱高度不超過7 mm 時，其上拱波長不大于10 m，不小于3 m。為確定最不利波長中初始波長及變形后波長的具體取值，同時為提高計算效率，以0.4 m 為級差，分別取初始波長l0由4.0 m 增加到19.2 m，變形后波長l 由3 m 增加到10 m，將這2個波長的不同組合作為計算工況，采用式（14）計算了各種工況下的軌道板的上拱臨界力，計算中所需的其余參數(shù)的取值分別為：II 型軌道板寬度取2.55 m，厚度取0.20 m，彈性模量取3.5×1010Pa，密度取2 500 kg/m3，重力加速度取9.8 N/kg，允許變形矢度及彈塑性初始彎曲均取2 mm。

各種工況下計算的軌道板上拱臨界力如圖5所示。由圖5 可知：各種工況下，最小臨界力為21.66 MN，此時初始波長為6.7 m，變形后波長為6.1 m。因此，該初始波長及變形后波長即為使軌道板上拱臨界力為最小的最不利波長。

圖5 軌道板上拱臨界力圖Fig.5 Diagram of critical force of upper arch on track slab

3 公式驗證

為驗證式（14），采用ANSYS 軟件建立了軌道板上拱穩(wěn)定性的三維數(shù)值計算模型。數(shù)值模型對穩(wěn)定性公式進行驗證的思路為：在初始彎曲（foe，fop，l0，l）相同的條件下，若施加在使數(shù)值模型的變形矢度為f時的溫度壓力等于同樣變形矢度條件下的穩(wěn)定性公式計算結(jié)果，則證明穩(wěn)定性公式計算結(jié)果是正確的。數(shù)值模型中溫度壓力是由施加在軌道板單元上的升溫幅度產(chǎn)生，當混凝土材料的線脹系數(shù)為α，彈性模量為E，橫截面面積為A，軌道板的升溫幅度ΔT 與臨界溫度力P 的關系式為[18]

由于數(shù)值模型中彈性初始彎曲和塑性初始彎曲需在建模階段預先設定在模擬軌道板的實體單元上，而重力荷載只能在加載階段施加，這與“軌道板的初始彎曲是在克服了重力作用后的變形”不符，因此，為使數(shù)值模型中的初始彎曲與實際情況一致，模擬軌道板的單元下部由非線性彈簧均布支承，非線性彈簧只產(chǎn)生壓力不產(chǎn)生拉力，圖6（a）所示為在最不利波長條件下，本文建立的軌道板上拱穩(wěn)定性三維數(shù)值模型僅在重力作用時軌道板的豎向位移，由圖6（a）可知：軌道板最大下沉位移僅為6.52×10-3mm，該值非常小，可以忽略不計，即說明建模階段在軌道板上預設的彈性初始彎曲和塑性初始彎曲并沒有在計算階段由于重力的作用而減小，數(shù)值模型的初始計算條件與軌道板的實際受力情況是一致的。

在最不利波長條件下，先采用式（14）計算當容許矢度為2 mm，彈性初始彎曲、塑性初始彎曲以0.5 mm 為級差，均由1 mm 增加到3 mm 時的5 種工況下軌道板臨界力，將計算的臨界力代入式（15）求得這5種工況下軌道板允許升溫幅度，然后，將允許升溫幅度作為溫度荷載施加在數(shù)值模型上即可求得5種工況下的軌道板上拱矢度。以工況3（彈性初始彎曲和塑性初始彎曲均為2 mm）為例，該工況條件下，數(shù)值模型計算的軌道板豎向位移云圖如圖6（b）所示。由圖6（b）可知：軌道板上拱矢度為2.111 mm。

圖6 軌道板豎向位移Fig.6 Vertical displacement of track slab

在上述5種工況下，式（14）中軌道板允許矢度取值與數(shù)值模型中求得的上拱矢度如表3所示。由表3可知：在5種工況下，穩(wěn)定性公式中代入的上拱矢度與數(shù)值模型計算的上拱矢度最大相對誤差約為9%，誤差較小。因此，本文推導的II型軌道板上拱穩(wěn)定性公式是正確的，適用于上拱穩(wěn)定性計算。

表3 公式中代入的與數(shù)值模型計算的上拱矢度對比Table 3 Comparison of the upper arch sagittal degree substituted in the formula with the numerical model calculationmm

4 2 種模型的穩(wěn)定性公式計算結(jié)果比較

在研究軌道板上拱穩(wěn)定性時，基于不等波長模型和等波長模型推導的穩(wěn)定性公式均只用來計算軌道板上拱穩(wěn)定性最弱時的臨界力，因此，僅需對基于2種模型的穩(wěn)定性公式計算的軌道板最小臨界力進行比較，即可確定2個穩(wěn)定性公式計算結(jié)果的差異。

本文確定的軌道板上拱允許矢度、彈塑性初始彎曲均為2 mm，將這3個參數(shù)代入文獻[16]中的基于等波長模型推導的軌道板上拱穩(wěn)定性相關公式，求得軌道板上拱時的最不利波長以及該波長條件下的最小臨界力分別為6.07 m 和18.93 MN；在相同允許矢度及初始彎曲條件下，基于不等波長模型推導的穩(wěn)定性公式計算的最小臨界力為21.66 MN。因此，基于不等波長模型推導的軌道板上拱穩(wěn)定性公式計算的臨界力略大于等波長模型下的穩(wěn)定性公式計算的臨界力，兩者相對誤差約為15%。

5 結(jié)論

1）采用不等波長模型推導的上拱穩(wěn)定性公式適用于II型軌道板上拱穩(wěn)定性研究。

2）在采用本文推導的軌道板上拱穩(wěn)定性公式進行相關研究時，建議將軌道板的允許變形矢度、彈性初始彎曲、塑性初始彎曲這3 個參數(shù)均取為2 mm。

3）當軌道板的初始變形波長取6.7 m，變形后波長取6.1 m時，軌道板保持上拱穩(wěn)定性的能力最弱，建議將此初始波長及變形后波長的組合作為軌道板上拱穩(wěn)定性研究時的最不利波長。

4）基于不等波長模型推導的臨界力公式計算結(jié)果要比基于等波長模型推導的臨界力公式計算結(jié)果大15%左右。