致密儲層復(fù)雜流體模型及其適用性分析

孫衛(wèi)濤,熊繁升,曹 宏,楊志芳,盧明輝

(1.清華大學(xué)航天航空學(xué)院,北京100084;2.清華大學(xué)周培源應(yīng)用數(shù)學(xué)研究中心,北京100084;3.中國石油天然氣股份有限公司勘探開發(fā)研究院,北京100083)

我國油氣資源總量相對不足、分布不均勻、成藏條件復(fù)雜。成熟油田二次開采和非常規(guī)儲層勘探開發(fā)支撐著我國油氣總量的持續(xù)增長,提高致密儲層(油水混合、低孔低滲)油氣采收率是挖掘我國油氣資源潛力需要解決的關(guān)鍵問題之一。

致密儲層開采面臨的最大問題是如何通過大型水力壓裂技術(shù)實現(xiàn)經(jīng)濟產(chǎn)量,導(dǎo)致該問題的直接原因是儲層油氣流動性差,根本原因在于壓力作用下孔隙/裂縫中流體流動機理尚不清楚。一般認(rèn)為,致密氣藏基質(zhì)滲透率小于0.1mD(1mD≈0.987×10-3μm2),基質(zhì)孔隙度小于10%[1-2],致密氣砂巖的孔喉大小為0.03～2.00mm[3],致密油藏的孔喉直徑通常小于1μm[2]。實驗觀測和利用數(shù)字巖心技術(shù)得到的研究成果表明,致密儲層巖石孔隙/裂縫達到微納米尺度,并形成復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。當(dāng)有機物分子大小與孔隙尺寸相當(dāng)時,流體流動性依賴于孔隙空間大小和形狀。此外,粘稠原油、油水混合物等復(fù)雜流體的滲透率還與流體流變學(xué)特征相關(guān)[4]。傳統(tǒng)孔隙介質(zhì)模型基于球形孔或者單根毛細管假設(shè),無法描述致密儲層孔隙-裂縫網(wǎng)絡(luò)的拓撲連通結(jié)構(gòu),也不能用于解釋流體流動的非線性現(xiàn)象。

提高儲層采收率技術(shù)的理論基礎(chǔ)是孔隙介質(zhì)力學(xué),其核心為孔隙/裂縫結(jié)構(gòu)的滲透率模型。傳統(tǒng)孔隙介質(zhì)流體流動模型主要包括單毛細管模型、毛細管束模型和毛細管網(wǎng)絡(luò)模型。單毛細管模型假設(shè)孔隙空間是一根微型圓管道,流體在圓管道中發(fā)生泊肅葉流動。毛細管流體動力學(xué)是一個經(jīng)典的研究領(lǐng)域。HAGENBACH[5]給出了單根管道中泊肅葉流動的解析表達式(哈根-泊肅葉公式);WILBERFORCE[6]研究了毛細管流體流動粘性問題;WASHBURN[7]研究了靜壓力下毛細流動現(xiàn)象;BIOT[8-11]基于單毛細管流動模型,進行了重要的孔隙介質(zhì)動力學(xué)理論研究,建立了完全飽和孔隙介質(zhì)中的波傳播方程,預(yù)測了兩類縱波和一類橫波。近50年來,Biot理論不斷發(fā)展,并且在各類流體飽和孔隙介質(zhì)中得到廣泛應(yīng)用。在毛細管尺度遠小于波長的前提下,可以近似地認(rèn)為流體在巖石內(nèi)部“均勻”分布并且全局流動,由地震波場導(dǎo)致的流體粘性損耗也“均勻”一致。隨后的研究發(fā)現(xiàn),當(dāng)探測頻率超過100kHz時,巖石中全局流動引起的衰減較明顯[12]。因單毛細管模型不考慮孔隙空間的復(fù)雜幾何和拓撲結(jié)構(gòu),故不適用于低孔低滲儲層巖石。

毛細管束模型假設(shè)孔隙空間由一束均勻圓管組成[13],BARTLEY等[14]研究了均勻分布的毛細管束中不混溶流體流動的解析計算方法,并利用該方法計算了相對滲透率。WANG等[15]推導(dǎo)了相互作用毛細管束模型的相對滲透率解析表達式,通過調(diào)整模型參數(shù)估算出與產(chǎn)油歷史和壓降相匹配的相對滲透率曲線。毛細管束模型雖然適用于滿足達西定律的靜態(tài)滲透率預(yù)測,但是不適用于刻畫孔隙-裂縫之間縱橫連通的拓撲結(jié)構(gòu)和天然巖石中具有復(fù)雜連通關(guān)系的孔隙-裂縫結(jié)構(gòu)。

利用巖心切片電子顯微鏡觀測和數(shù)字巖心技術(shù)得到的最新研究成果顯示,在巖石內(nèi)部普遍存在裂縫-孔隙的連通網(wǎng)絡(luò)。孤立孔隙和裂縫模型由于未考慮孤立孔隙/裂縫之間流體連通通道產(chǎn)生的影響,故對地震波場速度存在一定的影響,但是這些孔縫對儲層流體滲透率的影響可以忽略不計。平行排列的裂縫系統(tǒng)能夠較好地反映地層各向異性屬性[16-17],但是很難描述跨平行裂縫層的流體流動現(xiàn)象。因此,相對于研究局部孔隙-裂縫相互作用的模型,毛細管網(wǎng)絡(luò)模型,尤其是三維裂縫-孔隙網(wǎng)絡(luò)模型是一種更合理的描述孔隙連通性、流體流動性和骨架彈性模量的模型。

FATT[18]較早提出了孔隙介質(zhì)簡化網(wǎng)絡(luò)模型,并利用規(guī)則網(wǎng)絡(luò)上的管道表示孔隙空間。BRYANT等[19]提出了一個多孔介質(zhì)的無序網(wǎng)絡(luò)模型,認(rèn)為真實多孔系統(tǒng)中孔隙尺寸隨機分布的假設(shè)可能無效。SEEBURGER等[20]提出將二維孔隙空間網(wǎng)絡(luò)模型用于砂巖的靜滲透率預(yù)測,該模型應(yīng)用于砂巖和花崗巖的計算結(jié)果表明,網(wǎng)絡(luò)模型可以根據(jù)圍壓函數(shù)預(yù)測滲透率大小?；诹黧w力學(xué)基本方程,BERNABé[21]建立了牛頓流體在剛性和彈性管網(wǎng)中的水傳導(dǎo)率和波頻散方程,隨后,BERNABé[22]通過管道和管網(wǎng)對牛頓流體的輸運特性進行了數(shù)值模擬。JOHNSON等[23]得到了不同管道長度和半徑的網(wǎng)絡(luò)模型中水力傳導(dǎo)率與頻率的關(guān)系。BLUNT等[24-25]研究了由細管形成的網(wǎng)絡(luò)中相對滲透率與飽和度的關(guān)系,證明了網(wǎng)絡(luò)模型能夠解釋微觀流動如何影響厘米尺度上的網(wǎng)絡(luò)平均特性?？紤]到孔隙尺度的潤濕性變化,三維孔隙網(wǎng)絡(luò)也可用于模擬砂巖內(nèi)部排水和注水過程[26-27]。大量研究表明,雖然局部非均勻孔隙和裂縫參數(shù)對孔隙流體會產(chǎn)生一定影響,但在孔隙網(wǎng)絡(luò)節(jié)點相互連通的“均質(zhì)化”效應(yīng)下,其對儲層巖石整體滲透率的影響十分有限。因此,相對于研究局部孔隙與裂縫相互作用的模型來說,更需要將跨微觀-宏觀尺度的三維裂縫/孔隙網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)作為研究對象,從整體角度考察裂縫網(wǎng)絡(luò)對巖石孔隙度、滲透率、地震波頻散衰減以及儲層采收率等諸多方面的影響。XIONG等[4]分析了任意三維孔隙網(wǎng)絡(luò)中流體流變學(xué)特征和孔隙連通關(guān)系對巖石滲透率的影響,發(fā)現(xiàn)滲透率變化受脈沖壓力波場頻率、流體流變學(xué)屬性和孔隙連通性的影響,流體在低頻時主要在稀疏大孔隙網(wǎng)絡(luò)中流動,而在高頻時則以稠密小孔隙網(wǎng)絡(luò)為主要流動通道[4]。麥克斯韋流體在特定頻率附近出現(xiàn)滲透率峰值,峰值位置與網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)平均配位數(shù)(mean coordination number,MCN)相關(guān),這表明在特定頻率范圍下,存在最優(yōu)的網(wǎng)絡(luò)連接關(guān)系,在這種連接關(guān)系下流體流動最容易。

非常規(guī)儲層具有裂縫/孔隙結(jié)構(gòu)復(fù)雜、孔隙流體部分飽和、非達西流動等特點,當(dāng)孔隙空間達到微納米尺度時,傳統(tǒng)孔隙介質(zhì)模型的許多基本假設(shè)不適用。滲透性通常被認(rèn)為是巖石本身的一種性質(zhì),不隨壓力和內(nèi)部流動的氣體類型而變化。然而,這種假設(shè)在氣體滑移現(xiàn)象顯著的情況下不成立。首先,在致密儲層頁巖氣勘探開發(fā)中,考慮到納米尺度毛細管對氣體平均自由程的影響,需要引入Knudsen擴散效應(yīng)模型。由于Knudsen擴散效應(yīng)的影響,導(dǎo)致氣體滲透率增加,經(jīng)Klinkenberg修正和Knudsen修正后,常規(guī)流動方程在一定條件下仍然可以使用。其次,在注液壓裂過程中,孔隙流體可能出現(xiàn)較高的流速,引起非達西流動,此時需要引入Forchheimer模型修正流體流動計算結(jié)果。國內(nèi)外學(xué)者對致密儲層非達西流動理論模型進行了深入研究[28-29],由于這些復(fù)雜流體流動模型較為特殊,其理論基礎(chǔ)和適用范圍的研究十分關(guān)鍵,對于推動理論模型在實際工作中的應(yīng)用至關(guān)重要,故本文針對微納米孔隙復(fù)雜流體流動模型及其適用性進行研究。本文詳細分析了微納米孔隙條件下復(fù)雜流體流動的Forchheimer流動模型、Klinkenberg修正模型、對Knudsen模型修正得到的B-K模型和高階修正模型,通過對理論模型進行數(shù)值計算和結(jié)果對比分析,得到了不同孔隙尺度、流速和壓力下孔隙流體滿足各種模型的條件,有助于判斷復(fù)雜條件下不同流動模型的適用性。研究發(fā)現(xiàn),Knudsen模型適用于研究微納米孔隙中較低氣壓下氣體流動,對于孔隙特征尺寸很小的低孔滲儲層,流體流速通常很低,Forchheimer模型的修正效應(yīng)并不明顯。

1 方法原理

1.1 微納米孔隙流動類型

當(dāng)流體在微納米流道中流動時,如果流道的特征尺寸(如流道直徑)接近甚至小于流體分子間的平均自由程,那么相較于流體分子之間的碰撞,分子與流道固壁的碰撞概率極大地增加,這種流體擴散方式稱為Knudsen擴散。

在Knudsen擴散中,流體分子間碰撞極大地降低,分子的運動軌跡為流道表面不同碰撞點之間的直線運動。Knudsen擴散的條件是流動空間特征尺寸小于分子平均自由程。分子平均自由程與溫度和壓力有關(guān),較低壓力下氣體更加稀薄,分子平均自由程更大。對于速度滿足麥克斯韋分布的氣體來說,平均自由程可以表示為[30]:

(1)

式中:l是平均自由程;kB是波爾茲曼常數(shù);T是溫度;p是壓力;dg是氣體分子直徑。

表1為不同氣體分子的碰撞直徑[31-33],表2為室溫下空氣分子在不同壓力下的平均自由程[34]。Knudsen數(shù)(Kn)用于判斷是否發(fā)生Knudsen流動,Kn定義為分子平均自由程l與流動空間特征尺度Λ之比:

(2)

根據(jù)Knudsen數(shù)可選擇使用連續(xù)介質(zhì)流體力學(xué)模型或者統(tǒng)計力學(xué)模型。當(dāng)Knudsen數(shù)接近或大于1時,連續(xù)介質(zhì)模型的適用性大大降低。

表1 不同氣體分子碰撞直徑

表2 室溫下空氣分子在不同壓力下的平均自由程

對液體和稠密氣體而言,平均自由程與分子的大小相當(dāng),因此對于微納米孔隙中的致密油而言,只有當(dāng)孔隙特征尺寸降到納米甚至納米以下時,才會出現(xiàn)明顯的Knudsen流動效應(yīng)。根據(jù)Knudsen數(shù),可以將孔隙介質(zhì)中氣體流動大致分為4種情況[35-36],對于每種流動情況下的Knudsen數(shù)范圍,研究人員提出的劃分范圍略有差異。ROY等[36]提出連續(xù)介質(zhì)無滑移流動時,Kn<0.001;滑移流動時,0.001

1.1.1 連續(xù)介質(zhì)無滑移流動(Kn<0.01)

在這種情況下,孔隙介質(zhì)中流體流動速度較慢,粘性項作用大于慣性項,流體流動滿足層流假設(shè),流量和壓力梯度之間遵循達西定律:

(3)

式中:qDarcy是流體流量;r是孔喉半徑;μ是流體動力學(xué)粘性系數(shù);L是流道長度;ΔP是流道兩端壓力差。

當(dāng)流體流速較大時,慣性項的作用逐漸增加并打破了層流假設(shè),此時需要對達西定律進行修正,Forchheimer模型是一種重要的修正模型。

1.1.2 滑移流動(0.01≤Kn≤0.10)

在這種情況下,氣體分子在固體表面發(fā)生滑移運動,若適當(dāng)修正模型,常規(guī)流動方程仍然可以使用,但是在氣體-固體邊界上該方程存在速度和溫度的不連續(xù)間斷。修正模型主要包括Klinkenberg修正模型和Knudsen修正模型。通常認(rèn)為,Knudsen修正模型更準(zhǔn)確,它包括B-K二階修正模型[37]和高階修正模型[38]。Klinkenberg修正模型更易于使用,因此被廣泛應(yīng)用。當(dāng)Kn=0.10或Kn=0.01時,即處于連續(xù)介質(zhì)滑移流動區(qū)間的上、下邊界,亦可以利用Klinkenberg修正模型和Knudsen修正模型描述流體運動流動情況。

1.1.3 瞬變流動(0.1

在這種情況下,滑移(連續(xù)介質(zhì))流動和擴散流動同時并存,但是傳統(tǒng)流體動力學(xué)方程失效。盡管經(jīng)過修正的達西定律在一定程度上仍然可用,但是其結(jié)果存疑,比較可靠的方法是使用Knudsen擴散方程或帶滑移邊界條件的伯內(nèi)特方程[39]來描述流體運動。

1.1.4 Knudsen(自由分子)流動(Kn>10)

這種情況下,連續(xù)介質(zhì)流體力學(xué)方程完全失效,需要使用基于擴散模型的流動方程。只有在壓力極低和孔喉十分致密的情況下才會發(fā)生Knudsen流動,此時,低密度流體分子之間幾乎不發(fā)生碰撞。

1.2 Forchheimer模型

雷諾數(shù)是用來判斷粘性流體流動狀態(tài)的無量綱數(shù),其物理含義可以理解為慣性力和粘性力的對比關(guān)系。當(dāng)孔隙介質(zhì)中的流體因雷諾數(shù)低而產(chǎn)生粘性流動時,可以用達西定律描述流量(流速)與壓力梯度之間的線性關(guān)系。當(dāng)流體的雷諾數(shù)較高時,流體的慣性效應(yīng)超過了粘性效應(yīng),導(dǎo)致了湍流現(xiàn)象,這種情況下達西定律失效。1901年,FORCHHEIMER[40]提出了一個達西定律的修正公式,并引入了速度的平方項作為達西定律的修正項,該公式被稱為Forchheimer公式,具體如下:

(4)

式中:P是壓力;v是流速;ρ是密度;κ是滲透率;β是孔隙介質(zhì)的非達西系數(shù)。當(dāng)?shù)貙又辛黧w的流速很高時,(4)式等號右端第2項對速度的二次修正影響大,此時Forchheimer模型對流體流動的修正效果明顯。

該模型中的系數(shù)β又被稱為慣性阻力系數(shù),在實際工作中通常根據(jù)Forchheimer圖(孔隙介質(zhì)的視滲透率倒數(shù)(1/κapp)隨偽雷諾數(shù)(ρv/μ)的變化曲線)通過斜率擬合得到。視滲透率κapp定義為:

(5)

由(5)式可以看出,1/κapp跟ρv/μ之間滿足線性關(guān)系,β是線性關(guān)系的斜率。通?？梢砸罁?jù)雷諾數(shù)和Forchheimer數(shù)的大小,判斷連續(xù)介質(zhì)流體流動是否產(chǎn)生非達西流動,雷諾數(shù)Re和Forchheimer數(shù)F0分別表示如下:

(6)

(7)

式中:ρ是流體密度;d是流道特征長度;v是流速;μ是動力學(xué)粘性系數(shù)?？梢钥闯?如果將κβ視作特征長度,那么F0即為另一種形式的雷諾數(shù)。

根據(jù)流體類型和孔隙介質(zhì)的性質(zhì),并基于實驗數(shù)據(jù)[41-42],人們發(fā)現(xiàn)了不同的流動形態(tài),并依據(jù)雷諾數(shù)加以分類。

1) 達西流動狀態(tài):粘性力占主導(dǎo)地位,雷諾數(shù)滿足Re<1,當(dāng)Re≈1時,孔隙介質(zhì)固體表面逐漸形成邊界層。

2) 慣性流動狀態(tài):慣性流動狀態(tài)從Re=1～10開始,持續(xù)到Re=150,孔隙介質(zhì)固體表面邊界層更加明顯,流體出現(xiàn)“慣性核”。

3) 不穩(wěn)定層流狀態(tài):當(dāng)Re=150～300時,流體開始出現(xiàn)弱震蕩,湍流開始發(fā)展。

4) 高度不穩(wěn)定流動和混亂流動:當(dāng)Re>300時,出現(xiàn)類似管道流動中的湍流現(xiàn)象,渦流逐漸占據(jù)主導(dǎo)地位。

(4)式等號右端第2項對速度的二次修正使流體達西流動模型變?yōu)镕orchheimer流動模型。真實流體從達西流動到Forchheimer流動的轉(zhuǎn)變約始于雷諾數(shù)Re=1,對于是否存在一個臨界雷諾數(shù),目前尚存在不同觀點。一種觀點認(rèn)為,當(dāng)達西流動的線性部分引起的壓力下降所占比例低于95%時,可以認(rèn)為是達西流動狀態(tài)的結(jié)束階段,此時雷諾數(shù)Re≈4.3[43]。數(shù)值計算結(jié)果顯示,在雷諾數(shù)Re=2～4時,發(fā)生了從達西流動到Forchheimer流動的轉(zhuǎn)變[44]。

對于理想圓柱形直管道來說,可以采用上述方法計算雷諾數(shù)。但是,對于真實致密儲層巖石來說,孔隙結(jié)構(gòu)不滿足圓柱形管道的理想假設(shè),因此,對于含有復(fù)雜孔隙的巖石,采用上述雷諾數(shù)計算方法會帶來難以估計的誤差。對于彎曲孔隙的毛細作用模型,COMITI等[45]給出了含有復(fù)雜孔隙結(jié)構(gòu)的雷諾數(shù)定義,并得到一個形似Forchheimer公式的方程:

(8)

(9)

式中:ΔP為孔隙流體壓力差;H為ΔP的等效距離;φ是孔隙度;τ是彎曲度;avd是動力學(xué)比表面積;μ是流體動力學(xué)粘性系數(shù);v是流速;γ是形狀系數(shù)。因此,對于含有復(fù)雜孔隙連通結(jié)構(gòu)的真實儲層巖石,還可以使用COMITI等[45]提出的公式計算雷諾數(shù)。

1.3 Klinkenberg修正模型

受Knudsen擴散效應(yīng)的影響,氣體分子在固體表面流動時發(fā)生滑移,引起滲透率的增加。因此,在這種情況下,孔隙介質(zhì)的氣體滲透率往往大于流體滲透率?？紤]到Knudsen效應(yīng)的影響,KLINKENBERG[46]提出了氣體滲透率的修正公式:

(10)

式中:κa是發(fā)生滑移現(xiàn)象時的表觀滲透率;κ∞是等效流體滲透率,表示在壓力非常大的情況下可以忽略氣體邊界滑移效應(yīng)的滲透率;P是孔隙流體壓力;bκ是滑移系數(shù)。bκ與平均自由程λ、孔喉半徑r和孔隙流體壓力P之間的關(guān)系可表示如下:

(11)

1.4 Knudsen模型修正的B-K模型

BESKOK等[37]提出了微管道中流體流動的二階修正模型方程為:

(12)

式中:q是壓力作用下通過微管道的流量;r是流道半徑;L是流道長度;Kn是Knudsen數(shù);μ是流體動力學(xué)粘性系數(shù);α是無量綱稀薄系數(shù)。α是Kn和參

數(shù)b的函數(shù),可表示如下:

(13)

式中:α1=4;β1=0.4;α0=αKn→∞=64/[3π(1-4/b)],滑移流動時,b=-1,α0=64/(15π)。CIVAN[47]提出采用無量綱稀薄系數(shù)的Knudsen修正模型,研究表明利用上述兩種修正模型得到的結(jié)果無明顯差異[35]。

微管道中流體流動方程可表示為:

q=fcqDarcy

(14)

(15)

式中:fc為Knudsen修正系數(shù)。

同樣地,KLINKENBERG[46]對氣體滲透率κa的修正公式可表示為:

(16)

1.5 Knudsen高階修正模型

ZHU等[38]提出了具有滑移效應(yīng)的滲透率非線性方程:

(17)

式中:A是與κ∞成反比的常數(shù);α是與Knudsen數(shù)有關(guān)的系數(shù)。對方程(17)進行泰勒展開得到[38]:

(18)

從(18)式可以看出,公式(16)是其一階近似。研究顯示,當(dāng)孔隙介質(zhì)固有滲透率小于1mD時,低滲透率巖心中氣體遵循公式(16),當(dāng)固有滲透率大于1mD時,滲透率與壓力倒數(shù)之間存在非線性關(guān)系,需要利用修正模型對其進行修正[38]。

2 測試分析

2.1 致密儲層中Forchheimer模型和Knudsen修正模型使用條件

實際應(yīng)用中,我們需要判斷致密儲層中巖石孔隙流體處于怎樣的流動狀態(tài),是否需要對滲透率進行相應(yīng)的模型修正。Forchheimer模型和Knudsen修正模型是兩種重要的修正模型,孔隙流體雷諾數(shù)和Knudsen數(shù)大小是判斷模型是否需要修正的條件。

2.1.1 判斷Forchheimer模型修正的雷諾數(shù)

雷諾數(shù)表示為Re=ρdv/μ,對于甲烷氣體來說,壓力和溫度對氣體密度有重要影響,因此密度計算需要考慮測試環(huán)境條件。根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程,可以得到密度表達式為:

(19)

式中:M是甲烷摩爾質(zhì)量,M=16.0425×10-3kg/mol;P,T分別為壓力和溫度;R為理想氣體常數(shù),R=8.31441J/(mol·K)。

溫度和壓力對甲烷氣體的粘性系數(shù)有重要影響,HEIDARYAN等[48]通過實驗測量,給出了粘性系數(shù)與溫度和壓力的擬合關(guān)系式:

(20)

式中:pr=P/pc,pc為甲烷臨界值,pc=4.595MPa;Tr=T/Tc,其中Tc為臨界溫度,Tc=190.55K[49-50]。

我們計算了不同溫度、壓力、孔隙特征尺寸和流速條件下流體的雷諾數(shù),圖1為不同流道特征尺寸和壓力條件下(溫度300K)甲烷氣體的雷諾數(shù)分布情況,該圖可以用于判斷是否需要對致密儲層Forchheimer模型進行修正。當(dāng)巖心孔隙結(jié)構(gòu)分布和壓力條件已知時,可以迅速得到巖石孔隙流體對應(yīng)的雷諾數(shù),并根據(jù)雷諾數(shù)大小來判斷是否需要進行Forchheimer模型修正。雷諾數(shù)是流體流速大小的線性函數(shù),因此,在已知流速的情況下,可以計算得到雷諾數(shù)數(shù)值。其它溫度條件下,雷諾數(shù)隨壓力和孔隙尺寸變化的二維分布情況可采用上述方法求得,此處不再贅述。

圖1 不同流道特征尺寸和壓力條件下(溫度300K)甲烷氣體的雷諾數(shù)分布情況(|v|為流體速度的絕對值)

2.1.2 判斷是否需要滑移流動模型修正的Knudsen數(shù)

利用(1)式和(2)式,可以計算出不同溫度、壓力和孔隙特征尺寸條件下的Knudsen數(shù)?；贙nudsen數(shù)的大小,根據(jù)流體發(fā)生滑移流動、瞬變流動和自由分子流動的條件,可以劃分不同流體的流動情況。對于甲烷氣體來說,當(dāng)給定巖石孔隙結(jié)構(gòu)分布和測試壓力時,可以根據(jù)不同流道特征尺寸和壓力條件下甲烷氣體的流動情況(圖2),判斷孔隙氣體是否發(fā)生了滑移流動,并進行模型修正。

圖2 不同流道特征尺寸和壓力條件下(溫度300K)甲烷氣體流動情況

2.2 Knudsen修正模型適用性計算分析

達西定律在常規(guī)氣藏中起主導(dǎo)作用。在致密儲層中,當(dāng)孔隙和孔喉尺寸僅有幾納米時,達西定律只考慮了粘性流體流動,忽略了氣體擴散和滑移運動。相較于常規(guī)氣藏的其它儲層巖體,天然氣頁巖的孔隙和喉道較小,因此,在天然氣頁巖中,分子與孔壁的碰撞比分子本身的碰撞更為頻繁。在這種情況下,氣體滑移過程變得非常重要,基質(zhì)滲透率取決于流經(jīng)頁巖的氣體類型以及氣體壓力,此時必須考慮Knudsen流動的影響。在等溫條件下,因為氣體的平均自由程與壓力的倒數(shù)成正比,與分子半徑平方的倒數(shù)成正比((1)式),所以壓力越低,分子越小,平均自由程越大,Knudsen數(shù)隨之增大。綜上可知,在孔隙和喉道較小的巖石中氣體滑移效應(yīng)更明顯,這導(dǎo)致了孔隙流量的增加,進而提高了基質(zhì)滲透率。

從不同流道特征尺寸下甲烷氣體的稀薄系數(shù)和修正系數(shù)分布情況(常溫常壓條件下)(圖3)可以看出,當(dāng)流道特征半徑從100nm減小至10nm時,無量綱稀薄系數(shù)α為1.1～1.3(圖3a),修正系數(shù)fc為7～60(圖3b),較大的無量綱稀薄系數(shù)帶來更明顯的修正效果,此時孔隙流體處于瞬變流動區(qū)間,Knudsen流動的影響不可忽略。

由于孔隙介質(zhì)中的液體平均自由程很小,基本跟分子自身尺寸在同一量級,因此Knudson數(shù)很小。從不同流道特征尺寸下水的稀薄系數(shù)和修正系數(shù)分布(圖4)可以看出,當(dāng)流道特征半徑從100nm減小至10nm時,修正系數(shù)在1附近變化(最大值為1.1),此時孔隙流體處于達西流動或滑移流動中,Knudsen流動的影響基本可以忽略。

圖3 不同流道特征尺寸下甲烷氣體的稀薄系數(shù)(a)和修正系數(shù)(b)分布情況(常溫常壓條件下)

圖4 不同流道特征尺寸下水的稀薄系數(shù)(a)和修正系數(shù)(b)分布情況

從圖5可以看出,當(dāng)流道特征半徑從100nm減小至10nm時,甘油稀薄系數(shù)進一步降低,只有水的稀薄系數(shù)的1/2,修正系數(shù)在1附近變化(最大值為1.02),Knudsen數(shù)也進一步降低至0.0004～0.0036,此時孔隙流體處于無滑移流動狀態(tài),Knudsen流動的影響可以完全忽略。

圖5 不同流道特征尺寸下甘油的稀薄系數(shù)(a)和修正系數(shù)(b)分布情況

實驗研究顯示,在壓力逐漸增大過程中,不同孔隙流體的平均自由程收斂于一個接近0的極限值[52]。LI等[53]研究了3類致密砂巖的孔隙-孔喉結(jié)構(gòu)與孔隙度、滲透率之間的關(guān)系,第1類的致密砂巖包含較多的納米孔,第2類的致密砂巖納米孔與微米孔含量基本相當(dāng),第3類的致密砂巖含有較多微米孔。研究發(fā)現(xiàn),致密砂巖滲透率與納米孔和微米孔的孔隙度正相關(guān),基于這3類致密砂巖實驗數(shù)據(jù),可以得到不同壓力下的致密砂巖滲透率和平均自由程隨壓力倒數(shù)的變化關(guān)系(圖6),其中歸一化滲透率和平均自由程分別表示為κ/κmin,l/lmin,其中κmin和lmin是滲透率和平均自由程的最小值。表3、表4和表5分別為3類致密砂巖的實驗參數(shù)(孔喉半徑、壓力)和滲透率[53]。

計算結(jié)果顯示,致密砂巖滲透率與壓力相關(guān),這種關(guān)系還與巖石中孔隙-孔喉結(jié)構(gòu)類型分布有關(guān)。滲透率隨壓力增加(壓力倒數(shù)降低)逐漸降低,并收斂至接近于0。第1類和第2類致密砂巖的滲透率與壓力倒數(shù)具有一定的線性關(guān)系(圖6a),這與LETHAM[52]的實驗數(shù)據(jù)結(jié)果一致。第2類和第3類致密砂巖滲透率變化曲線較為平緩,第1類致密砂巖的收斂過程更加陡峭,這表明在包含較多納米孔隙的致密砂巖中,壓力對滲透率的影響更為顯著,其原因在于納米孔隙通道中流體滑移效應(yīng)更明顯,壓力對平均自由程的影響更為顯著。平均自由程計算結(jié)果顯示,平均自由程隨著壓力增大(壓力倒數(shù)降低)而降低,二者呈線性關(guān)系(圖6b),同時第1類致密砂巖中平均自由程隨壓力的變化更為劇烈,這表明包含更多納米孔隙的致密砂巖中流體的滑移效應(yīng)更明顯。

圖6 3類致密砂巖滲透率和平均自由程隨壓力倒數(shù)變化關(guān)系

表3 致密砂巖(第1類)實驗參數(shù)和滲透率

表4 致密砂巖(第2類)實驗參數(shù)和滲透率

表5 致密砂巖(第3類)實驗參數(shù)和滲透率

圖7、圖8和圖9為3類致密砂巖甲烷氣體的稀薄系數(shù)和修正系數(shù)分布情況,可以看出,第1類致密砂巖包含較多納米孔隙,最小流道特征半徑為32nm,與常壓下的甲烷氣體修正系數(shù)fc相比(圖3b),較高壓力下甲烷氣體修正系數(shù)數(shù)值較小,無量綱稀薄系數(shù)α為0.2～0.5,滑移修正的影響較小,Knudsen數(shù)為0.001～0.010,依據(jù)ZIARANI等[35]的劃分標(biāo)準(zhǔn),孔隙流體仍然處于無滑移流動區(qū)間(圖7),而參考ROY等[36]提出的連續(xù)介質(zhì)無滑移流動區(qū)間標(biāo)準(zhǔn)(Kn<0.001),孔隙流體已經(jīng)發(fā)生滑移流動。基于第2類和第3類致密砂巖實驗測量數(shù)據(jù),計算出的無量綱稀薄系數(shù)α為0.2～0.5,依據(jù)Knudsen數(shù)也可推算出流體處于無滑移流動區(qū)間(圖8和圖9)。

圖7 第1類致密砂巖甲烷氣體的稀薄系數(shù)(a)和修正系數(shù)(b)分布情況

圖8 第2類致密砂巖甲烷氣體的稀薄系數(shù)(a)和修正系數(shù)(b)分布情況

圖9 第3類致密砂巖甲烷氣體的稀薄系數(shù)(a)和修正系數(shù)(b)分布情況

數(shù)值計算和實驗數(shù)據(jù)對比分析表明,在實驗條件下,孔隙壓力往往達到幾十個甚至幾百個大氣壓,在如此高的壓力下,孔隙氣體的密集性極高,平均自由程很小,即使是在包含較多納米孔隙的儲層巖石中,Knudsen數(shù)通常也小于0.010。由此可知,Knudsen模型適用于研究致密儲層中的非稠密氣體(低壓)流動,不適用于研究高壓氣體和液體(油、水等)流動占主導(dǎo)地位的情況。

2.3 Forchheimer模型適用性計算分析

計算水在不同流道特征尺寸介質(zhì)中流動時的雷諾數(shù)(擴散速度不太大),結(jié)果如圖10所示,水密度為1000kg/m3,粘性為0.001Pa·s,流動速度變化范圍是0.1～1.0m/s,孔隙特征尺寸變化范圍是20～100nm。

計算微納米孔隙介質(zhì)中甲烷氣體在不同流道特征尺寸介質(zhì)中的雷諾數(shù)(擴散速度不太大),結(jié)果如圖11 所示,在溫度300K和壓力20MPa的情況下,甲烷氣體密度約為128.7kg/m3,粘性為3.3×10-5Pa·s,流動速度變化范圍是0.1～1.0m/s,孔隙特征尺寸變化范圍是20～100nm。

計算車用機油SAE 10(20℃)在不同流道特征尺寸介質(zhì)中的雷諾數(shù)的分布情況(擴散速度不太大),結(jié)果如圖12所示,油密度為775kg/m3,粘性為0.065Pa·s,流動速度變化范圍是0.1～1.0m/s,孔隙特征尺寸變化范圍是20～100nm。

圖10 水在不同流道特征尺寸介質(zhì)的雷諾數(shù)(擴散速度不太大)

圖11 甲烷氣體在不同流道特征尺寸介質(zhì)中的雷諾數(shù)(擴散速度不太大)

從圖10、圖11和圖12可以看出,在微納米孔隙介質(zhì)中,在擴散速度不太大的情況下,流動的水和油的雷諾數(shù)低于0.1,遠未達到Forchheimer流動狀態(tài),仍舊處于粘性流體的層流流動狀態(tài)。甲烷氣體的雷諾數(shù)接近1,也仍未達到典型的Forchheimer流動狀態(tài)。由此可知,在流動速度低于1m/s時,Forchheimer修正模型不適用于研究致密儲層中的流體流動。

圖12 車用機油(SAE10(20 ℃))在不同流道特征尺寸介質(zhì)中的雷諾數(shù)(擴散速度不太大)

3 結(jié)論

本文分析了致密儲層中微納米孔隙的復(fù)雜流體模型及其適用范圍。對不同孔隙結(jié)構(gòu)和流體參數(shù)的模型研究發(fā)現(xiàn),Knudsen修正模型適用于研究微納米孔隙中較低氣壓下氣體的流動修正,對于致密儲層中油、水等液體或致密氣體來說,Knudsen流動的影響可以忽略;Forchheimer模型適用于研究孔隙介質(zhì)流速較高的情況,當(dāng)流動速度小于1m/s時,雷諾數(shù)較小,流動慣性項引起的修正可以忽略。模型對比分析表明,Knudsen修正模型是流體不滿足連續(xù)介質(zhì)流體力學(xué)特征時使用的修正模型,通常用于孔隙特征尺寸很小的致密儲層,Forchheimer模型是在流體湍流現(xiàn)象嚴(yán)重時使用的修正模型,其流體流動仍然符合連續(xù)介質(zhì)流體力學(xué)特征。對于孔隙特征尺寸很小的低孔滲儲層,孔隙流體的流速通常很小,湍流現(xiàn)象不常見,此類儲層中Forchheimer模型的修正效應(yīng)不明顯。