參數(shù)微擾法中基態(tài)能量與近似級(jí)數(shù)的關(guān)系

吳 鋒，孟麗娟

(鹽城工學(xué)院物理系，江蘇 鹽城 224051)

參數(shù)微擾法通過(guò)引入?yún)?shù)重構(gòu)量子體系哈密頓量中的無(wú)微擾項(xiàng)和微擾項(xiàng)，削弱了微擾項(xiàng)的影響，提高了本征能量的準(zhǔn)確性，擴(kuò)大了微擾法的適用范圍[1-8].目前，參數(shù)微擾法已經(jīng)成功用于研究三體類氦原子、四體類鋰原子和五體鈹原子體系[1-6]，這些工作促進(jìn)了對(duì)電子對(duì)核屏蔽效應(yīng)的認(rèn)識(shí)，加深了對(duì)電子間相互作用、泡利不相容原理和全同粒子交換對(duì)稱性的理解.

用參數(shù)微擾法精確計(jì)算體系能量，有時(shí)需要計(jì)算到二級(jí)甚至多級(jí)近似，那么就會(huì)遇到和利用微擾法一樣存在的困難，即計(jì)算包含著無(wú)窮項(xiàng)求和的能量修正項(xiàng).鑒于此，文獻(xiàn)[3]利用類氫原子s態(tài)波函數(shù)構(gòu)造氦原子的近似波函數(shù)，巧妙實(shí)現(xiàn)了對(duì)氦原子四級(jí)近似基態(tài)能量的精確計(jì)算，理論值與實(shí)驗(yàn)值的絕對(duì)誤差為0.0049 Hartree.但不足的是，該文在構(gòu)造波函數(shù)時(shí)犧牲了電子的空間交換對(duì)稱性，而且計(jì)算的氦原子基態(tài)能量與采用的近似級(jí)數(shù)間的關(guān)系尚不清晰.為此，本文在構(gòu)造滿足空間交換對(duì)稱性的近似波函數(shù)的基礎(chǔ)上，對(duì)參數(shù)微擾法算出的氦原子基態(tài)能量與近似級(jí)數(shù)間的關(guān)系進(jìn)行了探究，以期為利用參數(shù)微擾法精確計(jì)算量子體系本征能量提供借鑒.

1 理論和方法

氦原子的非相對(duì)論哈密頓算符(原子單位):

(1)

其中

(2)

(3)

式中r1和r2為原子中兩個(gè)電子到核的距離，r12是兩個(gè)電子間的距離，Z為核電荷數(shù)，σ為反映電子對(duì)核屏蔽效應(yīng)的微擾參數(shù).

根據(jù)微擾論，氦原子的零級(jí)近似基態(tài)能量:

E(0)=-σ2

(4)

基態(tài)能量的第i(i=1,2,3,)級(jí)修正[1,9]:

E(i)=〈ψ(0)|H′|ψ(i-1)〉

(5)

其中，ψ(0)為零級(jí)近似波函數(shù)，ψ(i)為第i級(jí)修正波函數(shù)，與ψ(0)正交.根據(jù)式(2)結(jié)合氦原子特征，選取類氫原子的ns (n=1,2,3,)態(tài)歸一化波函數(shù):

(6)

(1F1為合流超幾何函數(shù))構(gòu)造ψ(0)和ψ(i)：

ψ(0)=ψ1s(r1)ψ1s(r2)

(7)

(8)

氦原子的多級(jí)近似基態(tài)能量和波函數(shù)分別為:

E=E(0)+E(1)+E(2)+E(3)+…

(9)

ψ=ψ(0)+ψ(1)+ψ(2)+…

(10)

由式(7)和式(8)可知，ψ自動(dòng)滿足空間交換對(duì)稱性.E和ψ中參數(shù)σ由基態(tài)能量取最小值確定.

2 計(jì)算結(jié)果和討論

利用Mathematica軟件的符號(hào)計(jì)算功能，得到氦原子各級(jí)近似基態(tài)能量E的解析表達(dá)式(限于篇幅未列出)，它們是參數(shù)σ的函數(shù).在討論近似級(jí)數(shù)對(duì)E值的影響時(shí)，既可以通過(guò)對(duì)各級(jí)近似基態(tài)能量分別取最小值確定σ，也可以通過(guò)由某級(jí)近似基態(tài)能量取最小值確定σ，然后在各級(jí)近似計(jì)算中保持不變.下面分別進(jìn)行討論.

2.1 σ分別由各級(jí)近似能量取最小值確定

表1列出了2級(jí)至12級(jí)近似基態(tài)能量E，參數(shù)σ，以及E與實(shí)驗(yàn)值[10](-2.903386 Hartree)的絕對(duì)誤差|ΔE|.可以看出，E隨著近似級(jí)次i的增加而減小.圖1進(jìn)一步給出了各級(jí)近似基態(tài)能量E相對(duì)前一級(jí)基態(tài)能量的改變量.可見(jiàn)，E的改變量隨著i的增加越來(lái)越小，逼近于零.

表1 氦原子i級(jí)近似基態(tài)能量E及其與實(shí)驗(yàn)值的絕對(duì)誤差|ΔE|(原子單位)

其次，從表1末列數(shù)據(jù)，可以看出，|ΔE|隨著i的增加先是減小，i=4時(shí)達(dá)到最小，然后又逐漸增大.這表明，氦原子基態(tài)能量與實(shí)驗(yàn)值的絕對(duì)誤差隨著i的增加存在一定起落.這與文獻(xiàn)[3]提出的|ΔE|隨著i的增加越來(lái)越小的論斷不同.因?yàn)閨ΔE|存在起落，所以需要合理選擇近似級(jí)數(shù)，提高氦原子基態(tài)能量計(jì)算值的精確性.例如，表1中4級(jí)近似的|ΔE|僅為0.0039 Hartree.

圖1 i級(jí)近似基態(tài)能量相對(duì)前一級(jí)基態(tài)能量的變化

2.2 σ由某級(jí)近似基態(tài)能量取最小值確定，并在各級(jí)近似計(jì)算中保持σ相同

將表1中各級(jí)近似得到的σ數(shù)值作為固定值，分別同時(shí)代入氦原子2級(jí)至12級(jí)近似基態(tài)能量表達(dá)式，所得數(shù)值結(jié)果按從左到右順序分別列于表2.分析E的每一列數(shù)據(jù)可知，E隨著i的增加仍有與2.1節(jié)相同的變化規(guī)律，即逐漸減小，改變量越來(lái)越小(如圖2)，與實(shí)驗(yàn)值間的絕對(duì)誤差|ΔE|有起落.另外，σ的變化對(duì)|ΔE|的起落產(chǎn)生影響.所以，除了選取合適的近似級(jí)數(shù)計(jì)算基態(tài)能量，還需選取合適的近似級(jí)數(shù)確定σ，才能得到更為精確的氦原子基態(tài)能量.例如在σ=1.3165時(shí)，4級(jí)近似基態(tài)能量-2.9027 Hartree，與實(shí)驗(yàn)值的絕對(duì)誤差小至0.0007 Hartree，結(jié)果相當(dāng)精確.

表2 σ恒定時(shí)的i級(jí)近似基態(tài)能量(原子單位)

圖2 在σ=1.3165時(shí)，i級(jí)近似基態(tài)能量相對(duì)前一級(jí)基態(tài)能量的變化

3 結(jié)束語(yǔ)

在構(gòu)建滿足空間交換對(duì)稱性波函數(shù)的基礎(chǔ)上，利用參數(shù)微擾法對(duì)氦原子基態(tài)能量進(jìn)行了計(jì)算，并根據(jù)微擾參數(shù)的兩種確定方式，分別對(duì)基態(tài)能量與近似級(jí)數(shù)的關(guān)系進(jìn)行了分析.研究發(fā)現(xiàn)，氦原子基態(tài)能量隨著近似級(jí)數(shù)的增加，逐漸降低，改變量越來(lái)越小，基態(tài)能量與實(shí)驗(yàn)值的絕對(duì)誤差存在一定起落.選擇合適的近似級(jí)數(shù)確定微擾參數(shù)及基態(tài)能量，對(duì)提高氦原子基態(tài)能量計(jì)算值的精確性具有重要作用.