根號(hào)法在不定方程（組）中的應(yīng)用

劉陸石

【摘要】 費(fèi)馬大定理又被稱(chēng)為“費(fèi)馬最后的定理”，由17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家皮耶·德·費(fèi)馬提出.他斷言當(dāng)整數(shù)n>2時(shí)，關(guān)于x，y，z的方程xn+yn=zn沒(méi)有整數(shù)解.費(fèi)馬沒(méi)有寫(xiě)下證明，而他的其他猜想對(duì)數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)良多，由此激發(fā)了許多數(shù)學(xué)家對(duì)這一猜想的興趣.雖然1995年，懷爾斯證明n>2時(shí)定理成立.但證明過(guò)程冗長(zhǎng)，據(jù)說(shuō)只有幾個(gè)世界級(jí)大師才能看懂.

完美長(zhǎng)方體又稱(chēng)完美盒，指棱長(zhǎng)、面對(duì)角線和體對(duì)角線都是整數(shù)的長(zhǎng)方體.數(shù)學(xué)家歐拉曾猜測(cè)完美長(zhǎng)方體可能不存在.據(jù)說(shuō)數(shù)學(xué)界至今沒(méi)有人找到完美長(zhǎng)方體，也沒(méi)有人能證明完美長(zhǎng)方體不存在.

海倫三角形就是邊長(zhǎng)和面積都是有理數(shù)的三角形.人們基本上能找到三條高都是整數(shù)的海倫三角形，三角形平分線都是整數(shù)的海倫三角形，但一直沒(méi)有找到三條中線皆為整數(shù)的海倫三角形.

筆者研究數(shù)載，發(fā)現(xiàn)上述三個(gè)問(wèn)題具有共性，可以用同一種方法來(lái)論證.代數(shù)結(jié)構(gòu)相同是解決這三個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵，用這種性質(zhì)解決以上三個(gè)問(wèn)題，可以做到游刃有余，簡(jiǎn)明有力.

【關(guān)鍵詞】 費(fèi)馬大定理;完美長(zhǎng)方體;海倫三角形;有理數(shù)解;代數(shù)同構(gòu)

定義? 若兩個(gè)方程（組）的解集在基于方程（組）上的代數(shù)運(yùn)算結(jié)構(gòu)相同，則稱(chēng)這兩個(gè)方程（組）為同構(gòu)方程（組），這兩個(gè)方程（組）的解集為等價(jià)解集.

一、費(fèi)馬大定理的證法

（一）費(fèi)馬大定理證法一

（二）費(fèi)馬大定理證法二

（三）費(fèi)馬大定理證法三

二、不存在三中線皆為整數(shù)的海倫三角形（證法一）

三、不存在三中線皆為整數(shù)的海倫三角形（證法二）

四、不存在完美長(zhǎng)方體（證法一）

五、不存在完美長(zhǎng)方體（證法二）