立方根

學(xué) 呂佳夕關(guān)于立方根的起源，可追溯到公元前429 年，一場(chǎng)瘟疫襲擊了希臘蒂洛斯島。為了遏制瘟疫，國(guó)王要將阿波羅神殿中那個(gè)立方體的祭壇加大一倍（也就是要求做一個(gè)正方體，使它是已知正方體體積的2 倍），這就是有名的“倍立方問題”。它和三等分角問題、化圓為方問題共稱為尺規(guī)作圖不能問題，也叫作古希臘三大幾何問題。為了解決這個(gè)問題，應(yīng)運(yùn)而生，這就是立方根的由來?！竟适略汀课覈?guó)數(shù)學(xué)家華羅庚在一次出國(guó)訪問途中，看到飛機(jī)上鄰座乘客的雜志上有一道智力題：求59319 的立

材八年級(jí)上冊(cè)“立方根”的教學(xué)片段與大家分享個(gè)人觀點(diǎn)，不當(dāng)之處請(qǐng)批評(píng)指正。一、教學(xué)片段1.以“問”促憶，回顧舊知問題1：同學(xué)們，平方根的概念是什么？生：如果x2=a（a≥0），那么x叫做a的平方根。追問1：為什么a≥0？追問2：如何表示a的平方根？【設(shè)計(jì)意圖】問題1 作為起始之問，幫助學(xué)生回憶舊知。追問1幫助學(xué)生理解a的含義，凸顯平方的非負(fù)性。追問2 制造認(rèn)知沖突，大部分學(xué)生會(huì)脫口而出±a，忽視了用字母a表示平方根時(shí)，a只能是非負(fù)數(shù)。此環(huán)節(jié)幫助學(xué)生明確在用字

度?！娟P(guān)鍵詞】立方根；問題鏈；代數(shù)推理【中圖分類號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? 【文章編號(hào)】1005-6009（2022）75-0037-03【作者簡(jiǎn)介】1.朱金霞，江蘇省南菁高級(jí)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校（江蘇無(wú)錫，214400）教師，一級(jí)教師；2.孫海鋒，江蘇省江陰市敔山灣實(shí)驗(yàn)學(xué)校（江蘇無(wú)錫，214400）教師，高級(jí)教師。代數(shù)推理是推理的一種類型，初中代數(shù)推理是將代數(shù)式（或關(guān)系）變形為特定的目標(biāo)結(jié)構(gòu)（或關(guān)系），用代數(shù)方法證明（或說理）。［1］《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課

比1.平方根與立方根。從平方根與立方根的概念上看，兩者的表述方式完全一樣：如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫作a的平方根，也叫二次方根，求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算叫作開平方，開平方與平方互為逆運(yùn)算；如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫作a的立方根，也叫三次方根，求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算叫作開立方，開立方與立方互為逆運(yùn)算。從方根的個(gè)數(shù)上看，只有非負(fù)數(shù)才有平方根，正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)，0 的平方根是0，負(fù)數(shù)沒有平方根；任何一個(gè)數(shù)都有立方根，正數(shù)的立方根

方根B.27的立方根是±3C.立方根等于-1的實(shí)數(shù)是-1D.1的平方根是1【考點(diǎn)】平方根和立方根的概念。3.實(shí)數(shù)的算術(shù)平方根是______。【考點(diǎn)】算術(shù)平方根的概念。易錯(cuò)類型二：思想方法再?gòu)?qiáng)化4.求使有意義的x的取值范圍?！究键c(diǎn)】整體思想、算術(shù)平方根的性質(zhì)。5.實(shí)數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖1所示，其中c為8 的立方根，求代數(shù)式-|2b|的值。圖1【考點(diǎn)】數(shù)形結(jié)合、實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)所表示的數(shù)之間是一一對(duì)應(yīng)的。6.已知（x－1）2++2=0，則（x＋y）2

思考。在教授《立方根》時(shí)教師可以通過提問的方式引發(fā)學(xué)生思考，增加師生互動(dòng)，用具體的問題引導(dǎo)學(xué)生思考，在解決問題的過程中深入地理解立方根的概念、算法等，加強(qiáng)對(duì)實(shí)數(shù)的掌握與理解。數(shù)學(xué)教師提出的問題一定要有坡度，由易到難，由淺入深，逐漸加深，通過層層遞進(jìn)的問題順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，可以借助前期學(xué)習(xí)的平方根提問輔助學(xué)生理解。學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上可能會(huì)因?yàn)殡y以理解立方根的概念、公式和實(shí)際運(yùn)用而停止思考，自我放棄，或者是在自己覺得理解了課本上的立方根知識(shí)之后就感到驕傲，不愿

比1.平方根與立方根。從平方根與立方根的概念上看，兩者的表述方式完全一樣：如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫作a的平方根，也叫二次方根，求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算叫作開平方，開平方與平方互為逆運(yùn)算;如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫作a的立方根，也叫三次方根，求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算叫作開立方，開立方與立方互為逆運(yùn)算。從方根的個(gè)數(shù)上看，只有非負(fù)數(shù)才有平方根，正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)，0的平方根是0，負(fù)數(shù)沒有平方根;任何一個(gè)數(shù)都有立方根，正數(shù)的立方根是

】或-。二、對(duì)立方根的概念理解不透徹例3下列說法正確的是（ ）。A.1的立方根是±1B.-27沒有立方根C. 互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的立方根也互為相反數(shù)D.立方根等于本身的數(shù)是±1【錯(cuò)解】A、B、D?！惧e(cuò)解分析】有些同學(xué)對(duì)立方根的概念缺乏正確的理解或理解不透徹，容易與平方根的概念產(chǎn)生混淆，從而導(dǎo)致出錯(cuò)。由于正數(shù)的平方根有兩個(gè)，所以有些同學(xué)誤以為正數(shù)的立方根也有兩個(gè)，這顯然是不對(duì)的。正數(shù)的立方根只有一個(gè)，且仍是正數(shù)，所以1 的立方根是1，因此A 選項(xiàng)錯(cuò)誤。有的同

目前，網(wǎng)上求解立方根的算法多種多樣。但也都很麻煩，很難找到一個(gè)公式，一次性求解立方根。但立方根是由一個(gè)一個(gè)的數(shù)字組成，如果按照順序能夠逐個(gè)找到它的數(shù)字，也不失是一個(gè)解決問題的方法。例如，5的立方根是1.709（為方便起見，小數(shù)點(diǎn)兒后面取三位數(shù)字）。假如按某種規(guī)律先找到1，然后按照某種規(guī)律，再能夠找到7、0、和9 問題就解決了。不過目前在網(wǎng)上搜索，找不到揭示這樣規(guī)律的公式。最近有一個(gè)人發(fā)現(xiàn)了它。他叫魏至誠(chéng)。2008年2月20日出生，今年12歲，中國(guó)遼寧省大連

）.A.1的立方根是+1B.負(fù)數(shù)沒有立方根C.2的立方根是√2D.任何實(shí)數(shù)都有一個(gè)立方根2.下列說法正確的是（ ）.A.-個(gè)有理數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)B.一個(gè)有理數(shù)的立方根不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)C.負(fù)數(shù)沒有立方根D.如果一個(gè)數(shù)的立方根是這個(gè)數(shù)本身，那么這個(gè)數(shù)一定是一1或0或13.-8的立方根與4的平方根的和是（ ）.A.0B.4C.0或4D.0或-44.下列各組數(shù)中互為相反數(shù)的是（ ）.*l4.一個(gè)正方體的體積擴(kuò)大為原來的8倍，它的棱長(zhǎng)變?yōu)樵瓉淼亩嗌?/div>

中學(xué)生數(shù)理化·七年級(jí)數(shù)學(xué)人教版 2020年3期2020-08-10

考點(diǎn)，考點(diǎn)1 立方根例1 （2019年徐州）8的立方根是.分析：一般地，如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫作a的立方根或三次方根.這就是說，如果x-=a，那么x叫作a 的立方根.數(shù)a的立方根記作“3√a”，解：因?yàn)?3=8，所以8的立方根是2.故應(yīng)填2.點(diǎn)評(píng)：正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù).0的立方根是0.本題主要考查立方根，解題的關(guān)鍵是掌握立方根的定義.考點(diǎn)2：算術(shù)平方根例2（2019年綿陽(yáng)）若√a=2，則a的值為（ ）.A.-4B.4C.-2

學(xué)習(xí)了平方根和立方根的相關(guān)知識(shí)后，對(duì)“√”“3√”等都已經(jīng)熟悉并能自如地使用，可以切身體會(huì)到在使用它時(shí)的便利性，不過，對(duì)于根號(hào)的由來和演變，許多人也許并不清楚.說起來，這可是一段相當(dāng)曲折的過程呢！古時(shí)候，埃及人用記號(hào)“「”表示平方根，印度人在開平方時(shí)，在被開方數(shù)的前面寫上ka.公元2世紀(jì)的羅馬人則用拉丁詞語(yǔ)latus（正方形的邊）表示平方根，這個(gè)詞的首字母1后來成為歐洲重要的表示平方根的符號(hào)，在16世紀(jì)，有人采用“根”字的拉丁文radix中第一個(gè)字母的大寫

相反數(shù)。二、對(duì)立方根的概念理解不透徹例3下列說法正確的是（ ）。A.1的立方根是±1B.-27沒有立方根C.互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的立方根也互為相反數(shù)D.立方根等于本身的數(shù)是±1【錯(cuò)解】A、B、D?！惧e(cuò)解分析】有些同學(xué)對(duì)立方根的概念缺乏正確的理解或理解不透徹，容易與平方根的概念產(chǎn)生混淆，從而導(dǎo)致出錯(cuò)。由于正數(shù)的平方根有兩個(gè)，所以有些同學(xué)誤以為正數(shù)的立方根也有兩個(gè)，這顯然是不對(duì)的。正數(shù)的立方根只有一個(gè)，且仍是正數(shù)，所以1的立方根是1，因此A選項(xiàng)錯(cuò)誤。有的同學(xué)同樣

了求平方根、 立方根的簡(jiǎn)單方法，使課堂教學(xué)中提高學(xué)生科學(xué)思維能力落到實(shí)處。關(guān)鍵詞：科學(xué)思維;費(fèi)米問題;估算;平方根;立方根中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? 文章編號(hào)：1003-6148（2019）6-0058-42017年教育部頒布的《高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)》的“課程目標(biāo)”中，要求通過高中階段的物理學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)具有四大素養(yǎng)，其中之一是關(guān)于科學(xué)思維方面的[1]。主要包括：建構(gòu)理想模型的意識(shí)和能力;能正確運(yùn)用科學(xué)思維方法，從定性和定量?jī)蓚€(gè)方面進(jìn)行科學(xué)

本文以人教版“立方根”為例,嘗試用類比的思想實(shí)現(xiàn)知識(shí)、方法和視角上的關(guān)聯(lián),用問題鏈驅(qū)動(dòng)學(xué)生自主探究、形成概念.2、教學(xué)案例設(shè)計(jì)2.1 立足數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí),使概念發(fā)現(xiàn)更自然問題1關(guān)于平方根我們研究了哪些內(nèi)容? 請(qǐng)你多角度地談?wù)勀銓?duì)平方根的認(rèn)識(shí).生1: 按照學(xué)習(xí)的順序分別是: 平方根的定義,開平方的定義,性質(zhì),符號(hào)表示,應(yīng)用.生2: 已知一個(gè)數(shù)x 的平方等于a, 那么x 叫a 的平方根,若x2=a,則生3: 從方程的角度看x2=a,x 是二次方程的解也叫方程的根,因

們借助平方根、立方根的意義，對(duì)它們的概念作出分析，從中悟出道理：一個(gè)較大的非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根較大；一個(gè)較大數(shù)的立方根較大.然后加以應(yīng)用，問題獲得解決.【例3】比較大小：【解析】（1）因?yàn)槭?40的算術(shù)平方根，可反用平方根概念，所以（）2=140.又因?yàn)?22=144＞140，所以＜12.又因?yàn)椋?.5）3=15.625＞9，所以＜2.5.【回顧】這里主要是對(duì)平方根、立方根的概念逆向思考.一個(gè)非負(fù)數(shù)a的平方根為：±，反過來，（±）2=a（a≥0）；一個(gè)數(shù)a的

開立方運(yùn)算——立方根.定義：如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的立方根.數(shù)a的立方根，記作 a3，讀作“三次根號(hào)a”.顯然，任何數(shù)（正數(shù)、負(fù)數(shù)或零）的立方根如果存在的話，必定只有一個(gè).求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算，叫做開立方.數(shù)系擴(kuò)充：有了開方運(yùn)算，出現(xiàn)了一些開方開不盡的數(shù)，我們就有必要將數(shù)系進(jìn)一步擴(kuò)充到實(shí)數(shù)了.實(shí)數(shù)系其實(shí)就是對(duì)以前學(xué)習(xí)的所有數(shù)的總結(jié)，是數(shù)系的一次重要擴(kuò)充，又是今后學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).我們已經(jīng)知道整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，并規(guī)定無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)

們借助平方根、立方根的意義，對(duì)它們的概念作出分析，從中悟出道理：一個(gè)較大的非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根較大；一個(gè)較大數(shù)的立方根較大.然后加以應(yīng)用，問題獲得解決.【例3】比較大?。海?）[140]與12；（2）[93]與2.5.【解析】（1）因?yàn)閇140]是140的算術(shù)平方根，可反用平方根概念，所以（[140]）2=140.又因?yàn)?22=144>140，所以[140]<12.（2）因?yàn)閇93]是9的立方根，所以反用立方根概念，（[93]）3=9，又因?yàn)椋?.5）3=1

開立方運(yùn)算——立方根.定義：如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的立方根.數(shù)a的立方根，記作[a3]，讀作“三次根號(hào)a”.顯然，任何數(shù)（正數(shù)、負(fù)數(shù)或零）的立方根如果存在的話，必定只有一個(gè).求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算，叫做開立方.數(shù)系擴(kuò)充：有了開方運(yùn)算，出現(xiàn)了一些開方開不盡的數(shù)，我們就有必要將數(shù)系進(jìn)一步擴(kuò)充到實(shí)數(shù)了.實(shí)數(shù)系其實(shí)就是對(duì)以前學(xué)習(xí)的所有數(shù)的總結(jié)，是數(shù)系的一次重要擴(kuò)充，又是今后學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).我們已經(jīng)知道整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，并規(guī)定無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理

級(jí)上冊(cè)3.3“立方根”為載體的研修活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)，課堂教學(xué)普遍存在過程教育不到位的問題.鑒于此，筆者在重復(fù)觀摩與反思的基礎(chǔ)上，以問答的形式呈現(xiàn)該課的幾個(gè)節(jié)點(diǎn)問題及參考答案，供讀者參考、研究.問：該課研究的對(duì)象是什么？它是在怎樣的背景下提出來的？答：該課研究的對(duì)象是“已知x3=a（a是已知數(shù)），求x”的運(yùn)算.它是在學(xué)習(xí)乘方運(yùn)算的基礎(chǔ)上，為解決形如“已知x3=a（a是已知數(shù)），求x”的需要提出來的，因?yàn)樾稳纭耙阎獂3=a（a是已知數(shù)），求x”的運(yùn)算有豐富的現(xiàn)實(shí)情景

工作，執(zhí)教了“立方根（第1課時(shí)）”（人教版），并就概念教學(xué)與我們進(jìn)行了廣泛的交流，黃老師將“立方根”如履春風(fēng)吹來，課堂波瀾起伏，令人反思良久，回味無(wú)窮.筆者對(duì)該課概念探究途徑進(jìn)行了一些思考，以期對(duì)讀者有所啟迪.一、教學(xué)實(shí)錄1.回顧與反思問題1：請(qǐng)你回顧學(xué)習(xí)“6.1平方根”的過程，思考以下問題：（1）平方根的學(xué)習(xí)是基于一個(gè)什么現(xiàn)實(shí)問題而提出的？它引出的數(shù)學(xué)問題又是什么？（2）平方根的學(xué)習(xí)包含哪些內(nèi)容？建議你畫圖表示，這樣更為清晰、明了.學(xué)生探究之后畫圖（如圖

要] 教學(xué)“立方根”時(shí)，需要學(xué)生掌握相應(yīng)的概念、計(jì)算方法和性質(zhì)等內(nèi)容. 考慮到學(xué)生的理解能力有限，所以教學(xué)時(shí)需采用科學(xué)的方式，合理設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié). 本文基于教學(xué)要求，對(duì)“立方根”的教學(xué)提出了相應(yīng)的建議.[關(guān)鍵詞] 立方根;概念;開立方;思想;方法“立方根”是蘇科版八年級(jí)上冊(cè)的重要內(nèi)容，第1課時(shí)的教學(xué)需要學(xué)生掌握立方根的基本概念，學(xué)會(huì)立方根的具體求法，且通過立方根的學(xué)習(xí)完善實(shí)數(shù)體系，感受數(shù)運(yùn)算的探究過程，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力. 下面將對(duì)該課時(shí)的教學(xué)提幾點(diǎn)建議.

趙縈銀平方根和立方根猶如一對(duì)孿生的姐妹，就像平方與立方這對(duì)孿生兄弟一樣，他們有著相似的外貌（[a2]與[a3]）、類似的性格以及截然不同的愛好.（注：根指數(shù)是2時(shí)可省略不寫，如[2].）平方根的老家是平方，在x2=a中，x就是a的平方根，記作±[a].要尋找一個(gè)數(shù)的平方根，必須回到她的老家去，想一想什么樣的數(shù)的平方等于這個(gè)數(shù)？比如要想知道25的平方根是多少，那你就應(yīng)先想一想：什么數(shù)的平方等于25.因?yàn)?和-5的平方都等于25，所以25的平方根是5和-5.完

、算術(shù)平方根、立方根等.在學(xué)習(xí)過程中，如果不能準(zhǔn)確地認(rèn)清這些概念，不能識(shí)別這些概念之間的聯(lián)系和區(qū)別，那么，在解題過程中，就會(huì)經(jīng)常產(chǎn)生混淆，出現(xiàn)錯(cuò)誤.怎樣才能學(xué)好“實(shí)數(shù)”這一章的內(nèi)容呢？剛才已經(jīng)提到了，實(shí)數(shù)是在學(xué)習(xí)了有理數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，許多有理數(shù)的概念和運(yùn)算可以“平移”到實(shí)數(shù)中來，這就給我們一個(gè)啟示，把一些容易產(chǎn)生混淆的概念放在一起，運(yùn)用對(duì)比的方法進(jìn)行學(xué)習(xí)，可以提高學(xué)習(xí)效率.一、利用概念的從屬關(guān)系進(jìn)行對(duì)比概念的從屬關(guān)系即如果有兩個(gè)概念，一個(gè)是大概念，另一個(gè)

.其中平方根、立方根和無(wú)理數(shù)的定義出現(xiàn)的頻率較高，但難度不大，而實(shí)數(shù)的估值一般難度略大.實(shí)數(shù)的估值一般怎么考查呢？下面以2015年常州市中考數(shù)學(xué)第6題為例.A.a＞b＞c B.c＞b＞a C.b＞a＞c D.a＞c＞b【總結(jié)】比較無(wú)理數(shù)大小的方法很多，具體根據(jù)數(shù)據(jù)的特征而定，常用的方法有平方法、倒數(shù)法、作差法、估算法等.【跟蹤訓(xùn)練】地區(qū)常州揚(yáng)州蘇州鹽城蘇州泰州南京2016年數(shù)軸與實(shí)數(shù)；簡(jiǎn)單的實(shí)數(shù)運(yùn)算2017年2的算術(shù)平方根2015年實(shí)數(shù)大小比較實(shí)數(shù)0的分類

姐妹：平方根與立方根趙縈銀平方根和立方根猶如一對(duì)孿生的姐妹，就像平方與立方這對(duì)孿生兄弟一樣，他們有著相似的外貌（）、類似的性格以及截然不同的愛好.（注：根指數(shù)是2時(shí)可省略不寫，如.）平方根的老家是平方，在x2=a中，x就是a的平方根，記作±.要尋找一個(gè)數(shù)的平方根，必須回到她的老家去，想一想什么樣的數(shù)的平方等于這個(gè)數(shù)？比如要想知道25的平方根是多少，那你就應(yīng)先想一想：什么數(shù)的平方等于25.因?yàn)?和-5的平方都等于25，所以25的平方根是5和-5.完全平方數(shù)的

、算術(shù)平方根、立方根等.在學(xué)習(xí)過程中，如果不能準(zhǔn)確地認(rèn)清這些概念，不能識(shí)別這些概念之間的聯(lián)系和區(qū)別，那么，在解題過程中，就會(huì)經(jīng)常產(chǎn)生混淆，出現(xiàn)錯(cuò)誤.怎樣才能學(xué)好“實(shí)數(shù)”這一章的內(nèi)容呢？剛才已經(jīng)提到了，實(shí)數(shù)是在學(xué)習(xí)了有理數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，許多有理數(shù)的概念和運(yùn)算可以“平移”到實(shí)數(shù)中來，這就給我們一個(gè)啟示，把一些容易產(chǎn)生混淆的概念放在一起，運(yùn)用對(duì)比的方法進(jìn)行學(xué)習(xí)，可以提高學(xué)習(xí)效率.一、利用概念的從屬關(guān)系進(jìn)行對(duì)比概念的從屬關(guān)系即如果有兩個(gè)概念，一個(gè)是大概念，另一個(gè)

有理數(shù) 整式 立方根 不等式 應(yīng)用 有效性1 引言著名教育家玻利亞曾形象地說過：“類比是一個(gè)偉大的領(lǐng)路人。”在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，類比思想是理解概念，鍛煉思維，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的重要手段。類比法是初中重要的教學(xué)方法，數(shù)學(xué)中的許多概念、定理、法則等是通過類比得到的，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用新舊知識(shí)的類比，不僅有利于理解、掌握新知識(shí)，還能使舊知識(shí)得到鞏固，同時(shí)拓寬視野，突出問題的本質(zhì)，更有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，提高解決問題的能力。在解題中尋找問題的線索，往往也借助

認(rèn)識(shí)了“立方根”這一概念后，我發(fā)現(xiàn)很多同學(xué)對(duì)“平方根”和“立方根”這兩者有些混淆，特別在解一些綜合題時(shí)更是如此.下面就以一道典型的選擇題為例來談?wù)勎覀€(gè)人的理解.題目：下列算式或語(yǔ)句：①±4是64的立方根;②=x;③的立方根是4;④=±4.其中正確的有（ ? ? ?）.A. 1個(gè) B. 2個(gè)C. 3個(gè) D. 4個(gè)【我的分析】應(yīng)是A.理由：在①中，±4是64的立方根顯然是錯(cuò)誤的，因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)的立方根只有一個(gè)且正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根還是

、算術(shù)平方根、立方根是《實(shí)數(shù)》一章中最重要的概念，不少同學(xué)在學(xué)習(xí)中對(duì)它們認(rèn)識(shí)模糊，出現(xiàn)混淆現(xiàn)象.為了弄清它們的聯(lián)系與區(qū)別，現(xiàn)整理成幾個(gè)方面來進(jìn)行釋析，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考，希望對(duì)大家的學(xué)習(xí)有所幫助.一、 平方根與平方數(shù)1. 平方數(shù)的概念對(duì)于x2=a來說，a是x的平方數(shù)，x是a的平方根，二者的意義不同，性質(zhì)不同，求法也不同.由x2=a求a是平方運(yùn)算，由x2=a求x是開平方運(yùn)算，兩種是互逆運(yùn)算.因?yàn)槿魏握龜?shù)、負(fù)數(shù)的平方都是正數(shù)，零的平方是零，所以a總是一個(gè)非負(fù)數(shù)

在解決平方根和立方根的有關(guān)問題時(shí)常犯的錯(cuò)誤加以分析，希望同學(xué)們能從這些錯(cuò)誤中汲取經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，不犯或少犯類似的錯(cuò)誤.例1 ? （2015·湖北恩施）4的平方根是________.【錯(cuò)解】填2.【錯(cuò)因診斷】一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù).錯(cuò)解將平方根與算術(shù)平方根混淆了.【正解】由（±2）2=4，得4的平方根是±2.【點(diǎn)評(píng)】本題考查平方根的概念，掌握“正數(shù)的平方根有兩個(gè)，且互為相反數(shù)”是解題的關(guān)鍵.例2 ? 下列各數(shù)有平方根嗎？有算術(shù)平方根嗎？若有，請(qǐng)把它

2. 平方根與立方根：（1） 定義不同：如果x2=a（a≥0），那么x叫做a的平方根；如果x3=a，那么x叫做a的立方根. （2） a的取值范圍不同：當(dāng)a是非負(fù)數(shù)時(shí)，才會(huì)有平方根；任何數(shù)a都有一個(gè)立方根. （3） 表示方式不同：正數(shù)a的兩個(gè)平方根記作±，每個(gè)數(shù)a都只有一個(gè)立方根，記作. （4） 個(gè)數(shù)不同：一個(gè)正數(shù)a有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)，任何數(shù)a的立方根只有一個(gè)【分析】∵題目中是確定開立方運(yùn)算中a-2的取值范圍，而對(duì)于任何數(shù)，都有它的立方根，∴被開方

黃海龍1、立方根等于本身的數(shù)為（ ）A.1 B.-1C.0 D.0、1、-1 1、立方根等于本身的數(shù)為（ ）A.1 B.-1C.0 D.0、1、-1 1、立方根等于本身的數(shù)為（ ）A.1 B.-1C.0 D.0、1、-1

9頁(yè)有一個(gè)探究立方根的數(shù)學(xué)活動(dòng)，按書中所述的步驟操作，我們可一以快速求得一些數(shù)的立方根，但你明白求解的原理嗎？endprint人教版數(shù)學(xué)教科書七年級(jí)下冊(cè)第59頁(yè)有一個(gè)探究立方根的數(shù)學(xué)活動(dòng)，按書中所述的步驟操作，我們可一以快速求得一些數(shù)的立方根，但你明白求解的原理嗎？endprint人教版數(shù)學(xué)教科書七年級(jí)下冊(cè)第59頁(yè)有一個(gè)探究立方根的數(shù)學(xué)活動(dòng)，按書中所述的步驟操作，我們可一以快速求得一些數(shù)的立方根，但你明白求解的原理嗎？endprint

們初學(xué)平方根與立方根時(shí)，常?；煜恍└拍詈托再|(zhì)，為幫助同學(xué)們學(xué)好這部分內(nèi)容，本文對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)加以梳理。endprint同學(xué)們初學(xué)平方根與立方根時(shí)，常常混淆一些概念和性質(zhì)，為幫助同學(xué)們學(xué)好這部分內(nèi)容，本文對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)加以梳理。endprint同學(xué)們初學(xué)平方根與立方根時(shí)，常?；煜恍└拍詈托再|(zhì)，為幫助同學(xué)們學(xué)好這部分內(nèi)容，本文對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)加以梳理。endprint

方根、平方根、立方根的知識(shí)時(shí)往往感覺很容易，但是在解題時(shí)又會(huì)出現(xiàn)各種錯(cuò)誤.為了幫助同學(xué)們更好地學(xué)習(xí)，現(xiàn)將知識(shí)點(diǎn)歸納如下.一、區(qū)別1. 定義不同平方根：如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)就叫a的平方根或二次方根.即如果x2=a，那么x就叫a的平方根.算術(shù)平方根：如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根（規(guī)定：0的算術(shù)平方根是0）.立方根：如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的立方根或三次方根.即如果x3=a，那么x叫做a的

平方根，其中“立方根”一節(jié)的片段教學(xué)，教師需要明確該節(jié)的重點(diǎn)是對(duì)平方根的概念和性質(zhì)有所了解，同時(shí)要求學(xué)生能夠在課堂學(xué)習(xí)后學(xué)會(huì)求某些數(shù)的立方根。同時(shí)，該節(jié)內(nèi)容的難點(diǎn)是需要教師在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，提高學(xué)生求立方根的運(yùn)算能力和速度。在該節(jié)片段教學(xué)中，教師要先做好復(fù)習(xí)引入工作，而填空和問答等形式是導(dǎo)入教學(xué)內(nèi)容的有效途徑：1.填空。2的平方根是（ ）;0的平方根是（ ）;-2的平方根是（ ）;2.提問設(shè)計(jì)。請(qǐng)一位同學(xué)給我們回憶下上節(jié)課中提到的平方根的定義是什

是().①8的立方根是2;②的立方根是與-; ③-27無(wú)立方根;④互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的立方根互為相反數(shù).A. ①④ B. ①② C. ①③ D. ②④4. 實(shí)數(shù)3.14,,π,- ,0.121 121 112…,中,無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)為().A. 2 B. 3C. 4 D. 55. 下列從左到右的變形是分解因式的是().A. (x-4)(x+4)=x2-16B. x2-y2+2=(x+y)(x-y)+2C. 2ab+2ac=2a(b+

如果一個(gè)數(shù)的立方根是這個(gè)數(shù)的本身，那么這個(gè)數(shù)一定是０B. 一個(gè)數(shù)的立方根不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)C. 負(fù)數(shù)沒有立方根D. 一個(gè)數(shù)的立方根和這個(gè)數(shù)同號(hào)，０的立方根是02. （a-b）3的立方根為（）A. b-a B. a-bC. ±（a-b）D. （a-b）33. 一個(gè)自然數(shù)的立方根是x，則下一個(gè)自然數(shù)（即相鄰且更大的自然數(shù)）的立方根是（）A.B.C. +1D. x+14. 下列各數(shù)中，是有理數(shù)的是（）A. B. C. D. 5. 數(shù)a的立方根就是a，則a等于（）

司友毓立方根是平方根之外的又一種開方運(yùn)算的表示形式.立方根與平方根雖然同屬于開方運(yùn)算的范疇,但兩者之間又有著明顯的區(qū)別.因此,要加強(qiáng)對(duì)有關(guān)運(yùn)算的理解,弄清兩者的異同點(diǎn). 一?立方根的概念及理解 1.概念:一般地,如果一個(gè)數(shù)的立方等于a,那么這個(gè)數(shù)叫做a的立方根或三次方根,記做,讀做“三次根號(hào)a”.其中a是被開方數(shù),3是根指數(shù). 2.立方根的性質(zhì):(1)一個(gè)數(shù)的立方根只有一個(gè);(2)正數(shù)的立方根是正數(shù);(3)負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù);(4)0的立方根仍為0;(5)

計(jì)算器計(jì)算數(shù)的立方根 例2 用計(jì)算器求0.845 6的立方根. 分析:求解時(shí)要用到y(tǒng) x上方的鍵,因此要用功能鍵進(jìn)行切換. 解:步驟如下: ∴ =0.945 6. 點(diǎn)評(píng):求立方根和求平方根十分類似,區(qū)別是在倒數(shù)第二步將 2 改為 3 ,只是次數(shù)不同.另外,如果要求一個(gè)負(fù)數(shù)的立方根,可以先求它的相反數(shù)的立方根,再在結(jié)果前加上負(fù)號(hào)即可. 三?利用計(jì)算器探求數(shù)學(xué)規(guī)律 例3 借助計(jì)算器求下面的式子的值. (1);(2);(3). 仔細(xì)觀察上面幾個(gè)式子的運(yùn)算結(jié)果,試

例5 27 的立方根是. 錯(cuò)解:27的立方根是 ±3 . 剖析:錯(cuò)解的原因是將平方根與立方根兩個(gè)概念混淆了.一個(gè)正數(shù)的立方根仍為正數(shù). 正解:因?yàn)?3=27,所以27的立方根為 3 . 例6 試比較0.3與的大小. 錯(cuò)解:0.3>. 剖析:錯(cuò)解的原因是沒有理解“正的純小數(shù)的算術(shù)平方根比它本身大”. 正解:因?yàn)?.3 ==,而<,所以0.3<. 例7 若·=0成立,則 a 的值為. 錯(cuò)解:由題意知,a-1=0或a-2=0. 所以a=1或a=2,即a的值為1或

學(xué)們準(zhǔn)確地把握立方根知識(shí)的內(nèi)涵，并能將這一知識(shí)靈活應(yīng)用于解題中，現(xiàn)將與立方根有關(guān)的問題歸類解析如下．一、開立方運(yùn)算例1計(jì)算：（1） .（2） .（3）- ．分析：求一個(gè)負(fù)數(shù)的立方根，可以根據(jù)立方根的定義來求，也可以轉(zhuǎn)化成先求它的絕對(duì)值的立方根，再求其相反數(shù)，依據(jù)是= -；求帶分?jǐn)?shù)的立方根，應(yīng)先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)．解：（1） =- =- =-6． （2） = =0.05． （3） -=-= - =- ．二、估算例2已知a＜＜b，a、 b為兩個(gè)連續(xù)整數(shù)，則＝．

洪對(duì)于平方根和立方根，本文從課本、中考題型和數(shù)學(xué)思想的角度進(jìn)行解讀.一、注重“一二三四五”，平方根的學(xué)習(xí)沒問題1. 明白一種運(yùn)算求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算叫開平方.開平方是繼加、減、乘、除和乘方后的第六種運(yùn)算.開平方與平方是一對(duì)互逆的運(yùn)算.例1（1）求（-4）2； （2） 求9的平方根.分析：（1）顯然是求一個(gè)數(shù)的平方， （-4）2=16；（2）是求9的平方根，所得結(jié)果為±3.2. 了解兩種定義（1） 文字語(yǔ)言敘述：如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)就叫a的平

負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根；②1的平方根與立方根都是1；③4的平方根的立方根是 ±；④互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的立方根仍為相反數(shù)．A． 1 B． 2C． 3 D． 44． 下列各式成立的是（）.A． =± 2 B． = 81C． =- 3 D． > 05．有下列各數(shù)：0.5， ， ， - 0.037 45，， ，1 -.其中無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)為（）.A． 2 B． 3C． 4 D． 56． 下列各組數(shù)中互為相反數(shù)的是（）.A．- 3與 B． -與 C．與 -

術(shù)平方根”、“立方根”等概念和一些符號(hào)搞得暈頭轉(zhuǎn)向，不禁咬牙切齒地說：“該死的平方根、立方根！”“小馬虎，我們招惹你了嗎？”隨著話音，小馬虎眼前跳出兩個(gè)頭戴奇怪符號(hào)“± ”、“ ”的式子．“哈，就是你們讓我出盡了洋相！還有那個(gè)算術(shù)平方根，你們?nèi)齻€(gè)為什么名字、符號(hào)都那么相像呢？害得我的作業(yè)全都得了‘叉．”“不信，你們自己瞧吧！”小馬虎氣沖沖地扔過作業(yè)本．平方根、立方根上前一看，不禁倒吸一口涼氣，果然小馬虎這天的作業(yè)全被老師畫了鮮紅的“叉”．第1題：求16的平

別稱為平方根與立方根（統(tǒng)稱方根）.現(xiàn)以本節(jié)的典型習(xí)題為例，分類解讀如下，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考.一、平方根與立方根例1（1）求下列各數(shù)的平方根：289，6.25，2 ，，.（2）求下列各數(shù)的立方根：-2 ，0.125， .（3）求下列各式的值：①× ，②÷ .（4）用計(jì)算器求下列各式的值（保留四個(gè)有效數(shù)字）： - ，- .解析：（1）將一個(gè)正數(shù)開平方，關(guān)鍵是找出它的一個(gè)算術(shù)平方根.因?yàn)?72=289，所以 =17（即289的算術(shù)平方根是17），因此289的平方

內(nèi)容：平方根與立方根；實(shí)數(shù)與數(shù)軸．這些知識(shí)都是研究數(shù)的基礎(chǔ)．為了幫助同學(xué)們?cè)鷮?shí)地掌握這些內(nèi)容，現(xiàn)對(duì)這部分的重點(diǎn)知識(shí)進(jìn)行掃描．一、學(xué)習(xí)目標(biāo)導(dǎo)引1. 了解平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念，會(huì)用根號(hào)表示數(shù)的平方根、立方根.2. 了解開方與乘方互為逆運(yùn)算，會(huì)用平方運(yùn)算求某些非負(fù)數(shù)的平方根，會(huì)用立方運(yùn)算求某些數(shù)的立方根，會(huì)用計(jì)算器求平方根和立方根.3. 了解無(wú)理數(shù)和實(shí)數(shù)的概念，知道實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.4. 能用有理數(shù)估計(jì)一個(gè)無(wú)理數(shù)的大致范圍.5. 在解

2. 平方根及立方根的有關(guān)概念（1） 平方根：如果數(shù)x的平方等于a，則x叫做a的平方根，記作± .（2） 一個(gè)正實(shí)數(shù)有2個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有平方根.（3） 一個(gè)正實(shí)數(shù)正的平方根是它的算術(shù)平根，0的算術(shù)平方根是0.（4） 立方根：如果一個(gè)數(shù) x 的立方等于 a，則 x 叫做 a 的立方根，記作 ；一個(gè)實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù)立方根只有一個(gè).3. 非負(fù)數(shù)的性質(zhì)（1） 如果幾個(gè)非負(fù)數(shù)相加為0，則這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都等于0.（2） 初中階段幾種常見的非負(fù)