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      根號(hào)法在不定方程(組)中的應(yīng)用

      2021-01-21 03:47:16劉陸石

      劉陸石

      【摘要】 費(fèi)馬大定理又被稱(chēng)為“費(fèi)馬最后的定理”,由17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家皮耶·德·費(fèi)馬提出.他斷言當(dāng)整數(shù)n>2時(shí),關(guān)于x,y,z的方程xn+yn=zn沒(méi)有整數(shù)解.費(fèi)馬沒(méi)有寫(xiě)下證明,而他的其他猜想對(duì)數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)良多,由此激發(fā)了許多數(shù)學(xué)家對(duì)這一猜想的興趣.雖然1995年,懷爾斯證明n>2時(shí)定理成立.但證明過(guò)程冗長(zhǎng),據(jù)說(shuō)只有幾個(gè)世界級(jí)大師才能看懂.

      完美長(zhǎng)方體又稱(chēng)完美盒,指棱長(zhǎng)、面對(duì)角線和體對(duì)角線都是整數(shù)的長(zhǎng)方體.數(shù)學(xué)家歐拉曾猜測(cè)完美長(zhǎng)方體可能不存在.據(jù)說(shuō)數(shù)學(xué)界至今沒(méi)有人找到完美長(zhǎng)方體,也沒(méi)有人能證明完美長(zhǎng)方體不存在.

      海倫三角形就是邊長(zhǎng)和面積都是有理數(shù)的三角形.人們基本上能找到三條高都是整數(shù)的海倫三角形,三角形平分線都是整數(shù)的海倫三角形,但一直沒(méi)有找到三條中線皆為整數(shù)的海倫三角形.

      筆者研究數(shù)載,發(fā)現(xiàn)上述三個(gè)問(wèn)題具有共性,可以用同一種方法來(lái)論證.代數(shù)結(jié)構(gòu)相同是解決這三個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵,用這種性質(zhì)解決以上三個(gè)問(wèn)題,可以做到游刃有余,簡(jiǎn)明有力.

      【關(guān)鍵詞】 費(fèi)馬大定理;完美長(zhǎng)方體;海倫三角形;有理數(shù)解;代數(shù)同構(gòu)

      定義? 若兩個(gè)方程(組)的解集在基于方程(組)上的代數(shù)運(yùn)算結(jié)構(gòu)相同,則稱(chēng)這兩個(gè)方程(組)為同構(gòu)方程(組),這兩個(gè)方程(組)的解集為等價(jià)解集.

      一、費(fèi)馬大定理的證法

      (一)費(fèi)馬大定理證法一

      (二)費(fèi)馬大定理證法二

      (三)費(fèi)馬大定理證法三

      二、不存在三中線皆為整數(shù)的海倫三角形(證法一)

      三、不存在三中線皆為整數(shù)的海倫三角形(證法二)

      四、不存在完美長(zhǎng)方體(證法一)

      五、不存在完美長(zhǎng)方體(證法二)

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