巧用“類(lèi)比” 活學(xué)“實(shí)數(shù)”

潘海波

從前，有個(gè)縣遭了災(zāi)，村民們推薦一個(gè)老者去衙門(mén)報(bào)告災(zāi)情，請(qǐng)求減點(diǎn)稅。老者來(lái)到縣衙，縣官問(wèn)他：“小麥?zhǔn)樟藥壮?？”老者答：“五成。”“棉花呢？”“三成?！薄坝衩啄兀俊薄皟沙??！笨h官聽(tīng)了大怒道：“有了十成收獲，年景不壞，你還來(lái)報(bào)災(zāi)，真是大膽！”老者忙說(shuō)：“我活了180歲，還沒(méi)有遇到過(guò)如此嚴(yán)重的災(zāi)情??！”縣官聽(tīng)了說(shuō)：“胡說(shuō)！你怎么活了180歲呢？”老者說(shuō)：“大兒子50歲，二兒子30歲，小兒子20歲，老漢我今年80歲，合起來(lái)正好180歲，一點(diǎn)兒也不胡說(shuō)?！笨h官拍著桌子說(shuō)：“哪有如此算法？”老者說(shuō)：“大老爺息怒！剛才你計(jì)算收成，不也是這樣算的嗎？”

這則故事中，老者駁斥昏庸無(wú)道的縣官，用的就是類(lèi)比的方法。在實(shí)際生活中，我們把一些“似曾相識(shí)”的事物加以比較，常常會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，“把類(lèi)似問(wèn)題進(jìn)行比較和聯(lián)想，由一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象已知的性質(zhì)遷移到另一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象上去，從而獲得另一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)”，這種思維方法就是類(lèi)比。

實(shí)數(shù)的知識(shí)點(diǎn)與之前許多知識(shí)點(diǎn)有很多類(lèi)似之處，下面我們將采用類(lèi)比的方法加以學(xué)習(xí)。

一、概念類(lèi)比

1.平方根與立方根。

從平方根與立方根的概念上看，兩者的表述方式完全一樣：如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫作a的平方根，也叫二次方根，求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算叫作開(kāi)平方，開(kāi)平方與平方互為逆運(yùn)算;如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫作a的立方根，也叫三次方根，求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算叫作開(kāi)立方，開(kāi)立方與立方互為逆運(yùn)算。

從方根的個(gè)數(shù)上看，只有非負(fù)數(shù)才有平方根，正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)，0的平方根是0，負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根;任何一個(gè)數(shù)都有立方根，正數(shù)的立方根是正數(shù)，0的立方根是0，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)。

從符號(hào)表示上看，一個(gè)數(shù)a的平方根，記作±[a];一個(gè)數(shù)a的立方根，記作[a3]。

2.有理數(shù)與實(shí)數(shù)的其他概念。

我們知道：一個(gè)正有理數(shù)的絕對(duì)值是它本身，一個(gè)負(fù)有理數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0。類(lèi)似地：一個(gè)正實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它本身，一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0。事實(shí)上，無(wú)論是在有理數(shù)范圍內(nèi)，還是在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，相反數(shù)、倒數(shù)的意義及求法都是一樣的。

另外，有理數(shù)與實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系也是類(lèi)似的。任何一個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示，任何一個(gè)實(shí)數(shù)也都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示;反過(guò)來(lái)，我們要注意，數(shù)軸上的點(diǎn)都可以表示一個(gè)實(shí)數(shù)，這里既包括有理數(shù)，又包括無(wú)理數(shù)，而不僅僅只表示一個(gè)有理數(shù)。

二、分類(lèi)類(lèi)比

有理數(shù)，將其按性質(zhì)可以分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)（如圖1），按符號(hào)可以分為正有理數(shù)、0和負(fù)有理數(shù)（如圖2）。

類(lèi)似地，實(shí)數(shù)按性質(zhì)可以分為有理數(shù)和無(wú)理數(shù)（如圖3），按符號(hào)可以分為正實(shí)數(shù)、0和負(fù)實(shí)數(shù)（如圖4）。

三、運(yùn)算類(lèi)比

在有理數(shù)范圍內(nèi)，運(yùn)算法則包括加、減、乘、除、乘方。運(yùn)算順序?yàn)椋合人愠朔剑偎愠顺?，最后算加減，如果有括號(hào)，就先算括號(hào)里的。運(yùn)算律有加法交換律、加法結(jié)合律、乘法交換律、乘法結(jié)合律、乘法分配律。同樣，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，這些運(yùn)算法則、運(yùn)算順序、運(yùn)算律仍然適用。

著名數(shù)學(xué)家波利亞說(shuō)過(guò)：“類(lèi)比是一個(gè)偉大的引路人。”希望同學(xué)們?cè)谝院蟮膶W(xué)習(xí)中不斷領(lǐng)會(huì)，并加強(qiáng)運(yùn)用。

（作者單位：江蘇省常州市實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)天寧分校）